函数极限的性质证明精选多篇.docx
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函数极限的性质证明精选多篇
函数极限的性质证明（精选多篇）
函数极限的性质证明
x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|
以此类推，改变数列下标可得|xn-a|
|xn-1-a|
……
|x2-a|
向上迭代，可以得到|xn+1-a|
2
只要证明{x（n）}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x（n）}单调增加。
x
（2）=√=√5>x
（1）;
设x（k+1）>x（k），则
x（k+2）-x（k+1））=√-√（分子有理化）
=/【√+√】>0。
②证明{x（n）}有上界。
x
（1）=1<4，
设x（k）<4，则
x（k+1）=√<√（2+3*4）<4。
3
当0
当0
构造函数f（x）=x*a^x（0
令t=1/a，则：
t>1、a=1/t
且，f（x）=x*（1/t）^x=x/t^x（t>1）
则：
lim（x→+∞）f（x）=lim（x→+∞）x/t^x
=lim（x→+∞）（分子分母分别求导）
=lim（x→+∞）1/（t^x*lnt）
=1/（+∞）
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
（1）lim=0
n→∞
（2）lim=3/2
n→∞
（3）lim=0
n→∞
（4）lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。
。
。
lim就省略不打了。
。
。
n/（n^2+1）=0
√（n^2+4）/n=1
sin（1/n）=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则（不知楼主学了没，没学的话以后会学的）
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin（1/n）=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/（n^2+1）=lim（1/n）/（1+1/n^2）=lim（1/n）/（1+lim（1+n^2）=0/1=0
lim√（n^2+4）/n=lim√（1+4/n^2）=√1+lim（4/n^2）=√1+4lim（1/n^2）=1
limsin（1/n）=lim=lim（1/n）*lim/（1/n）=0*1=0
第二篇：
函数极限的性质
§3.2函数极限的性质
§2函数极限的性质
ⅰ.教学目的与要求
1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.
2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.
ⅱ.教学重点与难点:
重点:
函数极限的性质.
难点:
函数极限的性质的证明及其应用.
ⅲ.讲授内容
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：
1）limf?
x?
；2）limf?
x?
；3）limf?
x?
x?
?
?
x?
?
?
x?
?
?
f?
x?
；6）limf?
x?
。
4）limf?
x?
；5）lim?
?
x?
x0x?
x0x?
x0
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.
定理3．2（唯一性）若极限limf?
x?
存在，则此极限是唯一的．x?
x0
证设?
?
都是f当x?
x0时的极限，则对任给的?
?
0，分别存在正数
?
1与?
2，使得当0?
x?
x0?
?
1时有
f?
x?
?
?
?
?
，
（1）当0?
x?
x0?
?
2时有
f?
x?
?
?
?
?
，
（2）
取?
?
min?
?
1,?
2?
，则当0?
x?
x0?
?
时，
（1）式与
（2）式同时成立，故有
?
?
?
?
（f?
x?
?
?
）?
?
f?
x?
?
?
?
f?
x?
?
?
?
f?
x?
?
?
?
2?
由?
的任意性得?
?
?
，这就证明了极限是唯一的.
定理3。
3（局部有限性）若limf?
x?
存在，则f在x0的某空心邻域u0?
x0?
内有界．x?
x0
证设limf?
x?
?
?
．取?
?
1，则存在?
?
0使得对一切x?
u0?
x0;?
?
有x?
x0
f?
x?
?
?
?
1?
f?
x?
?
?
1
这就证明了f在u0?
x0;?
?
内有界．
定理3．4（局部保号性）若limf?
x?
?
?
?
0（或?
0），则对任何正数r?
?
（或x?
x0
r?
?
?
），存在u0?
x0?
，使得对一切x?
u0?
x0?
有
f?
x?
?
r?
0（或f?
x?
?
?
r?
0）
证设?
?
0，对任何r?
（0,?
），取?
?
?
?
r，则存在?
?
0，使得对一切
x?
u0?
x0;?
?
f?
x?
?
?
?
?
?
r，
这就证得结论．对于?
?
0的情形可类似地证明．
注在以后应用局部保号性时，常取r?
a．2
x?
x0定理3．5（保不等式性）设limf?
x?
与都limg?
x?
都存在，且在某邻域u0x0;?
'内x?
x0?
?
有f?
x?
?
g?
x?
则
limf?
x?
?
limg?
x?
（３）x?
x0x?
x0
证设limf?
x?
=?
，limg?
x?
=?
，则对任给的?
?
0，分别存在正数?
1与?
2使x?
x0x?
x0
得当0?
x?
x0?
?
1时有
?
?
?
?
f?
x?
，当0?
x?
x0?
?
2时有
g?
x?
?
?
?
?
令?
?
min?
',?
1,?
2，则当0?
x?
x0?
?
时，不等式f?
x?
?
g?
x?
与（4）、（5）两式同时成立，于是有
?
?
?
?
f?
x?
?
g?
x?
?
?
?
?
从而?
?
?
?
2?
．由?
的任意性推出?
?
?
，即（3）式成立．
定理3．6（迫敛性）设limf?
x?
=limg?
x?
=ａ，且在某u0x0;?
'内有x?
x0x?
x0?
?
?
?
f?
x?
?
则limh?
x?
?
?
．x?
x0h?
x?
?
g?
x?
证按假设，对任给的?
?
0，分别存在正数?
1与?
2，使得当0?
x?
x0?
?
1时有，2
?
?
?
?
f?
x?
（7）当0?
x?
x0?
?
2时有
g?
x?
?
?
?
?
（8）令?
?
min?
?
1,?
2，则当0?
x?
x0?
?
时，不等式（6）、（7）、（8）同时成立，故有
?
?
?
?
f?
x?
?
h?
x?
?
g?
x?
?
?
?
?
由此得h?
x?
?
?
?
?
，所以limh?
x?
?
?
x?
x0?
'?
定理3．7（四则运算法则）若极限limf?
x?
与limg?
x?
都存在，则函数x?
x0x?
x0
f?
g,f?
g当x?
x0时极限也存在，且
1）lim?
f?
x?
?
g?
x?
?
?
limf?
x?
?
limg?
x?
；x?
x0x?
x0x?
x0
2）lim?
f?
x?
g?
x?
?
?
x?
x0x?
x0limf?
x?
．limg?
x?
；x?
x0
又若limg?
x?
?
0，则f|g当x?
x0时极限存在，且有x?
x0
3）limx?
x0f?
x?
?
gxx?
x0limf?
x?
limg?
x?
．x?
x0
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．
例1求limx?
?
x?
0?
x?
解当x?
0时有
1?
x?
x?
?
?
1，?
x?
?
1?
?
1?
?
1?
x?
1?
故由迫敛性得：
xlim而limx?
?
=1?
0?
x?
0?
?
x?
另一方面，当x?
0有1?
x?
?
?
1?
x，故又由迫敛性又可得：
limx?
?
?
1?
x?
0?
x?
?
x?
综上，我们求得limx?
?
?
1x?
0?
x?
3?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
例2求lim?
xtanx?
1?
x?
?
解由xtanx?
xsinx及§1例4所得的，cosx
sixn?
si?
lim
x?
?
?
442?
limcoxs，?
2x?
4
并按四则运算法则有
limsinx
?
xtanx?
1?
=limx?
lim
x?
x?
?
4?
4x?
?
4limcosxx?
1=?
lim?
x?
4?
?
?
14
例3求lim?
3?
?
1?
3?
．x?
?
1x?
1x?
1?
?
解当x?
1?
0时有
?
x?
1?
?
x?
2?
?
x?
213?
3?
x?
1x?
1x3?
1x2?
x?
1
故所求的极限等于
x?
2?
1?
2?
?
?
12x?
?
1x2?
x?
1?
1?
?
1?
1lim
例4证明lima?
1?
a?
1?
x
x?
0
证任给?
?
0（不妨设?
?
1），为使
xa?
1?
?
（9）
即1?
?
?
a?
1?
?
，利用对数函数loga
loga?
1?
?
?
?
x?
loga?
1?
?
?
于是，令x（当a?
1时）的严格增性，只要?
?
min?
loga?
1?
?
?
?
loga?
1?
?
?
?
，则当0?
x?
?
时，就有（9）式成立，从而证得结论．
ⅳ小结与提问:
本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.
ⅴ课外作业:
p512、3、5、7、8、9.
第三篇：
§2函数极限的性质
《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院
§2函数极限的性质
教学章节：
第三章函数极限——§2函数极限的性质
教学目标：
使学生掌握函数极限的基本性质.
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：
函数极限的性质及其计算.
教学难点：
函数极限性质证明及其应用.
教学方法：
讲练结合.
教学过程：
引言
在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：
1、limf（x）；2、limf（x）；3、limf（x）；4、limf（x）;5、limf（x）；6、limf（x）.
x?
?
?
x?
?
?
x?
?
x?
x0x?
x0?
x?
x0?
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf（x）为代表来叙述并证明这些性质.至
x?
x0
于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.
一、函数极限的性质
性质1（唯一性）如果x?
a
limf（x）x?
alimf（x）存在，则必定唯一.证法一设?
a，x?
alimf（x）?
b,则
?
?
?
0,?
?
1?
0,当0?
|x?
a|?
?
1时，
|f（x）?
a|?
?
（1）
?
?
2?
0,当0?
|x?
a|?
?
2时，
|f（x）?
b|?
?
.
（2）
?
?
min?
?
1,?
2?
取
因而有，则当0?
x?
a?
?
时
（1）和
（2）同时成立.
a?
b?
（f（x）?
a）?
（f（x）?
b）?
f（x）?
a?
f（x）?
b?
2?
（3）
由?
的任意性，（3）式只有当
a?
b?
0
时，即a?
b时才成立.
a?
b2
证法二反证,如x?
a
0?
x?
a?
?
limf（x）
?
a
，x?
a
limf（x）?
b
且a?
b，取
?
0?
，则?
?
?
0，使当
时，
f（x）?
a?
?
0,f（x）?
b?
?
0
即
a?
b2
?
a?
?
0?
f（x）?
b?
?
0?
a?
b2
矛盾.
性质2（局部有界性）若limf（x）存在，则f在x0的某空心邻域内有界.
x?
x0
limf（x）?
a
?
?
1x?
x0证明取,由,?
?
?
0,当0?
x?
x0?
?
时,有f（x）?
a?
1,
即
f（x）?
a?
f（x）?
a?
a?
1
，
a?
1
说明f（x）在u0（x0;?
）上有界，就是一个界.
limf（x）?
b
x?
a
性质3（保序性）设，x?
a
limg（x）?
c
.
0?
x?
a?
?
0?
?
?
0
1）若b?
c，则0，当时有f（x）?
g（x）；
0?
x?
a?
?
0
2）若
?
?
0?
0
，当
时有f（x）?
g（x），则b?
c.（保不等式性）
证明1）取
?
0?
b?
c2
即得.2）反证，由1）即得.
注若在2）的条件中,改“f（x）?
g（x）”为“f（x）?
g（x）”,未必就有
a?
b.以f（x）?
1?
x,g（x）?
1,x0?
0
举例说明.
推论（局部保号性）如果x?
a
号.
limf（x）?
b
0?
x?
a?
?
0?
?
?
0
且b?
0，则0使当时f（x）与b同
性质4（迫敛性）设limf（x）?
limh（x）?
a，且在某u0（x0;?
?
）内有f（x）?
g（x）?
h（x），
x?
x0
x?
x0
则limh（x）?
a.
x?
x0
证明?
?
?
0,由x?
x
limh（x）?
a
limf（x）?
a
，?
?
1?
0，使得当0?
x?
x0?
?
1时，
有f（x）?
a?
?
，即a?
?
?
f（x）?
a?
?
.又由
x?
x0
，?
?
2?
0，使得当0?
x?
x0?
?
2时，有h（x）?
a?
?
，
即a?
?
?
h（x）?
a?
?
.
令?
?
min（?
1,?
2），则当0?
x?
x0?
?
时，有a?
?
?
f（x）?
g（x）?
h（x）?
a?
?
limg（x）?
a
即g（x）?
a?
?
，故x?
x.
性质6（四则运算法则）若limf（x）和limg（x）都存在，则函数f?
g,fg当x?
x0时极限
x?
x0
x?
x0
也存在，且1）lim?
f（x）?
g（x）?
?
limf（x）?
limg（x）；2）lim?
f（x）?
g（x）?
?
limf（x）?
limg（x）.
x?
x0
x?
x0
x?
x0
x?
x0
x?
x0
x?
x0
又若limg（x）?
0，则
x?
x0
fg
当x?
x0时极限也存在，且有3）lim
f（x）g（x）
x?
x0
?
x?
x0
limf（x）
x?
x0
limg（x）
.
3）的证明只要证有
x?
x0
lim
1g（x）
b2
?
1b，令
?
0?
b2
?
0
，由
x?
x0
limg（x）?
b
b2
0?
x?
x0?
?
1
，?
?
1?
0使得当时，
b2
g（x）?
b?
，即
g（x）?
b?
g（x）?
b?
b?
?
.
g（x）?
b?
b2
?
?
?
0
仍然由
x?
x0
limg（x）?
b
?
?
2?
0,使得当0?
x?
x0?
?
2时，，有
?
.
0?
x?
x0?
?
取?
?
min（?
1,?
2），则当时，有
1g（x）
?
1b?
g（x）?
bg（x）b
?
2b
g（x）?
b?
2b
?
b2
?
?
?
即
x?
x0
lim
1g（x）
?
1b.
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：
limc?
c,limx?
x0,limsinx?
sinx0,limcosx?
cosx0;
x?
x0
x?
x0
x?
x0
x?
x0
lim
1x
x?
?
?
0,limarctgx?
?
x?
?
?
?
.（注意前四个极限中极限就是函数值）
这些极限可作为公式用.
在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1求limx?
?
.
x?
0
?
x?
?
1?
例2求lim?
（xtgx?
1）.
x?
例3求lim（
1x?
?
1
x?
1
?
3x3
?
1
）.
例4lim
5x?
3x?
73x3
?
2x2
?
5
.
x?
?
注关于x的有理分式当x?
?
时的极限.参阅[4]p37.7
例5lim
x?
1n
x
10利用公式x?
1
?
1
.[a?
1?
（a?
1）（a
n?
1
?
a
n?
2
?
?
?
a?
1）
].
例6lim
x?
2x?
2?
1x?
1
x2
?
x?
2
.
例7lim
2x?
3x?
1
x?
?
?
3x?
5
.
例8lim
xsin（2x?
x?
10）
3?
2x
.
x?
?
例9lim
?
x?
1.
x?
0
?
x?
1
例10已知lim
x?
16?
a参阅[4]p69.
x?
3
x?
3
?
b.求a和b.作业教材p51—521-7，8
（1）
（2）（4）（5）；2
补充题已知lim
x?
ax?
b7.求a和b.（a?
?
16x?
2
x2?
4
?
b?
3
b?
203
.）
例11lim?
?
2?
x2?
ax?
b?
?
?
0.x?
?
?
?
1?
x
?
求a和b.?
2解法一
2?
x
?
ax?
ax
1?
x
?
ax?
2?
x1?
x
?
?
（a?
1）x2
?
ax?
2
1?
x
?
b,（x?
?
）.
?
a?
1?
0,a?
?
1;又?
a?
b,?
b?
1.
解法二2?
x2
1?
x?
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且原式极限存在（本文来自麦档网），?
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0，即a?
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第四篇：
2函数极限的性质
§2函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：
1）；2）；3）；
4）；5）；6）。
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。
定理3.2（唯一性）若极限
证设与、都是当存在，则此极限是唯一的。
时的极限，则对任给的，
分别存在正数，使得当
时有
（1）
当
时有
（2）取，则当时，
（1）式与
（2）式同时成立，故有
由的任意性得。
这就证明了极限是唯一的。
定理3.3（局部有界性）若极限
内有界。
存在，则在某空心邻域
证设
。
取，则存在，使得对一切
。
有
这就证明了在内有界。
定理3.4（局部保号性）若（或
），存在，使得对一切
有
（或），则对任何正数
（或
证设
有
，这就证得结论。
对于，对任何
，取
，则存在
）。
，使得对一切
的情形可类似地证明。
定理3.5（保不等式性）设
内有
，则
与
都存在，且在某邻域
。
（3）
证设，使得当
，时
，则对任给的，分别存在正数与
（4）
当
时有
（5）
令
，则当
时，不等式
与（4）,
（5）式同时成立，于是
有式成立。
，从而
。
由的任意性得
，即（3）
定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有
（6）
则
。
证按假设，
对任给的
，分别存在正数
与
，使得当
时
（7）
当
时有
（8）
令
式同时成立，故有
，则当
时，不等式（6）、（7）、（8）
，由此得
，所以。
定理3.7（四则运算法则）若极限，
当
与
都存在，则函数
时极限也存在，且
1）
=
2）
=
又若，则当时极限也存在，且有
）
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解由第一章§3习题13，当时有
，而
，故由迫敛性得
。
另一方面，当时有
，故由迫敛性又可得
。
综上，我们求得
。
例2求。
解由
及§1例4所得的
并按四则运算法则有
=
例3求
解当时有
。
故所求极限等于
。
例4证明证任给
（不妨设
），为使
（9）
即
，利用对数函数
（当
时）的严格增性，只要
于是，令
成立，从而证得结论。
，则当时，就有（9）式
第五篇：
函数极限的证明
函数极限的证明
（一）时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义（和.）
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
（二）时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:
1.定义：
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质（3学时）
教学目的：
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：
函数极限的性质及其计算。
教学难点：
函数极限性质证明及其应用。
教学方法：
讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性（不等式性质）:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
（只证“+”和“”）
（二）利用极限性质求极限：
已证明过以下几个极限：
（注意前四个极限中极限就是函数值）
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1（利用极限和）
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
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