用假设法解决问题.docx

1、用假设法解决问题用假设法解决问题（一）河北省平乡县大刘庄小学 李明亮先举一个简单的例子：甲班有学生 45人，乙班比甲班多3人。两班共有学生多少 人解此题的一般方法是，先求出乙班人数，再求学生总数。如果列式为 45X 2+3就是用了假设法一一假设乙班也是 45人，则两班共有45X2=90（人）。但乙班实际人数 比45人多3人，所以两班的实际总人数比 90人多3人。有些数学题的数量关系不明显，不容易找到解题的方法。如果我们做一些 适当、合理的假设，就有可能使数量关系明显，从而找到解题的方法。这种解题方法叫做 假设法。假设的方法有多种，要灵活运用。一、把“缺少”的条件假设为已知例1.甲、乙、丙三人出

2、了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。回家后，乙要的 大米比甲、丙都少6千克，因此，甲、丙都又退给乙 6元钱。每千克大米多少元、分析：不知道三人共买了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的 单价似乎很难。但是，我们可以假设大米的数量。假设乙要了 1千克大米，则甲、丙都要了 7千克，三人共买了 7+7+1=15 （千克） 每人平均15- 3=5 （千克）。在粮店，他们平均出钱，每人出的都是 5千克大米的钱。回家后，甲、丙要的大米都比平均数多 7- 5=2 （千克），所以甲或丙退给乙的6元钱就是多要的2千克大米的价钱。乙要的大米比平均数少 5- 1=4 （千克），所以甲 和丙退给他的12元

3、钱就是少要的这4千克大米的价钱。这样，就可求出大米的单 价。解法-7 - (7 +7+ 1) - 3=3 (元)解法 X 2- (7 +7+ 1) - 3- 1=3 (元)本题还可以用下面的方法解（这里只画出线段图，分析略）解法-(6-6X 2-3) =3 (元)解法 X 2-( 6X 2-3) =3 (元)此文原题目为用假设法解应用题，初稿完成于 1993年11月，1994年12月第一次修改，1997年8月第二次修改。例2.小王骑车去火车站。他计划以每小时 15千米的速度行驶，这样才能正好赶 上火车。可是，前一半路程他骑车的速度是每小时 12千米。下一半路程他应该以多 快的速度骑行，才能赶上

4、火车分析与解答：题中只有两个速度，没有路程怎样计算可以假设路程。假设路程是30千米，则小王按计划骑行，需要的时间是 30- 15=2 （小时）。前 一半路程他已经用了 30-2-12=（小时）；下一半路程他应该用的时间是 2- = （小 时），应该用的骑车速度是每小时 30- 2- =20 （千米）。30-2-( 30- 15-30- 2- 12) =20(千米)答：（略）当然，把路程假设为3千米、6千米、10千米结果都是一样的。 为“1”当作工程问题来解，也很简便。把路程假设例3.甲数的3等于乙数的-，甲数比乙数大几分之几5 8分析与解法1.假设甲数是25,贝U甲数的3是25X 3=15。即

5、乙数的5 55也是15,乙8数是 15 - 5 =24。81(25 24)- 24= 24解法2.假设乙数是1,贝U甲数是1X 5 - 3 = 258 5 24(25 -1)- 1=丄24 24分析与解法3.假设甲数的-与乙数的5都等于1,贝U甲数是1-35 8 5，乙数是 135=88 5(3-8)- 8=丄5 5 5 24例4. 一次考试，某班学生的平均分数为 87分。其中90%勺学生达到了 80分，他 们的平均分数为89分。80分以下的学生的平均分数是多少分析与解答：假设全班有40人，则达到80分的学生数是40X 90%=36（人），80 分以下的学生数为40-36=4 （人）。全班学生

6、总分为87 X 40=3480 （分）；达到80分的学生总分为89X 36=3204 （分）；80分以下的学生的总分为 3480- 3204=276 （分），平均分是 276-4=69 （分）。综合算式：（87X 40- 89X 40 X 90% -（ 40- 40X 90% =69（分）注：如果假设全班有4人，则解法更简便。这类问题，似乎都缺少一个重要条件，但问题的答案却与这个“重要条件”无 关。所以，无论把这个“重要条件”假设为多少，都不影响计算结果，但假设的数据 应便于计算。类似问题;1.甲乙二人走同一段路，甲所用的时间比乙短 丄，甲的速度比乙快几分之几112.艘轮船停靠在码头，计划12

7、小时把货卸完。实际卸货的速度提高了 -。实际5几小时可以卸完3.植树节这天，同学们去种树，平均每人应该种 2棵。如果只让男同学去种，平 均每人应该种3棵。如果只让女同学去种，平均每人应该种几棵二、把一般条件假设为特殊条件例5. 一个正方形的面积是20平方分米。在这个正方形内画一个最大的圆，求这 个圆的面积。分析：求圆的面积，一般要先求出圆的半径。在本题中，如果知道了正方形的边 长，就可求出圆的半径，但题中只给了正方形的面积。根据正方形的面积求边长，要 用开方。对于小学生来说，只有正方形的面积是 4、9、16、25时，才有可能推想 出它的边长。用小学知识能不能解这道题呢解法1.假设这个正方形的面

8、积是25平方分米，则它的边长是5分米。所以，假 设的这个正方形内的最大的圆的直径是 5分米，面积是（2）2x =（平方分米）而原正方形面积是假设的这个正方形面积的 20 ,所求的圆的面积也应该是假设的25这个圆面积的垒。25x 25 =（平方分米）解法2.假设正方形的边长是20分米，则它里面最大的圆的直径也是 20分米，面 积是（空）2x =314 （平方分米）。把面积20平方分米的正方形假设为边长20分米，2面积就扩大了 20倍，它里面最大的圆的面积也就扩大了 20倍。所以，所求的圆的面 积是314-20=（平方分米）注：此题不用假设法也可以解。如图，把正方形平均分成 4个小正方形，每个小正

9、方形的面积都是20十4=5 （平方分米），即r2=5.所以圆的面积是S=n r2=x 5=（平方分米）。类似习题:1.把一个面积是平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。求这个正方形纸片 的面积。2. 一个正方体的体积是9立方分米，另一个正方体的棱长是它的 2倍。求另一个 正方体的体积。三、把带“铃铛”的分率（倍数）假设为不带“铃铛”有些问题，给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量，我们称之为分率 （倍数）带“铃铛”。可以假设法（当然，也可以用用画图的方法）把数量进行调 整，使分率（倍数）不带“铃铛”。例6.工人师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的 -多4个，第二天加工3了全部零件的1

10、少1个，还剩16个每加工。这批零件共多少个2-，还剩（16+441）个没加工”。21 1（16+4 1）-（ 1 1 丄）=114 （个）3 2例9.水果店有535千克橘子，第一天卖出8筐又17千克，第二天卖出5筐又11 千克，还剩195千克。每筐橘子的重量相等。第一天卖出多少千克解（分析略）：每筐橘子有多重（535 1951711） -（ 8 + 5） =24 （千克） 第一天卖出多少千克24 X 8 + 17=209 （千克）类似习题:1.师徒二人加工一批零件。徒弟加工了 92个，超额15流成了自己的任务。他的任务比师傅任务的3多32个。师傅加工零件的任务是多少个42.车站仓库里原有煤若干

11、吨。第一次运出的比存煤的一半少 350吨，第二次运出现有煤的一半有50吨，结果还剩500吨。仓库里原有煤多少吨3.小明有人民币若干元。买书用去其中的一半又 5角，买文具用去剩下的一半又5角，买本又用去第二次剩下的一半又 5角，最后还剩5角。小明原有多少元四、虚构、改编情节例10. 一个班有48人。班主任在班会上问：谁做完语文作业请举手。有 37人举手。又问：谁做完数学作业请举手。有 42人举手。最后问：谁语文、数学作业都没 做完没有人举手。你想想看：这个班语文、数学作业都做完的有多少人没有两种作业都79人31 人（79 -分析与解法1.全班做完语文数学作业的分别有 37人和42人, 没做完的。

12、假设全班学生都正好做完了一种作业，那么全班应该有（37+42=79。但实际上全班只有48人，假设的人数比实际人数多 48=31）。为什么会多出31人是因为这31人都举了两次手。37+42- 48=31 （人）分析与解法2.已知有37人做完了语文作业。假设全班48人都做完了数学作 业，那么做完语文作业的37人就是两种作业都做完的人数。但是，实际做完数学作 业的只有42人，比假设的48人少6人。所以，两种作业都做完的也应该比 37人少6人。37（ 4837） =31 （人）分析与解法3.有37人做完了语文作业。假设全班48人都正好做完了一种作 业，没有人做完两种作业，则做完数学作业的应该是 11人

13、（48- 37=11）。但实际做完数学作业的有42人，比假设的11人多31人（4211=31）。这31人既做完了数 学作业，又做完了语文作业。42（ 4837） =31 （人）分析4.假设班主任不是让学生举手，而是让做完作业的学生交作业本一一把语 文、数学作业本各摆一行，并且同一学生的两个作业本的两个作业本上下对齐摆放 （如下图）。1。这样，只要数一数作业本数，就可以知道做完作业的人数。但是，两种作业的总 本数比全班人数多，因为两种作业都做完的学生都交了两个本。如果再让全班每个学 生都拿回去一个本（共拿回去 48本），就只剩下两种作业都做完的人的作业本了 （两种作业都做完的人，每人剩一本摆在那

14、里）。这样就可得到解法从上图中也可以得到解法 2、解法 3，还可以得到解法 4。解法 4. 48 ( 48 37) ( 48 37) =31 (人)注：上面的四种解法都可以用其他思考方法得到。例11. 一人骑摩托车从A城去B城。若以每小时30千米的速度行驶，他将迟到2 小时；若以每小时48千米的速度行驶，他将早到1小时。AB两城相距多少千米要准 时到达，每小时该行多少千米分析1.从A城出发，以每小时30千米的速度行驶，要迟到2小时，即到既定时 刻离B城还有60千米的路程（30X 2=60）;以每小时48千米的速度行驶，将早到1 小时。假设他以每小时48千米的速度行驶到B城后没有停下，而是又向前

15、行了 1小 时，到既定时刻才停下。用相同的时间，用两种速度行驶的路程相差 108千米（ 60+48=108）。由此可求出行驶的时间，进而就可求出两地距离和应有的速度。解法 1. 从出发到既定时刻是几小时(30X 2 + 48X 1)十(48 30)=6(小时)AB两城相距多少千米30X( 6 + 2) =240 (千米)或 48X( 6 1) =240 (千米)要准时到达，每小时该行多少千米240- 6=40(千米)分析 2. 假设有两个人分别以每小时 30 千米和每小时 48 千米的速度，同时从 A 城出发驶向B城。当快车提前1小时到达B城时，慢车距B城还有2+1=3小时的路 程，即快车比慢

16、车多行了 30X 3=90千米。由此可求出快车到达 B城所用的时间。解法 2. 每小时行驶 48千米，几小时可到达30X(2+1)- (48 30)=5(小时)AB两城相距多少千米48 X 5=240 （千米）要准时到达，每小时该行多少千米240-（ 5+1）=40 （千米）解法3 (分析略).每小时行驶30千米，几小时可到达48X（2+1）- （48 30）=8（小时）AB两城相距多少千米30 X 8=240 （千米）要准时到达，每小时该行多少千米240-（ 8 2） =40 （千米）例12. 一项工作，甲单独做40天可以完成，乙单独做60天可以完成。二人合 作，甲因病休息了几天，他们共用了

17、 27天才完成。问：甲中途休息了几天分析：甲乙合作，每天可完成这项工作的 丄+丄=丄.假设甲中途没有休息，甲40 60 24乙合作27天，可完成这项工作的 X 27=9,超过任务的1。甲几天可以完成这项工24 8 8作的-呢8答:本题的另外几种解法:把甲的工效设为“(3)把乙的工效设为401” :27 （1 X 40X 27） - 1=5 （天）60“ 1”： 27 （1 X 60 1X 27） - 0=5 （天）40（1+60 ）X 27 1X 60 - 60 =5（天）40 40例13.食堂有面粉和大米共168千克。一天用去了面粉的-和大米的丄，一共用4 3去48千克。面粉和大米原来各有多

18、少千克（大米）（面粉）2 条腿，所以有 17 只兔。分析与解法 1 .假设把鸡和兔都砍掉 2条腿，则 43只鸡和兔就会被砍掉 86条腿 (2X43=86), 只剩下 34条(12086=34)。这 34条都是兔腿，因为鸡都没了腿。每 只兔只剩（120 2X 43）十（4 2）=17（只）43 17=26（只）分析与解法 2.假设每只鸡也都有了 4条腿(都又“长”出来 和兔一共应该有 172条腿( 43X 4=172)。所有的鸡一共“长”出了 每只鸡都“长”出来了 2条腿，是多少只鸡“长”出来（4X 43 120）- （4 2）=26（只）43 26=17（只）分析与解法 3. 假设把每只鸡和兔

19、都砍掉一半数量的腿(每只鸡只剩一条腿，每 只兔剩 2条腿，则 43只鸡和兔一共剩下 60条腿(120-2=60)。每只鸡和兔都有一 个头。把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿后，鸡的腿数和头数同样多，而每只兔的腿 数都比头数多 1。现在，43只鸡和兔共有 43个头、 60条腿，腿数比头数多 17(60 43=17)，所以有 17只兔。120-21X43）-（4-21） =17（只）例16.一次数学竞赛，共 20道题。评分标准是：每答对一道，给 5分；答错一 道，倒扣 3分；不答的，给 0分。小华参加这次竞赛，全答了，但只得了 76分。他 答对了多少道分析与解 ：假设把评分标准改为“每答对一道，给 8

20、 分；答错或不答的不给分也 不扣分” (即，只要答了的题，不管对错，每道都比原评分标准多给 3分) ，则小华应 比原来多得60分(3X 20=60), 一共应得136分(76+60=136)。对一道给8分，他 对了多少道呢76+3X 20）-（53） =17（道）有些问题，如果虚构、改编一些情节，就有可能使复杂的情节变简单，隐蔽的数 量关系变明显。解数学题，重要的是数量关系，而不是情节。在不改变题目的结构、 数量关系的前提下假设、虚构一些情节，不会影响计算结果。类似题目：1.甲乙二人同时骑车从A城去B城，甲每小时行24千米，乙每小时行18千米。 甲在途中因修车停留2小时，结果比乙晚1小时到达B

21、城。A B两城相距多少千米2.某校安排学生住宿。若每间宿舍住 6人，则 34人无住处；若每间住 7人，则 空出 4 间宿舍。有学生多少人3.甲乙丙三人共同做一件工作， 15天可以完成。但由于甲请了 2 天假，乙请了 3 天假，他们一共用了 17 天才完成。已知甲的工作效率是乙的倍。如果让甲单独做这 项工作，多少天可以完成4.一个筑路队原计划 20天修完一条公路。实际每天比计划多修 45 米，提前 5 天 完成了任务。这条公路长多少米5.一个班有 42 人。 28人参加了数学小组， 14人参加了语文小组， 10人两个小 组都没参加。有几个人两个小组都参加了40（4） （1+40 ）X 27 1X

22、 40 - 1=5 （天）1解法 2. （48 X 4168）-（ 1 X 4 1） =72 （千克）3168 72=96 （千克）注：本题还有其他假设解法。例14. 一个化肥厂计划14天完成一项任务。由于每天多生产吨，结果 9天就完成了任务。原计划每天生产多少吨分析1.假设有甲乙两个厂分别按这个厂计划的效率和实际的效率进行生产。则 当按实际的效率（每天比甲厂多生产吨）生产 9天完成任务时，乙厂比甲厂共多生产吨（X 9=）。这时，甲厂还需再生产5天才能完成任务。由此可求出甲厂每天生产多 少吨（计划每天生产多少吨）.解法 1. X 9-（ 14 9）=（吨）解法2 （分析略）.X 14-（ 149）=（吨）例15.鸡和兔共43只，它们共有120条腿。鸡和兔各有多少只