多边形及其内角和能力培优.docx

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多边形及其内角和能力培优

多边形及其内角和

一、多边形

1、概念：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.

（注意：

三角形是最简单的多边形）

2、内角：

相邻两边组成的角.

3、外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.

4、分类：

①凸多边形：

任一线段所在直线不会经过图形内部的图形叫凸多边形.

②凹多边形：

只要有一条线段所在直线经过图形内部则被称作为凹多边形.

5、正多边形：

各个角相等，各条边相等的多边形.

二、n边形

1、n个顶点

2、n个内角

3、n条边

4、过一个顶点有（n-3）条对角线

5、过一个顶点的对角线把n边形分成（n-2）个三角形

6、共有

条对角线

7、内角和为（n-2）180°

8、外角和为360°

三、多边形的内角和推理

方法一：

从n边形的一个顶点引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是（n-2）×180°.

四、多边形外角和的推理

多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n×180°，外角和等于n×180°-（n一2）×180°=360°.

题型讲解

【题型1】多边形内角和公式的运用

例1、把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG=（）

A. 141°B. 144°C. 147°D. 150°

迁移训练1.如图，若干全等正五边形排成环状。

图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形。

A. 6B. 7C. 8D. 9

迁移训练2.在凸四边形ABCD中，∠A-∠B=∠B-∠C=∠C-∠D>0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数。

【题型2】多边形内角和与平行线性质的结合

例2、（2018·南京）如图，五边形ABCDE是正五边形。

若l1∥l2，则∠1−∠2=______°.

迁移训练1.如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___°.

迁移训练2.（2019春·潮南区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线交CD于点E.

（1）若∠A=70°，求∠ABE的度数；

（2）若AB∥CD，且∠1=∠2，判断DF和BE是否平行，并说明理由。

【题型3】多边形内角和及外角和相结合

例3、

（1）我们在小学已经学过：

三角形的三个内角的和等于180°.如图1中，△ABC的内角和∠1+∠2+∠3=180°，那么在图2中，四边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4=______.

（2）我们知道平角等于180°，图1中∠1+∠4=______；

（3）求图1中∠4+∠5+∠6的大小；图2中∠5+∠6+∠7+∠8的大小。

迁移训练1.（2019秋·辛集市期末）如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是___.

迁移训练2.（2020·密云区二模）如图∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=___.

【题型4】“截角”问题

例4、（2019春·永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：

（画出图形，把截去的部分打上阴影）

①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°.

②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等。

③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.

（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数。

迁移训练1.（2020春·陈仓区期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1+∠2=_____.

迁移训练2.（2019秋·长白县期末）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题。

（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图

（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

（2）若对图

（1）中星形截去一个角，如图

（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

（3）若再对图

（2）中的角进一步截去，你能由题

（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗?

只要写出结论，不需要写出解题过程）

【题型5】构造8字模型解题

例5、（2019秋.西工区校级月考）

（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：

________________；

（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=___度

（3）如图3所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，猜想∠C，∠P，∠D之间的数量关系，并证明。

迁移训练1.（2018春-南江县期末）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______°.

迁移训练2.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．

【题型6】多边形内角的角平分线

例6、（2020年春·太康县期末）如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F.

（1）若∠F=70°，则∠ABC+∠BCD=_____°;∠E=_____°；

（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F，所添加的条件为______________.

迁移训练1.（2020春·汝阳县期末）阅读下列材料，然后解答后面的问题。

定义：

把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形。

如图1，四边形ABCD为凹四边形。

（1）性质探究：

请完成凹四边形一个性质的证明。

已知：

如图2，四边形ABCD是凹四边形。

求证：

∠BCD=∠B+∠A+∠D.

（2）性质应用：

如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B=___°.

迁移训练2.（2019春·邳州市期中）四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O.

（1）若点O在四边形ABCD的内部，

①如图1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE=___°；

②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来。

（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系。

【题型7】多边形外角的角平分线

例7、（2020春·东台市期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．

（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数；

（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式；

（3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

迁移训练1.（2020春·如东县期末）如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC=

，.

∠APC=β，则∠ADC的度數为（）

A.180°-

-βB.

+βC.

+2βD.2

+β

迁移训练2.请你参与下面探究过程，完成所提出的问题。

（1）如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=50°，则∠BPC=___°；

（2）如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，直接写出∠BPC与∠A的数量关系___.

（3）如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠FCB的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.

①写出∠BPC与α的数量关系；

②根据α的取值范围，直接判断△BPC的形状（按角分类）

【题型8】多边形的折叠问题

例8、（2020春·宽城区期末）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处。

【感知】如图①，点A'落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是___________。

【探究】如图②，若点A'落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？

并说明理由。

【拓展】如图③，点A'落在四边形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，则∠A的大小为______度。

迁移训练1.（2019春·玄武区校级期中）定义：

若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”。

根据此定义，完成下面各题：

（1）若△ABC为半角三角形，且∠A=90°，则△ABC中其余两个角的度数为______；

（2）若△ABC是半角三角形，且∠C=40°，则∠B____________________；

（3）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠C=72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若BF⊥AD，则△EDF是半角三角形吗?

若是，请说明理由。

迁移训练2.（2019春·金华期中）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕。

（1）试判断B′E与DC的位置关系，并说明理由；

（2）如果∠C=128°，求∠AEB的度数。

课后练习：

1.（2019春·鄞州区期末）如图将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（）

①∠2=∠4;②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6；④∠4=∠5.

A. 1B. 2C. 3D. 4

2.（2020春·相城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A=40°，则∠BPC的度数是_____.

3.（2020春·澄迈县期末）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，若∠A=∠EDC，∠C=2∠B，则∠C=____度。

4.（2020·铜川一模）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是______°.

5.（2020春·工业园区期末）如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B=220°，则∠1+∠2+∠3=___°.

6.（2019秋·临西县期末）如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.

（1）若∠1=48°，求∠2的度数。

（2）求证：

AB∥DE

7.如图，说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°的理由。

8.（2020春·益阳期末）阅读：

如图1，CE∥AB，所以∠1=∠A，∠2=∠B.所以∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.这是一个有用的结论，请用这个结论，在图2的四边形ABCD内引一条和一边平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数。

9.（2019春·杜尔伯特县期末）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A=120°，∠B=80°，求∠C和∠D的度数。

10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F.

（1）若∠C=120°，求∠1的度数；

（2）写出图中所有与∠2相等的角：

__________________.

11.（2018春·鼓楼区期末）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=130°，∠C=125°.

（1）求∠B的度数；

（2）当∠D=___°时，AB∥DE.请说明理由。

12.

（1）如图1，设∠A=x，则∠1+∠2=_____；

（2）把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点A′处，记∠A′DB为∠1，∠A′EC为∠2.

①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是____________；

②如图3，请你写出∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由。

（3）如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___.

13.如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1.

（1）当∠A为70°时，

∵∠ACD−∠ABD=∠___

∴∠ACD−∠ABD=___°

∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线

∴∠A1CD−∠A1BD=

（∠ACD−∠ABD）

∴∠A1=___°；

（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠A与∠An的数量关系____________；

（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F=___.

（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：

①∠Q+∠A1的值为定值;②∠Q−∠A1的值为定值。

其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值。