四川省成都市届高三第二次诊断性检测数学理科试题及答案.docx

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四川省成都市届高三第二次诊断性检测数学理科试题及答案

四川省成都市2018级高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分.第丨卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页,满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓需、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂苴它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规左的位宜上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|lgx<1}»B={x|x>3}»则A\jB=（）

A.（0,+oo）B.（3,10）C.（yo,+oc）D.（3,+oo）

2.已知i为虚数单位.则复数Z=（l+f）（2-z）的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

3.命题“X/x>0,x2+x+l>0”的否定为（）

A.3x0<0,对+如+lSOB.Vx<0,x2+x+l<0

C.3x0>0,J+x0+1<0D.Vx>0,x2+x+l<0

4.袋子中有5个大小质地完全相同的球.其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球.则

摸出的两个球颜色相同的概率为（）

D.

123

A・—B.—C.—

555

5.已知sin（a+0）=二，sin（a-/?

）=-,则竺仝的值为（

、73、73tan0

6.在厶ABC中，已知AB=AC,D为3C边中点，点O在直线AD上，且BC・BO=3,则3C边的长

度为（）

A.y/S

B.2^3

C・2>/6D・6

7-已知圆柱的两个底面的圆周在体积为7

的球O的球而上，则该圆柱的侧而积的最大值为（）

A.4兀

B・8jt

C.12兀D.16兀

8.己知P是曲线y=sinx+cosA-^xe0,亍上的动点，点0在直线x+y-6=0上运动，则当取

最小值时，点P的横坐标为（）

n“JiJir2兀

A.—B.—C・—D.—

4323

、

170

9.已知数列｛d讣的前〃项和S”满足S“=〃2.记数列｛｝的前〃项和为7,/zeN\则使得Tn<—

匕仏】41

成立的"的最大值为（）

A.17B.18C・19D・20

10.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数MP（mg/L）与时间/（h）之间的关系

为P=P｛^kt・如果前2小时消除了20%的污染物.则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据:

ln2a0・69,ln3^1.10,ln5«1.61）（）

11.已知F为抛物线y2=2a-的焦点，A为抛物线上的动点，点B（-l,0）.则当£春箒取最大值时，阿|

的值为（）

12.已知四而体ABCD的所有棱长均为血，M,N分别为棱AD,3C的中点，F为棱AB±异于A,

B的动点.有下列结论:

①线段MN的长度为1：

②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异而直线:

④△FMN周长的最小值为V2+1・

其中正确结论的个数为（）

A・1B.2C・3D・4

第I【卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

本大题共4小题.每小题5分，共20分把答案填在答题卡上.

13.已知函数门刃=；[：

：

：

；若/（d）=2,则d的值为.

14.iT：

项数列｛①｝满足卩厲+2=a：

」，neN*.若①=*，a2aA=1»则ai的值为•

15.设双曲线+卡=l（a>0">0）的左，右焦点分别为巧，F2,以片耳为直径的圆与双曲线在第一

象限内的交点为P,直线刃，与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为0.若点0恰好为线段PF】的中点,则直线P片的斜率的值为•

16.已知泄义在R上的函数门x）满足/（x）=/（2-x）,且对任意的首，x2g[1,-kx））,当齐工兀时，都

有x｛f（x（）+^/（x2）

=/（log020.03）,c=/（207）,则a,b,c的大小关系为•（用符号"v”连接）

三、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（J刃一d）cosC=ccosA.

（I）求角C的大小：

（II）若a=y/2,c（acosB-bcosA）=b\求△A3C的而积.

18.（本小题满分12分）

某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减

少的"量”换算成费用，称之为"失效费”.某种机械设备的使用年限x（单位：

年）与失效费），（单位:

万元）的统计数据如下表所示：

使用年限x（单位：

年）

1

2

3

4

5

6

7

失效费y（单位：

万元）

2.90

3.30

3.60

4.40

4.80

5.20

5.90

（I）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合$与尤的关系.请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

（II）求岀），关于x的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费.

工y）

参考公式：

相关系数r=2.

占（兀-打孰-刃2

..£山-元）（"-刃A

线性回归方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估计计算公式：

b=,a=y-bx.

工（5

（-1

777

参考数据：

工（兀一元）（）;•一刃=14.00,工（y厂刃=7.08,<198^24^14.10.

r-l/-I

19.（本小题满分12分）

如图①，在等腰三角形P3C中，PB=PC=3扃,BC=6,D,E满足BD=2DP,CE=2EP.将△PDE沿直线DE折起到的位置，连接AB,AC,得到如图②所示的四棱锥A-BCED，点F满足BF=2FA.

（I）证明：

£>F〃平面ACE：

（II）当AB=^时，求平MACE与平而DEF所成锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：

务+*=l（“>b>0）经过点人（1,£｝其长半轴长为2.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设经过点B（-l,0）的直线/与椭圆C相交于D,E两点，点E关于x轴的对称点为F,直线DF与尤轴相交于点G,求△DEG的而积S的取值范闱.

21.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=x+--（a-\）\nx-2,其中a&R.

X

（I）若/（x）存在唯一极值点.且极值为0,求a的值：

用2B铅笔在答题

直线/的方程为

纠的最小值.

1^1

（II）讨论/（X）在区间［2］上的零点个数.

请考生在第22,23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时,

卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

兀=1+COS（P、在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为<（0为参数）,

y=sin（p

X+JJy_6=0.以坐标原点O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求曲线C和直线/的极坐标方程：

（II）若点P（x,y）在直线/上且y>0,射线OP与曲线C相交于异于O点的点Q,习

23.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

设函数f⑴=3卜+1|+|2兀一1|的最小值为m.

（I）求加的值：

（II）若a,/?

g（0,-kx））,证明：

丄+1+—［fj-4-l+y>in2.

成都市2018级高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理科）参考答案及评分意见

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：

（每小题5分，共60分）

1.A；2.D：

3.C；4.B：

5.D；6.A；7.B；8.C：

9.C；10.B；11.C：

12.第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

（每小题5分，共20分）

13.—1；14.3：

15.—:

16.b

2

三、解答题：

（共70分）

17.解：

（【）由已知及正弦定理，得sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA・

:

.血sin3cosC=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）・•••A+C=jt—3，・・・sin（A+C）=sinB.

:

.yf2sinBcosC=sinB.

/.cosC=

•・・Cw（0,7t）,・・・C=f.

22>2i222

（II）由已知及余弦定理，得?

—be•+「一"=庆・

lac2bc

化简,得a2=2b2.

2.90+3M+3.60+丄40+丄&）+52）+5.9。

=収,

7

7

工（齐-X）2=（1-4）2+（2—4）2+（3_4）2+（4_4『+（5_4『+（6-4）2+（7-4）2=28.

/-I

q0.99・

14.0014.0014.00

=—Q

^28x7.087198.2414.10

因为y与X的相关系数近似为0.99,所以y与x的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.

（II）9：

b=

a=y-bx=4.3-0.5x4=2.3・

・•.），关于A-的线性回归方程为$=0.5X+2.3.

将x=10代入线性回归方程，得今=0.5X10+2.3=7.3.

・••估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元.

19.解：

（I）如图，在棱AC上取点G满足CG=2AG,连接EG,FG.

-BF=2FA9:

.FG//BC且・

3

又由题意，可得DEHBC且・

3

:

.DE=FG且DE//FG.

・•・四边形DEGF为平行四边形.

・•.DF//EG.

又*.*DF平而ACE,EGu平而ACE,

・••DF〃平而ACE.

（II）如图，分别取DE,3C的中点M,N,连接AM,MN,BM.

由题意，知MTV丄BC,AM=2,MN=4,BN=3.

在RUBMN中，BM=JBN?

+加=船+4?

=5.

在△ABM中，VAB=y/299:

.AM2+BM2=22+52=29=AB2・:

.AM丄BM・

又AM丄DE,BMcDE=M,BM,DEu平而BCED,

:

.AM丄平而BCED・

z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

以M为坐标原点，MN,ME,顾的方向分别为x轴，y轴

则M（0,0,0）,A（0,0,2）,5（4,-3,0）,C（4,3,0）,D（0,—1,0）,£（0,1,0）,F\

AEC=（4,2,0）,E4=（O,-l,2）,旋=（0,2,0）,DF=

设平而ACE的一个法向量为衲=平而DEF的一个法向量为开=（勺丿2皿2）・

4兀+2）［=0十,、

•/t-\历•并2

・・・平而代E与平面MF所成锐二而角的余弦值为¥

20.解：

（I）由已知，得d=2.・•.椭圆C的方程为^+p-=l.

4b"

•••椭圆c的方程为—+/=1.

4

（II）由题意，知直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为x=ty-［（t^0）,D（心yj,£（兀2』2）・

由，消去八得『+4））/-2彷一3=0・JT+〉广=1'八

•••a=4r+12（尸+4）=16r+48>0•

•2t3

••"厂市，甘-市•

IF为点E关于x轴的对称点，•••尸（召,一儿）・

•••直线DF的方程为y-比=卫二上（x-xJ,

即rr抚寻（I）.

令严0,则*召+仝皿少7（宀）廿恥

㈠:

+£“•令心，得心g）.

・・・厶DEG的而积s=-\BG［|yi->'2|=-7（yi+yi）2-4〉小=3『2/f厂_6少+3

2\U2+4J+r+4t2+4•

令m=J八+3,则me（J?

乜）.c6/776

a5=^t=-t-

m+—

m

21-解：

⑴由已知’可得门归｛-乎=呼辺（5）.

1若450,则当XG（0,-KX>）时，f（x）>0恒成立，

.-./（X）在（0,乜）上单调递增，与f（x）存在极值点矛盾：

2若“>0,则由f\x）=0得x=a.

・••当XG（0,rt）时，f（x）v0；当xw（a,+=o）时，f（x）>0.

.-./（X）在（o,d）上单调递减，在（d,p）上单调递增.

A/（X）存在唯一极小值点x=a.

•:

/（町=0+1-（0-1）11皿一2=（d-l）（l-lnd）=0.

•Ig=1或a=e.

（II）①当"9时，f（X）>0在［1,M］上恒成aL,：

.f（x）在［1,J］上单调递增.•.•/

（1）=67_1<0,/（e2）=e2+4-2«*

e

（i）当a<0时，/（e2）=e2+4-2«=e2+t/［-!

r-2］>0；

（ii）当0vaS1时，=+工一2心>2需一2。

=2需（1一亦）n0.c

A/（e2）>0.

・•・由零点存在性左理，知/（X）在［2］上有1个零点；

②当1

丁当xw［l,a）时，/'（x）v0：

当xe（t/,e2时，f（x）>0,

Af（x）在［14）上单调递减,在（«,e2J上单调递增.

f（xL„=/⑷=（d-l）（l-lna）・

（i）当a=e时，/（x）n.n=0,此时_/（x）在［l,e2］上有1个零点：

（ii）当1vove时，/（x）n.n>0,此时f（x）在［l,e2］上无零点;

（iii）当e<«0.

（a）当/（J）=e'+号一2dv0,即~

（b〉当/（e2）=e2+4-2t/>0.即ev*—时，/⑴在［l,e2］±有2个零点;e~2e~—1

3当«>e2时，f（x）<0在［lg］上恒成立，门X）在上单调递减.

（1\（1\

•••/（l）=d-l>0,/（e2）=e2+—-2«

Ie/\e/

Af（x）在［1,J］上有1个零点，

综上，当1vave时，于⑴在［l,e2］上无零点;

当a<\^.a=c^a>-^—时，f（x）在［1,J］上有1个零点；当cvaS—时，/⑴在［1,円上有2个零点.

2e1

22.解：

（I）由曲线C的参数方程，得曲线C的普通方程为

（x-1）'+y2=cos20+sin，0=1・

由极坐标与直角坐标的互化公式x=pcos0,y=psin0,得

曲线C的极坐标方程为Q=2COS&,

直线/的极坐标方程为QCOS&+屁sin&—6=0,即psinjO+-=3.V6丿

（II）设点P的极坐标为（口,&），点0的极坐标为（。

2，&），其中0V&V?

由（I）知\OP\=p、=,=C=2cos0.

cos+>/3sin

•的_P\_6_6

|OQ|p22cos2&+2V^sin&cos&l+cos2&+>/Jsin2&

6

l+2sin（2&+打

小八兀兀m兀7tt

T0v&v—9/•—<28h—<—・

2666

7T

•••当sin2^+-=1,即0=-时,I6丿6

绘取得最小值2.

23.解：

（【）当xv—1时，/（x）=_3x—3—2x+l=—5x—2>3

当一lSxS*时，f（x）=3x+3-2x+1=x+4e3,

j9

当x〉—时，f（x）=3x+3+2x-l=5x+2>—

22

综上,

当x=—1时，f（尤）打门=3,m=3・

（II）

由（I）,即证

（丄.小“…d丿

>9.

/?

G（0,+oO）,

当且仅当

=[—bb

即a=h=1时,

等号成立.