用假设法解决问题.docx
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用假设法解决问题
用假设法解决问题
（一）
河北省平乡县大刘庄小学李明亮
先举一个简单的例子：
甲班有学生45人，乙班比甲班多3人。
两班共有学生多少人
解此题的一般方法是，先求出乙班人数，再求学生总数。
如果列式为45X2+3就
是用了假设法一一假设乙班也是45人，则两班共有45X2=90（人）。
但乙班实际人数比45人多3人，所以两班的实际总人数比90人多3人。
有些数学题的数量关系不明显，不容易找到解题的方法。
如果我们做一些适当、
合理的假设，就有可能使数量关系明显，从而找到解题的方法。
这种解题方法叫做假
设法。
假设的方法有多种，要灵活运用。
一、把“缺少”的条件假设为已知
例1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。
回家后，乙要的大米比甲、丙都少6千克，因此，甲、丙都又退给乙6元钱。
每千克大米多少元、
分析：
不知道三人共买了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的单价似乎很难。
但是，我们可以假设大米的数量。
假设乙要了1千克大米，则甲、丙都要了7千克，三人共买了7+7+1=15（千克）每人平均15-3=5（千克）。
在粮店，他们平均出钱，每人出的都是5千克大米的
钱。
回家后，甲、丙要的大米都比平均数多7-5=2（千克），所以甲或丙退给乙的6
元钱就是多要的2千克大米的价钱。
乙要的大米比平均数少5-1=4（千克），所以甲和丙退给他的12元钱就是少要的这4千克大米的价钱。
这样，就可求出大米的单价。
解法-[7-（7+7+1）-3]=3（元）
解法X2-[（7+7+1）-3-1]=3（元）
本题还可以用下面的方法解（这里只画出线段图，分析略）
解法-（6-6X2-3）=3（元）
解法X2-（6X2-3）=3（元）
①此文原题目为《用假设法解应用题》，初稿完成于1993年11月，1994年12月第一次修改，1997年8月第二
次修改。
例2.小王骑车去火车站。
他计划以每小时15千米的速度行驶，这样才能正好赶上火车。
可是，前一半路程他骑车的速度是每小时12千米。
下一半路程他应该以多快的速度骑行，才能赶上火车
分析与解答：
题中只有两个速度，没有路程怎样计算可以假设路程。
假设路程是30千米，则小王按计划骑行，需要的时间是30-15=2（小时）。
前一半路程他已经用了30-2-12=（小时）；下一半路程他应该用的时间是2-=（小时），应该用的骑车速度是每小时30-2-=20（千米）。
30-2-（30-15-30-2-12）=20（千米）
答：
（略）
当然，把路程假设为3千米、6千米、10千米……结果都是一样的。
为“1”当作工程问题来解，也很简便。
把路程假设
例3.甲数的3等于乙数的-，甲数比乙数大几分之几
58
分析与解法1.假设甲数是25,贝U甲数的3是25X3=15。
即乙数的
55
5也是15,乙
8
数是15-5=24。
8
1
（25—24）-24=—
24
解法2.假设乙数是1,贝U甲数是1X5-3=25
8524
（25-1）-1=丄
2424
分析与解法3.假设甲数的-与乙数的5都等于1,贝U甲数是1-3
585
—，乙数是1
3
5=8
85
（3-8）-8=丄
55524
例4.一次考试，某班学生的平均分数为87分。
其中90%勺学生达到了80分，他们的平均分数为89分。
80分以下的学生的平均分数是多少
分析与解答：
假设全班有40人，则达到80分的学生数是40X90%=36（人），80分以下的学生数为40-36=4（人）。
全班学生总分为87X40=3480（分）；达到80分的学生总分为89X36=3204（分）；80分以下的学生的总分为3480-3204=276（分），平均分是276-4=69（分）。
综合算式：
（87X40-89X40X90%-（40-40X90%=69（分）
注：
如果假设全班有4人，则解法更简便。
这类问题，似乎都缺少一个重要条件，但问题的答案却与这个“重要条件”无关。
所以，无论把这个“重要条件”假设为多少，都不影响计算结果，但假设的数据应便于计算。
类似问题;
1.甲乙二人走同一段路，甲所用的时间比乙短丄，甲的速度比乙快几分之几
11
2.—艘轮船停靠在码头，计划12小时把货卸完。
实际卸货的速度提高了-。
实际
5
几小时可以卸完
3.植树节这天，同学们去种树，平均每人应该种2棵。
如果只让男同学去种，平均每人应该种3棵。
如果只让女同学去种，平均每人应该种几棵
二、把一般条件假设为特殊条件
例5.一个正方形的面积是20平方分米。
在这个正方形内画一个最大的圆，求这个圆的面积。
分析：
求圆的面积，一般要先求出圆的半径。
在本题中，如果知道了正方形的边长，就可求出圆的半径，但题中只给了正方形的面积。
根据正方形的面积求边长，要用开方。
对于小学生来说，只有正方形的面积是4、9、16、25……时，才有可能推想出它的边长。
用小学知识能不能解这道题呢
解法1.假设这个正方形的面积是25平方分米，则它的边长是5分米。
所以，假设的这个正方形内的最大的圆的直径是5分米，面积是
（2）2x=（平方分米）
而原正方形面积是假设的这个正方形面积的20,所求的圆的面积也应该是假设的
25
这个圆面积的垒。
25
x25=（平方分米）
解法2.假设正方形的边长是20分米，则它里面最大的圆的直径也是20分米，面积是（空）2x=314（平方分米）。
把面积20平方分米的正方形假设为边长20分米，
2
面积就扩大了20倍，它里面最大的圆的面积也就扩大了20倍。
所以，所求的圆的面积是
314-20=（平方分米）
注：
此题不用假设法也可以解。
如图，把正方形平均分成4个小正方形，每个小
正方形的面积都是20十4=5（平方分米），即r2=5.所以圆的面积是
S=nr2=x5=（平方分米）。
类似习题:
1.把一个面积是平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。
求这个正方形纸片的面积。
2.一个正方体的体积是9立方分米，另一个正方体的棱长是它的2倍。
求另一个正方体的体积。
三、把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛”
有些问题，给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量，我们称之为分率（倍数）带“铃铛”。
可以假设法（当然，也可以用用画图的方法）把数量进行调整，使分率（倍数）不带“铃铛”。
例6.工人师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的-多4个，第二天加工
3
了全部零件的1少1个，还剩16个每加工。
这批零件共多少个
2
-，还剩（16+44—1）个没加工”。
2
11
（16+4—1）-（1—1—丄）=114（个）
32
例9.水果店有535千克橘子，第一天卖出8筐又17千克，第二天卖出5筐又11千克，还剩195千克。
每筐橘子的重量相等。
第一天卖出多少千克
解（分析略）：
每筐橘子有多重
（535—195—17—11）-（8+5）=24（千克）第一天卖出多少千克
24X8+17=209（千克）
类似习题:
1.师徒二人加工一批零件。
徒弟加工了92个，超额15流成了自己的任务。
他
的任务比师傅任务的3多32个。
师傅加工零件的任务是多少个
4
2.车站仓库里原有煤若干吨。
第一次运出的比存煤的一半少350吨，第二次运出
现有煤的一半有50吨，结果还剩500吨。
仓库里原有煤多少吨
3.小明有人民币若干元。
买书用去其中的一半又5角，买文具用去剩下的一半又
5角，买本又用去第二次剩下的一半又5角，最后还剩5角。
小明原有多少元
四、虚构、改编情节
例10.一个班有48人。
班主任在班会上问：
谁做完语文作业请举手。
有37人举
手。
又问：
谁做完数学作业请举手。
有42人举手。
最后问：
谁语文、数学作业都没做完没有人举手。
你想想看：
这个班语文、数学作业都做完的有多少人
没有两种作业都
79人
31人（79-
分析与解法1.全班做完语文数学作业的分别有37人和42人,没做完的。
假设全班学生都正好做完了一种作业，那么全班应该有
（37+42=79。
但实际上全班只有48人，假设的人数比实际人数多48=31）。
为什么会多出31人是因为这31人都举了两次手。
37+42-48=31（人）
分析与解法2.已知有37人做完了语文作业。
假设全班48人都做完了数学作业，那么做完语文作业的37人就是两种作业都做完的人数。
但是，实际做完数学作业的只有42人，比假设的48人少6人。
所以，两种作业都做完的也应该比37人少6
人。
37—（48—37）=31（人）
分析与解法3.有37人做完了语文作业。
假设全班48人都正好做完了一种作业，没有人做完两种作业，则做完数学作业的应该是11人（48-37=11）。
但实际做
完数学作业的有42人，比假设的11人多31人（42—11=31）。
这31人既做完了数学作业，又做完了语文作业。
42—（48—37）=31（人）
分析4.假设班主任不是让学生举手，而是让做完作业的学生交作业本一一把语文、数学作业本各摆一行，并且同一学生的两个作业本的两个作业本上下对齐摆放（如下图）。
1。
这样，只要数一数作业本数，就可以知道做完作业的人数。
但是，两种作业的总本数比全班人数多，因为两种作业都做完的学生都交了两个本。
如果再让全班每个学生都拿回去一个本（共拿回去48本），就只剩下两种作业都做完的人的作业本了（两种作业都做完的人，每人剩一本摆在那里）。
这样就可得到解法
从上图中也可以得到解法2、解法3，还可以得到解法4。
解法4.48—（48—37）—（48—37）=31（人）
注：
上面的四种解法都可以用其他思考方法得到。
例11.一人骑摩托车从A城去B城。
若以每小时30千米的速度行驶，他将迟到2小时；若以每小时48千米的速度行驶，他将早到1小时。
AB两城相距多少千米要准时到达，每小时该行多少千米
分析1.从A城出发，以每小时30千米的速度行驶，要迟到2小时，即到既定时刻离B城还有60千米的路程（30X2=60）;以每小时48千米的速度行驶，将早到1小时。
假设他以每小时48千米的速度行驶到B城后没有停下，而是又向前行了1小时，到既定时刻才停下。
用相同的时间，用两种速度行驶的路程相差108千米（60+48=108）。
由此可求
出行驶的时间，进而就可求出两地距离和应有的速度。
解法1.①从出发到既定时刻是几小时
（30X2+48X1）十（48—30）=6（小时）
②AB两城相距多少千米
30X（6+2）=240（千米）或48X（6—1）=240（千米）
③要准时到达，每小时该行多少千米
240-6=40（千米）
分析2.假设有两个人分别以每小时30千米和每小时48千米的速度，同时从A城出发驶向B城。
当快车提前1小时到达B城时，慢车距B城还有2+1=3小时的路程，即快车比慢车多行了30X3=90千米。
由此可求出快车到达B城所用的时间。
解法2.①每小时行驶48千米，几小时可到达
30X（2+1）-（48—30）=5（小时）
②AB两城相距多少千米
48X5=240（千米）
③要准时到达，每小时该行多少千米
240-（5+1）=40（千米）
解法3（分析略）.①每小时行驶30千米，几小时可到达
48X（2+1）-（48—30）=8（小时）
②AB两城相距多少千米
30X8=240（千米）
③要准时到达，每小时该行多少千米
240-（8—2）=40（千米）
例12.一项工作，甲单独做40天可以完成，乙单独做60天可以完成。
二人合作，甲因病休息了几天，他们共用了27天才完成。
问：
甲中途休息了几天
分析：
甲乙合作，每天可完成这项工作的丄+丄=丄.假设甲中途没有休息，甲
406024
乙合作27天，可完成这项工作的—X27=9,超过任务的1。
甲几天可以完成这项工
2488
作的-呢
8
答:
本题的另外几种解法:
⑵把甲的工效设为“
（3）把乙的工效设为
40
1”:
27—（1X40——X27）-1=5（天）
60
“1”：
27—（1X60—1X27）-^0=5（天）
40
⑸[（1+60）X27—1X60]-60=5（天）
4040
例13.食堂有面粉和大米共168千克。
一天用去了面粉的-和大米的丄，一共用
43
去48千克。
面粉和大米原来各有多少千克
（大米）
（面粉）
2条腿，所以有17只兔。
分析与解法1.假设把鸡和兔都砍掉2条腿，则43只鸡和兔就会被砍掉86条腿（2X43=86）,只剩下34条（120—86=34）。
这34条都是兔腿，因为鸡都没了腿。
每只兔只剩
（120—2X43）十（4—2）=17（只）
43—17=26（只）
分析与解法2.假设每只鸡也都有了4条腿（都又“长”出来和兔一共应该有172条腿（43X4=172）。
所有的鸡一共“长”出了每只鸡都“长”出来了2条腿，是多少只鸡“长”出来
（4X43—120）-（4—2）=26（只）
43—26=17（只）
分析与解法3.假设把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿（每只鸡只剩一条腿，每只兔剩2条腿，则43只鸡和兔一共剩下60条腿（120-2=60）。
每只鸡和兔都有一个头。
把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿后，鸡的腿数和头数同样多，而每只兔的腿数都比头数多1。
现在，43只鸡和兔共有43个头、60条腿，腿数比头数多17（60—43=17），所以有17只兔。
120-2—1X43）-（4-2—1）=17（只）
例16.一次数学竞赛，共20道题。
评分标准是：
每答对一道，给5分；答错一道，倒扣3分；不答的，给0分。
小华参加这次竞赛，全答了，但只得了76分。
他答对了多少道
分析与解：
假设把评分标准改为“每答对一道，给8分；答错或不答的不给分也不扣分”（即，只要答了的题，不管对错，每道都比原评分标准多给3分），则小华应比原来多得60分（3X20=60）,一共应得136分（76+60=136）。
对一道给8分，他对了多少道呢
76+3X20）-（5＋3）=17（道）
有些问题，如果虚构、改编一些情节，就有可能使复杂的情节变简单，隐蔽的数量关系变明显。
解数学题，重要的是数量关系，而不是情节。
在不改变题目的结构、数量关系的前提下假设、虚构一些情节，不会影响计算结果。
类似题目：
1.甲乙二人同时骑车从A城去B城，甲每小时行24千米，乙每小时行18千米。
甲在途中因修车停留2小时，结果比乙晚1小时到达B城。
AB两城相距多少千米
2.某校安排学生住宿。
若每间宿舍住6人，则34人无住处；若每间住7人，则空出4间宿舍。
有学生多少人
3.甲乙丙三人共同做一件工作，15天可以完成。
但由于甲请了2天假，乙请了3天假，他们一共用了17天才完成。
已知甲的工作效率是乙的倍。
如果让甲单独做这项工作，多少天可以完成
4.一个筑路队原计划20天修完一条公路。
实际每天比计划多修45米，提前5天完成了任务。
这条公路长多少米
5.一个班有42人。
28人参加了数学小组，14人参加了语文小组，10人两个小组都没参加。
有几个人两个小组都参加了
40
（4）[（1+40）X27—1X40]-1=5（天）
1
解法2.（48X4—168）-（1X4—1）=72（千克）
3
168—72=96（千克）
注：
本题还有其他假设解法。
例14.一个化肥厂计划14天完成一项任务。
由于每天多生产吨，结果9天就完
成了任务。
原计划每天生产多少吨
分析1.假设有甲乙两个厂分别按这个厂计划的效率和实际的效率进行生产。
则当按实际的效率（每天比甲厂多生产吨）生产9天完成任务时，乙厂比甲厂共多生产
吨（X9=）。
这时，甲厂还需再生产5天才能完成任务。
由此可求出甲厂每天生产多少吨（计划每天生产多少吨）.
解法1.X9-（14—9）=（吨）
解法2（分析略）.X14-（14—9）—=（吨）
例15.鸡和兔共43只，它们共有120条腿。
鸡和兔各有多少只
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