多边形及其内角和能力培优.docx

1、多边形及其内角和能力培优多边形及其内角和一、多边形1、概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形. （注意：三角形是最简单的多边形）2、内角：相邻两边组成的角.3、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.4、分类：凸多边形：任一线段所在直线不会经过图形内部的图形叫凸多边形. 凹多边形：只要有一条线段所在直线经过图形内部则被称作为凹多边形.5、正多边形：各个角相等，各条边相等的多边形.二、n边形1、n个顶点2、n个内角3、n条边4、过一个顶点有（n-3）条对角线5、过一个顶点的对角线把n边形分成（n-2）个三角形6、共有条对角线7、内角和为（n-2）1808、外角和为360三、多边

2、形的内角和推理方法一：从n边形的一个顶点引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180，所以n边形的内角和是（n-2）180.四、多边形外角和的推理多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n180，外角和等于n180-（n一2）180=360.题型讲解【题型1】多边形内角和公式的运用 例1、把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则APG=( )A.141 B.144 C.147 D.150迁移训练1. 如图，若干全等正五边形排

3、成环状。图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需( )个五边形。A.6 B.7 C.8 D.9迁移训练2. 在凸四边形ABCD中，A-B=B-C=C-D0，且四个内角中有一个角为84，求其余各角的度数。【题型2】多边形内角和与平行线性质的结合例2、（2018南京）如图，五边形ABCDE是正五边形。若l1l2，则12=_.迁移训练1. 如图，两直线AB与CD平行，则1+2+3+4+5+6=_.迁移训练2. （2019春潮南区期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC的平分线交CD于点E.(1)若A=70，求ABE的度数；(2)若ABCD，且1=2，判断DF和BE是否平行，并说明理由。【

4、题型3】多边形内角和及外角和相结合例3、(1)我们在小学已经学过：三角形的三个内角的和等于180.如图1中，ABC的内角和1+2+3=180，那么在图2中，四边形的内角和1+2+3+4=_.(2)我们知道平角等于180，图1中1+4=_；(3)求图1中4+5+6的大小；图2中5+6+7+8的大小。迁移训练1. （2019秋辛集市期末）如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形和的内角都是108，则正多边形的边数是_.迁移训练2. （2020密云区二模）如图1、2、3、4是五边形ABCDE的4个外角，若EAB=120，则1+2+3+4=_.【题型4】“截角”问题

5、例4、（2019春永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：(画出图形，把截去的部分打上阴影)新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180.新多边形的内角和与原多边形的内角和相等。新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180.(2)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520，求原多边形的边数。迁移训练1. （2020春陈仓区期末）如图，在ABC中，A=50，若剪去A得到四边形BCDE，则1+2=_.迁移训练2. （2019秋长白县期末）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题

6、，把抽象的问题转化为具体的问题。(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中A+B+C+D+E的度数；(2)若对图(1)中星形截去一个角，如图(2)，请你求出A+B+C+D+E+F的度数；(3)若再对图(2)中的角进一步截去，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想图3中的A+B+C+D+E+F+G+H+M+N的度数吗?只要写出结论，不需要写出解题过程)【题型5】构造8字模型解题例5、（2019秋.西工区校级月考）(1)如图1我们称之为“8字形”，请直接写出A，B，C，D之间的数量关系：_；(2)如图2，1+2+3+4+5+6+7=_度(3)如图3所示，已知1=2，3=4，猜想C，P，D之

7、间的数量关系，并证明。迁移训练1. （2018春-南江县期末）如图所示，求A+B+C+D+E+F=_.迁移训练2. 如图，求1+2+3+4+5+6+7的度数【题型6】多边形内角的角平分线例6、（2020年春太康县期末）如图，四边形ABCD的内角BAD、CDA的角平分线交于点E，ABC、BCD的角平分线交于点F.(1)若F=70，则ABC+BCD=_;E=_；(2)探索E与F有怎样的数量关系，并说明理由；(3)给四边形ABCD添加一个条件，使得E=F，所添加的条件为_.迁移训练1. （2020春汝阳县期末）阅读下列材料，然后解答后面的问题。定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得

8、直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形。如图1，四边形ABCD为凹四边形。(1)性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明。已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形。求证：BCD=B+A+D.(2)性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，BAD的角平分线与BCD的角平分线交于点E，若ADC=140，AEC=102，则B=_.迁移训练2. （2019春邳州市期中）四边形ABCD中，BAD的角平分线与边BC交于点E，ADC的角平分线交直线AE于点O.(1)若点O在四边形ABCD的内部，如图1，若ADBC，B=40，C=70，则DOE=_；如图2，试探索B、C、DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来

9、。(2)如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出B、C、DOE之间的数量关系。【题型7】多边形 外角的角平分线例7、（2020春东台市期中） 如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，若BAD=，BCD=（1）如图1，若+=100，求MBC+NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，BGD=40，请直接写出、所满足的数量关系式；（3）如图2，若=，判断BE、DF的位置关系，并说明理由迁移训练1. （2020春如东县期末）如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角DAM，DCN的平分线，设ABC=，.APC=，则ADC的度數为（ ）A.180- B.

10、+ C.+2 D.2+迁移训练2. 请你参与下面探究过程，完成所提出的问题。(1)如图1，P是ABC的内角ABC与ACB的平分线BP和CP的交点，若A=50，则BPC=_；(2)如图2，P是ABC的外角DBC与外角ECB的平分线BP和CP的交点，直接写出BPC与A的数量关系_.(3)如图3，P是四边形ABCD的外角EBC与外角FCB的平分线BP和CP的交点，设A+D=.写出BPC与的数量关系；根据的取值范围，直接判断BPC的形状(按角分类)【题型8】多边形的折叠问题例8、（2020春宽城区期末）将纸片ABC沿DE折叠使点A落在点A处。【感知】如图，点A落在四边形BCDE的边BE上，则A与1之间

11、的数量关系是_。【探究】如图，若点A落在四边形BCDE的内部，则A与1+2之间存在怎样的数量关系？并说明理由。【拓展】如图，点A落在四边形BCDE的外部，若1=80，2=24，则A的大小为_度。迁移训练1. （2019春玄武区校级期中）定义：若ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称ABC为“半角三角形”。根据此定义，完成下面各题：(1)若ABC为半角三角形，且A=90，则ABC中其余两个角的度数为_；(2)若ABC是半角三角形，且C=40，则B_；(3)如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，C=72，点E在边CD上，以BE为折痕，将BCE向上翻折，点C恰好落在AD边上的点F，若

12、BFAD，则EDF是半角三角形吗?若是，请说明理由。迁移训练2. （2019春金华期中）如图所示，一个四边形纸片ABCD，B=D=90，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B点，AE是折痕。(1)试判断BE与DC的位置关系，并说明理由；(2)如果C=128，求AEB的度数。课后练习：1.（2019春鄞州区期末）如图将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出ADBC的条件个数是( )2=4;2+3=180；1=6；4=5.A.1 B.2 C.3 D.42.（2020春相城区期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若A=40，则BPC的度

13、数是_.3.（2020春澄迈县期末）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，若A=EDC，C=2B，则C=_度。4.（2020铜川一模）如图，在五边形ABCDE中，A+B+E=300，DP、CP分别平分EDC、BCD，则CPD的度数是_.5.（2020春工业园区期末）如图，1，2，3是五边形ABCDE的3个外角，若A+B=220，则1+2+3=_.6.（2019秋临西县期末）如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.(1)若1=48，求2的度数。(2)求证：ABDE7.如图，说明A+B+C+D+E=180的理由。8.（2020春益阳期末）阅读：如图1，CEAB，所以1=A

14、，2=B.所以ACD=1+2=A+B.这是一个有用的结论，请用这个结论，在图2的四边形ABCD内引一条和一边平行的直线，求A+B+C+D的度数。9.（2019春杜尔伯特县期末）如图，在六边形ABCDEF中，AFCD，ABDE，且A=120，B=80，求C和D的度数。10.如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F.(1)若C=120，求1的度数；(2)写出图中所有与2相等的角：_.11.（2018春鼓楼区期末）如图，在六边形ABCDEF中，AFCD，A=130，C=125.(1)求B的度数；(2)当D=_时，ABDE.请说明理由。12.(1)

15、如图1，设A=x，则1+2=_；(2)把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点A处，记ADB为1，AEC为2.如图2，1，2与A的数量关系是_；如图3，请你写出1，2与A的数量关系，并说明理由。(3)如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中1+2+3+4+5+6=_.13.如图，ABC中，ABC的角平分线与ACB的外角ACD的平分线交于A1.(1)当A为70时，ACDABD=_ACDABD=_BA1、CA1是ABC的角平分线与ACB的外角ACD的平分线A1CDA1BD=(ACDABD)A1=_；(2)A1BC的角平分线与A1CD的角平分线交于A2，A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、An，请写出A与An的数量关系_；(3)如图2，四边形ABCD中，F为ABC的角平分线及外角DCE的平分线所在的直线构成的角，若A+D=230度，则F=_.(4)如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，AEC与ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：Q+A1的值为定值;QA1的值为定值。其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值。