多边形及其内角和能力培优.docx
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多边形及其内角和能力培优
多边形及其内角和
一、多边形
1、概念:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.
(注意:
三角形是最简单的多边形)
2、内角:
相邻两边组成的角.
3、外角:
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.
4、分类:
①凸多边形:
任一线段所在直线不会经过图形内部的图形叫凸多边形.
②凹多边形:
只要有一条线段所在直线经过图形内部则被称作为凹多边形.
5、正多边形:
各个角相等,各条边相等的多边形.
二、n边形
1、n个顶点
2、n个内角
3、n条边
4、过一个顶点有(n-3)条对角线
5、过一个顶点的对角线把n边形分成(n-2)个三角形
6、共有
条对角线
7、内角和为(n-2)180°
8、外角和为360°
三、多边形的内角和推理
方法一:
从n边形的一个顶点引出(n-3)条对角线,这(n-3)条对角线把n边形分成(n-2)个三角形,每个三角形的内角和是180°,所以n边形的内角和是(n-2)×180°.
四、多边形外角和的推理
多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角,所以n边形的内角和加上外角和为n×180°,外角和等于n×180°-(n一2)×180°=360°.
题型讲解
【题型1】多边形内角和公式的运用
例1、把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合,按照如图所示的方式叠放在一起,延长LG交AF于点P,则∠APG=()
A. 141°B. 144°C. 147°D. 150°
迁移训练1.如图,若干全等正五边形排成环状。
图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需()个五边形。
A. 6B. 7C. 8D. 9
迁移训练2.在凸四边形ABCD中,∠A-∠B=∠B-∠C=∠C-∠D>0,且四个内角中有一个角为84°,求其余各角的度数。
【题型2】多边形内角和与平行线性质的结合
例2、(2018·南京)如图,五边形ABCDE是正五边形。
若l1∥l2,则∠1−∠2=______°.
迁移训练1.如图,两直线AB与CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___°.
迁移训练2.(2019春·潮南区期末)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC的平分线交CD于点E.
(1)若∠A=70°,求∠ABE的度数;
(2)若AB∥CD,且∠1=∠2,判断DF和BE是否平行,并说明理由。
【题型3】多边形内角和及外角和相结合
例3、
(1)我们在小学已经学过:
三角形的三个内角的和等于180°.如图1中,△ABC的内角和∠1+∠2+∠3=180°,那么在图2中,四边形的内角和∠1+∠2+∠3+∠4=______.
(2)我们知道平角等于180°,图1中∠1+∠4=______;
(3)求图1中∠4+∠5+∠6的大小;图2中∠5+∠6+∠7+∠8的大小。
迁移训练1.(2019秋·辛集市期末)如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分,正多边形①和②的内角都是108°,则正多边形③的边数是___.
迁移训练2.(2020·密云区二模)如图∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角,若∠EAB=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4=___.
【题型4】“截角”问题
例4、(2019春·永年区期末)如图是一个多边形,你能否用一直线去截这个多边形,使得到的新多边形分别满足下列条件:
(画出图形,把截去的部分打上阴影)
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°.
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等。
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.
(2)将多边形只截去一个角,截后形成的多边形的内角和为2520°,求原多边形的边数。
迁移训练1.(2020春·陈仓区期末)如图,在△ABC中,∠A=50°,若剪去∠A得到四边形BCDE,则∠1+∠2=_____.
迁移训练2.(2019秋·长白县期末)“转化”是数学中的一种重要思想,即把陌生的问题转化成熟悉的问题,把复杂的问题转化成简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题。
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图
(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;
(2)若对图
(1)中星形截去一个角,如图
(2),请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数;
(3)若再对图
(2)中的角进一步截去,你能由题
(2)中所得的方法或规律,猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗?
只要写出结论,不需要写出解题过程)
【题型5】构造8字模型解题
例5、(2019秋.西工区校级月考)
(1)如图1我们称之为“8字形”,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系:
________________;
(2)如图2,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=___度
(3)如图3所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,猜想∠C,∠P,∠D之间的数量关系,并证明。
迁移训练1.(2018春-南江县期末)如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______°.
迁移训练2.如图,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
【题型6】多边形内角的角平分线
例6、(2020年春·太康县期末)如图,四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E,∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F.
(1)若∠F=70°,则∠ABC+∠BCD=_____°;∠E=_____°;
(2)探索∠E与∠F有怎样的数量关系,并说明理由;
(3)给四边形ABCD添加一个条件,使得∠E=∠F,所添加的条件为______________.
迁移训练1.(2020春·汝阳县期末)阅读下列材料,然后解答后面的问题。
定义:
把四边形的某些边向两方延长,其他各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凹四边形。
如图1,四边形ABCD为凹四边形。
(1)性质探究:
请完成凹四边形一个性质的证明。
已知:
如图2,四边形ABCD是凹四边形。
求证:
∠BCD=∠B+∠A+∠D.
(2)性质应用:
如图3,在凹四边形ABCD中,∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E,若∠ADC=140°,∠AEC=102°,则∠B=___°.
迁移训练2.(2019春·邳州市期中)四边形ABCD中,∠BAD的角平分线与边BC交于点E,∠ADC的角平分线交直线AE于点O.
(1)若点O在四边形ABCD的内部,
①如图1,若AD∥BC,∠B=40°,∠C=70°,则∠DOE=___°;
②如图2,试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系,并将你的探索过程写下来。
(2)如图3,若点O在四边形ABCD的外部,请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系。
【题型7】多边形外角的角平分线
例7、(2020春·东台市期中)如图,四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.
(1)如图1,若α+β=100°,求∠MBC+∠NDC的度数;
(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=40°,请直接写出α、β所满足的数量关系式;
(3)如图2,若α=β,判断BE、DF的位置关系,并说明理由.
迁移训练1.(2020春·如东县期末)如图,AP,CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM,∠DCN的平分线,设∠ABC=
,.
∠APC=β,则∠ADC的度數为()
A.180°-
-βB.
+βC.
+2βD.2
+β
迁移训练2.请你参与下面探究过程,完成所提出的问题。
(1)如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=50°,则∠BPC=___°;
(2)如图2,P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点,直接写出∠BPC与∠A的数量关系___.
(3)如图3,P是四边形ABCD的外角∠EBC与外角∠FCB的平分线BP和CP的交点,设∠A+∠D=α.
①写出∠BPC与α的数量关系;
②根据α的取值范围,直接判断△BPC的形状(按角分类)
【题型8】多边形的折叠问题
例8、(2020春·宽城区期末)将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处。
【感知】如图①,点A'落在四边形BCDE的边BE上,则∠A与∠1之间的数量关系是___________。
【探究】如图②,若点A'落在四边形BCDE的内部,则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系?
并说明理由。
【拓展】如图③,点A'落在四边形BCDE的外部,若∠1=80°,∠2=24°,则∠A的大小为______度。
迁移训练1.(2019春·玄武区校级期中)定义:
若△ABC中,其中一个内角是另一个内角的一半,则称△ABC为“半角三角形”。
根据此定义,完成下面各题:
(1)若△ABC为半角三角形,且∠A=90°,则△ABC中其余两个角的度数为______;
(2)若△ABC是半角三角形,且∠C=40°,则∠B____________________;
(3)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠C=72°,点E在边CD上,以BE为折痕,将△BCE向上翻折,点C恰好落在AD边上的点F,若BF⊥AD,则△EDF是半角三角形吗?
若是,请说明理由。
迁移训练2.(2019春·金华期中)如图所示,一个四边形纸片ABCD,∠B=∠D=90°,把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B′点,AE是折痕。
(1)试判断B′E与DC的位置关系,并说明理由;
(2)如果∠C=128°,求∠AEB的度数。
课后练习:
1.(2019春·鄞州区期末)如图将一张四边形纸片沿EF折叠,以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是()
①∠2=∠4;②∠2+∠3=180°;③∠1=∠6;④∠4=∠5.
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.(2020春·相城区期中)如图,在锐角三角形ABC中,CD和BE分别是AB和AC边上的高,且CD和BE交于点P,若∠A=40°,则∠BPC的度数是_____.
3.(2020春·澄迈县期末)如图,在四边形ABCD中,点E在AD的延长线上,若∠A=∠EDC,∠C=2∠B,则∠C=____度。
4.(2020·铜川一模)如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠CPD的度数是______°.
5.(2020春·工业园区期末)如图,∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的3个外角,若∠A+∠B=220°,则∠1+∠2+∠3=___°.
6.(2019秋·临西县期末)如图,已知六边形ABCDEF的每个内角都相等,连接AD.
(1)若∠1=48°,求∠2的度数。
(2)求证:
AB∥DE
7.如图,说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°的理由。
8.(2020春·益阳期末)阅读:
如图1,CE∥AB,所以∠1=∠A,∠2=∠B.所以∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.这是一个有用的结论,请用这个结论,在图2的四边形ABCD内引一条和一边平行的直线,求∠A+∠B+∠C+∠D的度数。
9.(2019春·杜尔伯特县期末)如图,在六边形ABCDEF中,AF∥CD,AB∥DE,且∠A=120°,∠B=80°,求∠C和∠D的度数。
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F.
(1)若∠C=120°,求∠1的度数;
(2)写出图中所有与∠2相等的角:
__________________.
11.(2018春·鼓楼区期末)如图,在六边形ABCDEF中,AF∥CD,∠A=130°,∠C=125°.
(1)求∠B的度数;
(2)当∠D=___°时,AB∥DE.请说明理由。
12.
(1)如图1,设∠A=x,则∠1+∠2=_____;
(2)把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠,点A落到点A′处,记∠A′DB为∠1,∠A′EC为∠2.
①如图2,∠1,∠2与∠A的数量关系是____________;
②如图3,请你写出∠1,∠2与∠A的数量关系,并说明理由。
(3)如图4,把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后,3个顶点不重合,那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=___.
13.如图,△ABC中,∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1.
(1)当∠A为70°时,
∵∠ACD−∠ABD=∠___
∴∠ACD−∠ABD=___°
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1CD−∠A1BD=
(∠ACD−∠ABD)
∴∠A1=___°;
(2)∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2,∠A2BC与A2CD的平分线交于A3,如此继续下去可得A4、…、An,请写出∠A与∠An的数量关系____________;
(3)如图2,四边形ABCD中,∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角,若∠A+∠D=230度,则∠F=___.
(4)如图3,若E为BA延长线上一动点,连EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q,当E滑动时有下面两个结论:
①∠Q+∠A1的值为定值;②∠Q−∠A1的值为定值。
其中有且只有一个是正确的,请写出正确的结论,并求出其值。