高考理科数学尖子生讲义专题三导数的几何意义及简单应用.docx

高考理科数学尖子生讲义专题三导数的几何意义及简单应用.docx

《高考理科数学尖子生讲义专题三导数的几何意义及简单应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学尖子生讲义专题三导数的几何意义及简单应用.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考理科数学尖子生讲义专题三导数的几何意义及简单应用

专题三导数的几何意义及简单应用

卷Ⅰ

卷Ⅱ

卷Ⅲ

2018

奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程·T5

利用导数的几何意义求切线方程·T13

利用导数的几何意义求参数值·T14

利用导数讨论函数的单调性·T21

（1）

2017

利用导数讨论函数的单调性·T21

（1）

导数的运算、利用导数求函数极值·T11

_______

利用导数的极值点求参数·T21

（1）

2016

________

导数的计算与几何意义、直线方程、斜率计算公式·T16

函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程·T15

利用导数公式直接求导·T21

（1）

纵向

把握

趋势

卷Ⅰ3年3考，涉及导数的几何意义以及讨论函数的单调性，其中利用导数求切线方程难度偏小，而用导数讨论函数的单调性难度偏大．预计2019年仍会以解答题的形式考查函数单调性的讨论

卷Ⅱ3年4考，涉及导数的运算、几何意义以及利用导数求函数的极值，题型为选择、填空题，难度适中．预计2019年高考会考查利用导数讨论函数的单调性，难度偏大

卷Ⅲ3年3考，涉及导数公式及导数几何意义的应用，题型多为填空题．预计2019年仍会考查导数几何意义的应用，另外，要重点关注利用导数研究函数的单调性

横向

把握

重点

1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小．

2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等，有时也出现在解答题第一问．

3．近几年全国卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略.

导数的几何意义

[题组全练]

1．（2018·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（　　）

A．y＝－2x　　　　　　　　B．y＝－x

C．y＝2xD．y＝x

解析：

选D　∵f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax，

∴f′（x）＝3x2＋2（a－1）x＋a.

又∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）恒成立，

即－x3＋（a－1）x2－ax＝－x3－（a－1）x2－ax恒成立，

∴a＝1，∴f′（x）＝3x2＋1，∴f′（0）＝1，

∴曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.

2．过点（0，－1）的直线l与曲线y＝lnx相切，则原点到l的距离为（　　）

A．1B.

C.D.

解析：

选C　设切点为（x0，lnx0）．

由y＝lnx，得y′＝，

所以直线l的斜率k＝y′|x＝x0＝，

所以切线方程为y－lnx0＝（x－x0），

即y＝x＋lnx0－1.

因为切线过点（0，－1），

则－1＝lnx0－1，

即x0＝1，

所以切线方程为y＝x－1，

即x－y－1＝0，

所以原点到l的距离d＝＝，故选C.

3．（2018·唐山模拟）曲线y＝与其在点（0，－1）处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积为（　　）

A．1－ln2B．2－2ln2

C．2ln2－1D．ln2

解析：

选C　因为y＝，所以y′＝′＝，则曲线y＝在（0，－1）处的切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2x－1，则曲线y＝与其在点（0，－1）处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积S＝2x－1－dx＝2x－1－1＋dx＝[x2－2x＋2ln（x＋1）]＝2ln2－1.

4．（2018·全国卷Ⅲ）曲线y＝（ax＋1）ex在点（0,1）处的切线的斜率为－2，则a＝________.

解析：

∵y′＝（ax＋a＋1）ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，

∴a＋1＝－2，解得a＝－3.

答案：

－3

5．已知曲线y＝x＋lnx在点（1,1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，则a＝________.

解析：

由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，则曲线y＝x＋lnx在点（1,1）处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x－1，与y＝ax2＋（a＋2）x＋1联立，得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0⇒a＝8.

答案：

8

[系统方法]

1．求过切点切线问题的基本思路

设曲线在（x0，y0）处的切线为l，则根据

2．过非切点的切线的求法

设出切点坐标（x0，f（x0）），先求出在x＝x0处的切线方程，然后把所过点的坐标代入即求出x0，从而得出切线方程．

3．由曲线的切线求参数的方法

已知曲线在某点处的切线求参数的关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值．

利用导数研究函数的单调性

[多维例析]

角度一　讨论函数的单调性或求函数单调区间

　已知函数f（x）＝x2＋2cosx，g（x）＝ex·（cosx－sinx＋2x－2），其中e是自然对数的底数．

（1）求函数g（x）的单调区间；

（2）讨论函数h（x）＝g（x）－af（x）（a∈R）的单调性．

[解]　

（1）g′（x）＝（ex）′·（cosx－sinx＋2x－2）＋ex（cosx－sinx＋2x－2）′＝ex（cosx－sinx＋2x－2－sinx－cosx＋2）＝2ex（x－sinx）．

记p（x）＝x－sinx，

则p′（x）＝1－cosx.

因为cosx∈[－1,1]，所以p′（x）＝1－cosx≥0，所以函数p（x）在R上单调递增．

而p（0）＝0－sin0＝0，所以当x<0时，p（x）<0，g′（x）<0，函数g（x）单调递减；

当x>0时，p（x）>0，g′（x）>0，函数g（x）单调递增．

综上，函数g（x）的单调递减区间为（－∞，0），单调递增区间为（0，＋∞）．

（2）因为h（x）＝g（x）－af（x）＝ex（cosx－sinx＋2x－2）－a（x2＋2cosx），

所以h′（x）＝2ex（x－sinx）－a（2x－2sinx）

＝2（x－sinx）（ex－a）．

由

（1）知，当x>0时，

p（x）＝x－sinx>0；当x<0时，p（x）＝x－sinx<0.

当a≤0时，ex－a>0，

所以x>0时，h′（x）>0，函数h（x）单调递增；

x<0时，h′（x）<0，函数h（x）单调递减．

当a>0时，令h′（x）＝2（x－sinx）（ex－a）＝0，解得x1＝lna，x2＝0.

①若0

所以x∈（－∞，lna）时，ex－a<0，h′（x）>0，函数h（x）单调递增；

x∈（lna,0）时，ex－a>0，h′（x）<0，函数h（x）单调递减；

x∈（0，＋∞）时，ex－a>0，h′（x）>0，函数h（x）单调递增．

②若a＝1，则lna＝0，所以x∈R时，h′（x）≥0，函数h（x）在R上单调递增．

③若a>1，则lna>0，

所以x∈（－∞，0）时，ex－a<0，h′（x）>0，函数h（x）单调递增；

x∈（0，lna）时，ex－a<0，h′（x）<0，函数h（x）单调递减；

x∈（lna，＋∞）时，ex－a>0，h′（x）>0，函数h（x）单调递增．

综上所述，

当a≤0时，函数h（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减；

当0

当a＝1时，函数h（x）在R上单调递增；

当a>1时，函数h（x）在（－∞，0），（lna，＋∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减．

[类题通法]　讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：

（1）最高次幂的系数是否为0；

（2）导函数是否有变号零点；

（3）导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内；

（4）导函数的变号零点之间的大小关系．

角度二　已知函数的单调性求参数范围

　已知函数f（x）＝＋ax＋b（a，b∈R）．

（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）在（－1,3）上单调，求实数a的取值范围．

[解]　

（1）f′（x）＝＋a＝，

设g（x）＝1－x＋aex，由题意知g（x）≥0在R上恒成立，即1－x＋aex≥0在R上恒成立．

由ex>0，分离参数可得a≥在R上恒成立．

设h（x）＝，则h′（x）＝，

由h′（x）>0，得x<2；由h′（x）<0，得x>2，

所以h（x）在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，

所以h（x）max＝h

（2）＝，故a≥.

所以a的取值范围为.

（2）函数f（x）在（－1,3）上单调，则函数f（x）在（－1,3）上单调递增或单调递减．

①若函数f（x）在（－1,3）上单调递增，则f′（x）＝≥0在（－1,3）上恒成立，即1－x＋aex≥0在（－1,3）上恒成立，所以a≥在（－1,3）上恒成立．

设h（x）＝，则h′（x）＝，所以h（x）在（－1,2）上单调递增，在（2,3）上单调递减，

所以h（x）max＝h

（2）＝（x∈（－1,3）），故a≥.

所以a的取值范围为，＋∞.

②若函数f（x）在（－1,3）上单调递减，则f′（x）＝≤0在（－1,3）上恒成立，即1－x＋aex≤0在（－1,3）上恒成立，所以a≤在（－1,3）上恒成立．

设h（x）＝，则h′（x）＝，所以h（x）在（－1,2）上单调递增，在（2,3）上单调递减．

又h（－1）＝＝－2e，h（3）＝＝.

显然－2e<，所以h（x）>h（－1）＝－2e（x∈（－1,3）），

所以a的取值范围为（－∞，－2e]．

综上，a的取值范围为（－∞，－2e]∪.

[类题通法]

由含参函数单调性求解参数范围问题的2个关注点

（1）准确把握函数单调性与导函数符号之间的关系：

若可导函数f（x）在区间M上单调递增，则f′（x）≥0在区间M上恒成立；若可导函数f（x）在区间M上单调递减，则f′（x）≤0在区间M上恒成立．

（2）注意参数在导函数解析式中的位置，先尝试分离参数，将问题的求解转化为求解对应函数的最值问题；若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性无法利用导数解决，则可以直接转化为求解含参函数的最值问题．

[综合训练]

1．已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求a的取值范围；

（3）函数f（x）是否为R上的单调减函数？

若是，求出a的取值范围？

若不是，请说明理由．

解：

（1）当a＝2时，f（x）＝（－x2＋2x）ex，

所以f′（x）＝（－2x＋2）ex＋（－x2＋2x）ex＝（－x2＋2）ex.

令f′（x）>0，即（－x2＋2）ex>0，

因为ex>0，所以－x2＋2>0，

解得－

所以函数f（x）的单调递增区间是（－，）．

（2）因为函数f（x）在（－1,1）上单调递增，

所以f′（x）≥0对x∈（－1,1）都成立．

因为f′（x）＝（－2x＋a）ex＋（－x2＋ax）ex

＝[－x2＋（a－2）x＋a]ex，

所以[－x2＋（a－2）x＋a]ex≥0对x∈（－1,1）都成立．

因为ex>0，所以－x2＋（a－2）x＋a≥0，

则a≥＝＝（x＋1）－对x∈（－1,1）都成立．

令g（x）＝（x＋1）－，

则g′（x）＝1＋>0.

所以g（x）＝（x＋1）－在（－1,1）上单调递增．

所以g（x）

（1）＝（1＋1）－＝.

所以a≥，所以a的取值范围是.

（3）若函数f（x）在R上单调递减，则f′（x）≤0对x∈R都成立，即[－x2＋（a－2）x＋a]ex≤0对x∈R都成立．

因为ex>0，所以x2－（a－2）x－a≥0对x∈R都成立．

所以Δ＝（a－2）2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．

故函数f（x）不可能在R上单调递减．

2．（2018·合肥质检）已知f（x）＝ln（2x－1）＋（a∈R）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≤ax恒成立，求a的值．

解：

（1）f（x）的定义域为，

f′（x）＝－＝.

令g（x）＝2x2－2ax＋a，

若2x2－2ax＋a＝0的根的判别式Δ＝4a2－8a≤0，

即当0≤a≤2时，对任意x∈，g（x）≥0恒成立，

即当x∈时，f′（x）≥0恒成立，

∴f（x）在上单调递增．

若2x2－2ax＋a＝0的根的判别式Δ>0，即当a>2或a<0时，函数g（x）图象的对称轴为直线x＝.

①当a<0时，<0，且g＝>0.

∴对任意x∈，g（x）>0恒成立，

即对任意x∈，f′（x）>0恒成立，

∴f（x）在上单调递增．

②当a>2时，>1，且g＝>0.

记g（x）＝0的两根分别为x1，x2，且x1＝（a－）>，x2＝（a＋）．

∴当x∈∪（x2，＋∞）时，g（x）>0，当x∈（x1，x2）时，g（x）<0.

∴当x∈∪（x2，＋∞）时，f′（x）>0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）<0.

∴f（x）在和（x2，＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．

综上，当a≤2时，f（x）在上单调递增；

当a>2时，f（x）在和，＋∞上单调递增，在上单调递减．

（2）f（x）≤ax恒成立等价于对任意x∈，f（x）－ax≤0恒成立．

令h（x）＝f（x）－ax＝ln（2x－1）＋－ax，

则h（x）≤0＝h

（1）恒成立，

即h（x）在x＝1处取得最大值．

h′（x）＝.

由h′

（1）＝0，得a＝1.

当a＝1时，h′（x）＝，

∴当x∈时，h′（x）>0；

当x∈（1，＋∞）时，h′（x）<0.

∴当a＝1时，h（x）在上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而h（x）≤h

（1）＝0，符合题意．

∴a＝1.

利用导数研究函数的极值与最值

[多维例析]

角度一　求函数的极值或最值

　已知函数f（x）＝－1.

（1）求函数f（x）的单调区间及极值；

（2）设m>0，求函数f（x）在区间[m,2m]上的最大值．

[解]　

（1）因为函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝，

由得0e.

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋∞），且f（x）极大值＝f（e）＝－1，无极小值．

（2）①当即0

所以f（x）max＝f（2m）＝－1；

②当m

函数f（x）在区间（m，e）上单调递增，在（e,2m）上单调递减，所以f（x）max＝f（e）＝－1＝－1；

③当m≥e时，函数f（x）在区间[m,2m]上单调递减，

所以f（x）max＝f（m）＝－1.

综上所述，当0

[类题通法]　求函数f（x）在闭区间上最值的策略

（1）若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f（x）求导，并求f′（x）＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（2）若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f（x）求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f（x）的最值．

角度二　已知函数的极值或最值求参数

　已知函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋lnx，其中a∈R.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）当a>0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝1时，f（x）＝x2－3x＋lnx（x>0），

所以f′（x）＝2x－3＋＝，

所以f

（1）＝－2，f′

（1）＝0.

所以切线方程为y＋2＝0.

（2）函数f（x）＝ax2－（a＋2）x＋lnx的定义域为（0，＋∞），

当a>0时，f′（x）＝2ax－（a＋2）＋＝＝，

令f′（x）＝0，解得x＝或x＝.

①当0<≤1，即a≥1时，

f（x）在[1，e]上单调递增．

所以f（x）在[1，e]上的最小值为f

（1）＝－2，符合题意；

②当1<

所以f（x）在[1，e]上的最小值为f

（1）＝－2，不合题意；

③当≥e，即0

所以f（x）在[1，e]上的最小值为f（e）

（1）＝－2，不合题意．

综上，实数a的取值范围是[1，＋∞）．

[类题通法]　已知函数在闭区间上最值求参数的方法

主要采取分类讨论的思想，将导函数的零点与所给区间进行比较，利用导数的工具性得到函数在给定区间内的单调性，从而可求其最值，判断所求的最值与已知条件是否相符，从而得到参数的取值范围．

[综合训练]

1．已知函数f（x）＝x3－3x2.

（1）求曲线y＝f（x）在点P（1，－2）处的切线方程；

（2）若函数g（x）＝2f（x）＋3（1－a）x2＋6ax（a>1）在[1,2]上的值域为[p（a），q（a）]，求φ（a）＝q（a）－p（a）的最小值．

解：

（1）因为f（x）＝x3－3x2，所以f′（x）＝3x2－6x，

所以曲线y＝f（x）在点P（1，－2）处的切线的斜率为f′

（1）＝－3，

所以切线方程为y－（－2）＝－3（x－1），

即3x＋y－1＝0.

（2）因为g（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，

所以g′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a）．

令g′（x）＝0，得x＝1或x＝a，

若1

当x∈（1，a）时，g′（x）<0，所以g（x）在（1，a）上单调递减；

当x∈（a,2）时，g′（x）>0，所以g（x）在（a,2）上单调递增．

①若g

（1）≤g

（2），即1

（2）＝4，p（a）＝g（a）＝－a3＋3a2，

所以φ（a）＝4－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋4，

因为φ′（a）＝3a2－6a＝3a（a－2）<0，

所以φ（a）在上单调递减，

所以当a∈时，φ（a）的最小值为φ＝.

②若g

（1）>g

（2），即

此时q（a）＝g

（1）＝3a－1，p（a）＝g（a）＝－a3＋3a2，

所以φ（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）

＝a3－3a2＋3a－1，

因为φ′（a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0，

所以φ（a）在上单调递增，

所以当a∈时，φ（a）>.

若a≥2，

当x∈[1,2]时，g′（x）≤0，所以g（x）在[1,2]上单调递减，

所以q（a）＝g

（1）＝3a－1，p（a）＝g

（2）＝4，

所以φ（a）＝3a－1－4＝3a－5（a≥2），

所以φ（a）在[2，＋∞）上的最小值为φ

（2）＝1.

综上，φ（a）的最小值为.

2．已知函数f（x）＝x2－3x＋.

（1）若a＝4，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有3个极值点，求实数a的取值范围．

解：

（1）因为a＝4时，f（x）＝x2－3x＋，

所以f′（x）＝2x－3－＝＝＝（x≠0），

令f′（x）>0，得x>2；令f′（x）<0，得x<0或0

所以f（x）在（－∞，0），（0,2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增．

（2）由题意知，f′（x）＝2x－3－＝（x≠0），

设函数g（x）＝2x3－3x2－a，

则原条件等价于g（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上有3个零点，且3个零点附近的左、右两侧的函数值异号，

又g′（x）＝6x2－6x＝6x（x－1），

由g′（x）>0，得x>1或x<0；由g′（x）<0，得0

故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，

故原条件等价于g（x）在（－∞，0），（0,1），（1，＋∞）上各有一个零点，令g（0）＝－a>0，得a<0，

当a<0时，－<0，g（－）＝2（－）3－3（－a）－a＝2a（＋1）<0，

故a<0时，g（x）在（－∞，0）上有唯一零点；

令g

（1）＝－1－a<0，解得a>－1，

故－1

又－1

（2）＝4－a>0，所以g（x）在（1，＋∞）上有唯一零点．

综上可知，实数a的取值范围是（－1,0）．

重难增分

函数与导数的综合应用

[典例细解]

　　　（2015·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，则a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

[学解题]

法一：

直接法（学生用书不提供解题过程）

若a≤0，则对任意负整数m，有f（m）＝em（2m－1）－a（m－1）<0，不符合题中唯一要求，故必有00，故f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．

注意到f

（1）＝e>0，所以在（1，＋∞）内不存在正整数x0使得f（x0）<0.

又f（0）＝－1＋a<0，这样我们就找到了，那个唯一的整数x0就是0.则满足题意的充要条件是f（－1）≥0，即a≥，故a的取值范围是.

法二：

分离参数法（学生用书不提供解题过程）

f（x）<0⇔（x－1）a>ex（2x－1）．

当x>1时，有a>>1，这与题设矛盾，舍去；

当x<1时，有a<.

记g（x）＝，

则g′（x）＝

＝（x<1）．

当x<0时，g′（x）>0；当0

故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0,1）上单调递减，作出函数y＝g（x）的大致图象如图所示．

由题意知，存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，即a

法三：

几何直观法（学生用书提供解题过程）

设g（x）＝ex（2x－1），y＝ax－a，由题意知存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax－a的下方．

因为g′（x）＝ex（2x＋1），所以当x<－时，g′（x）<0；当x>－时，g′（x）>0，所以当x＝－时，g（x）min＝－2e

，

因为g（0）＝－1<0，g

（1）＝e>0，直线y＝ax－a恒过点（1,0），且斜率为a，画出函数的大致图象如图所示，

故－a>g（0）＝－1，g（－1）＝－3e－1≥－a－a，解得≤a<1.

法四：

特殊值探路（学生用书提供解题过程）

注意到f（0）＝a－1<0，故x0＝0.又x0唯一，故解得a≥，所以≤a<1（*）．

这是a需满足的必要条件．

求导得f