傅里叶变换分析.docx
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傅里叶变换分析
第一章信号与系统的基本概念
1．信号、信息与消息的差别？
信号：
随时间变化的物理量；消息：
待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等
信息：
所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2．什么是奇异信号？
函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：
单边指数信号（在t=0点时，不连续），
单边正弦信号（在t=0时的一阶导函数不连续）。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号（t）和单位阶跃信号u（t）。
3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？
冲激信号：
它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。
它表达的是类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。
其重要特性是筛选性，即：
（t）x（t）dt（t）x（0）dtx（0）
4．什么是单位阶跃信号？
单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：
它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用
5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。
即：
如果一个系统，当输入信号分别为x1（t）和x2（t）时，输出信号分别是y1（t）和y2（t）。
当输入信号x（t）是Xi（t）和X2（t）的线性叠加，即:
x（t）axi（t）bx2（t），其中a和b是任意常数时，
输出信号y（t）是yi（t）和y2（t）的线性叠加，即：
y（t）ay^t）by2（t）;
且当输入信号x（t）出现延时，即输入信号是x（tto）时，输出信号也产生同样的延时，即输出信号是y（tto）。
其中，如果当x（t）x't）X2（t）时，y（t）yi（t）y2（t），则称系统具有叠加性；
如果当x（t）axi（t）时，y（t）ayi（t）则称系统具有均匀性。
线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。
6•线性时不变系统的意义与应用？
线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为x（t）和y（t），则
当输入信号为刎时，输出信号则为如;
dtdt
或者当输入信号为x（）d时，输出信号则为y（）d。
另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。
而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：
级联和并联。
假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：
h1（t）和h2（t），
当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：
h（t）hi（t）*h2（t）;
当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：
h（t）h,（t）h2（t）;
当t0时，若h（t）0，则此系统为因果系统；
若Ih（t）0t，则此系统为稳定系统。
第二章连续时间系统的时域分析
1•如何获得系统的数学模型？
数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中
不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。
对于线性时不变系统，其数学模型
通常由两种形式：
建立输入-输出信号之间关系的一个方程或建立系统状态转换的若干个方程
组成的方程组（状态方程）。
对于本课程研究较多的电类系统而言，建立系统数学模型主要依据两个约束特性：
元件特性约束和网络拓扑约束。
一般地，对于线性时不变连续时间系统，其输入-输出方程是一个高阶线性常系数微分方程，而状态方程则是一阶常系数微分方程组。
在本章里，主要讨论系统的输入-输出方程。
2．系统的起始状态和初始状态的关系？
起始状态：
通常又称0状态，它是指系统在激励信号加入之前的状态，包含了全部“过去”的信息（一般地，我们认为激励信号都是在零时刻加入系统的）。
初始状态：
通常又称0状态，它是指系统在激励信号加入之后的状态。
起始状态是系统中储能元件储能情况的反映。
一般用电容器上的电压vc（0）和电感中的电流iL（0）来表示电路的储能情况。
若电路的输入信号中没有冲激电流或阶跃电压，则0时刻
状态转换时有：
vc（0）vc（0）和iL（0）iL（0）
3．零输入响应和零状态响应的含义？
零输入响应和零状态响应是根据系统的输入信号和起始状态的性质划分的。
如果系统无外加输入信号（即输入信号为零）时，由起始状态所产生的响应（也可以看作为由起始状态等效的电压源或电流源等效输入信号所产生的响应），称为零输入响应，一般用yzi（t）表
示；如果系统起始无储能，系统的响应只由外加信号所产生，称为零状态响应，一般用yzs（t）表示。
根据等效原理，系统的起始储能也可以等效为输入信号，根据系统的线性性质，系统的响应就是零输入响应与零状态响应之和。
4．冲激响应与阶跃响应的关系和意义？
冲激响应与阶跃响应都属于零状态响应，而且分别是特殊激励条件下的零状态响应。
冲激响应：
是系统在单位冲激信号（t）激励下的零状态响应。
对线性时不变系统，一般用h（t）表示，而且利用h（t）可以确定系统的因果性和稳定性。
当t0时，若h（t）0,则此系统为因果系统；反之，系统是非因果的。
若Ih（t）0t，则此系统为稳定系统。
反之，系统是不稳定的。
阶跃响应：
是系统在单位阶跃信号u（t）激励下的零状态响应。
对线性时不变系统，一般用g（t）表示。
tt
根据u（t）（）d，有g（t）h（）d
或:
根据（t）巴®，有h（t）蚁
dtdt
5•卷积积分的意义？
卷积积分定义为：
y（t）x（t）*h（t）x（）h（t）d
其意义在于：
将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h（t），求解线性时不变系
统对任意激励信号的零状态响应yzs（t）。
在数学计算时，一般分为5个步骤：
Stepl:
变量代换，将给定信号的自变量t转换为;
例如：
x（t）x（）,h（t）h（）
Step2反褶，把两个参与卷积运算的信号中的一个信号反褶；
例如：
h（）h（）
Step3:
平移，把反褶后的信号沿横轴（时间轴）位移t;
例如：
h（）h（t）
Step4：
乘积，把变换后的两信号相乘；例如：
x（）h（t）
Step5:
积分，根据位移不同导致的信号乘积的不同结果，在非零区间进行积分运算；即
t2
x（）h（t）d。
第三章傅里叶变换分析
1•什么是频谱？
如何得到信号的频谱?
目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式，比如正弦信号的幅度随
着时间按正弦函数的规律变化；另一方面，对于正弦信号，如果知道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。
根据这个原理和傅里叶级数理论，满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合，从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率
-相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。
对于周期信号，其频谱一般用傅里叶级数表示，而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱：
其中:
Fnejnlt
其中:
2•周期信号和非周期信号的频谱有何不同？
周期信号的频谱可以用傅里叶级数表示，它是离散的、非周期的和收敛的。
而非周期信号的频谱用傅里叶变换表示，它是连续的、非周期的和收敛的。
若假设周期信
otherwise
的系数为Fn，非周期信号f°（t）的傅里叶变换为F（j），则有如下的关系:
11
FnF（j）|mF（j）|2n
TT〒
3．吉伯斯现象是如何产生的？
当周期信号存在不连续点时，如果用傅里叶级数逼近，则不论用多少项傅里叶级数，只要不是所有项，则在不连续点必然有起伏，且其起伏的最大值将趋近于一个常数，大约等于不连续点跳变值的8.95%，我们称这种现象为吉伯斯现象。
4．傅里叶变换的对称性如何应用？
傅里叶变换的对称性是指：
若f（t）F（j）|F（j）|ej（）则f（t）F（j）|F（j）|ej（）；
**j（）
f*（t）F*（j）|F（j）|ej（）
**j（）
f*（t）F*（j）|F（j）|ej（）
从而应用傅里叶变换的线性性质：
实信号的傅里叶变换具有共轭对称性，即实信号的幅度谱具有偶函数的特点，而相位谱具有奇函数的特点。
实际中我们应用的基本都是实信号和实系统，因而在频域分析时基本上都用到这一特性。
例如：
某实系统的频响特性是：
H（j）|H（j）|ejh（）；输入的是实信号，具有频谱：
X（j）|X（j）|ejx（）从而输出的也是实信号，且频谱为：
Y（j）|H（j）||X（j）|ej[h（）x（）]
5．傅里叶变换的对偶性有何意义？
傅里叶变换的对偶性建立了信号的时域表示波形和频域表示波形之间的对偶特点，即信号的表示形式不论是哪一种，在对信号的信息表示方面是等价的。
利用傅里叶变换的对偶性可以很方便地求解某些信号的傅里叶逆变换。
6．傅里叶变换的微分积分特性应用有何条件？
傅里叶变换的微分积分特性有两个方面，即时域的微分积分特性和频域的微分积分特性；根据傅里叶变换的对偶性，两类的条件也具有对偶性。
这里说明应用时域的傅里叶变换微分积分特性的条件。
时域微分特性表示为:
时域积分特性表示为:
假设：
⑴響L易于得到相应的傅里叶变换（j
般地，这两个特性常结合起来用于求解复杂信号的傅里叶变换。
即:
从而应用积分特性，有
F（j）
（j）j
（0）（）
注意，上述间接求解法中，对于傅里叶变换的时域微分特性应用没有特殊的要求，但是，对
于积分特性的应用要求信号f（t）=0（t）。
若不能满足此条件，则上式的积分特性表达式
要修正为：
F（j）{f（）f（）}（）
j
7•什么是信号的周期取样，取样对信号产生什么样的影响？
取样会不会改变信号的性质，如果改变，如何改变的？
随着数字技术的发展，数字信号处理的优点得到了信号处理和电子应用领域工作者的广泛认可，因而数字系统的应用领域也越来越广。
而数字系统要求处理的信号是数字信号，这样就要求产生数字信号，在工程中，一般是通过A/D转换器实现的，而从物理概念上来说，
首先对连续时间信号进行取样，然后通过对取样得到的离散信号量化而获得数字信号。
一般地，取样是通过周期地启动取样开关，即取样是等间隔进行的，因而称为周期取样。
信号经取样后，由连续时间信号而成为离散时间信号。
若取样间隔太大，将会造成信号中信息的丢失；而若取样间隔太小，虽然可以很好地保留信号中的信息，但需存储的数据量太大，造成系统的负担太重。
如何很好地确定取样间隔，可由奈奎斯特取样定理进行选择。
而且取样对信号产生的作用可用下式表示：
假设信号x（t）的频谱为X（j），对其进行周期取样得到Xs（t），取样频率为f1/T（T是取样间隔）。
则xs（t）的傅里叶变换为:
Xs（j）fX（jj弓）
TnI
8.什么是调制？
调制对信号产生什么样的影响？
调制的优点是什么？
如何从幅度调制中解调出原基带信号？
调制就是通过携带信息的基带信号（调制信号）g（t）去控制载波信号c（t）的某一个或某几
个参数，使这些参数按照g（t）的规律变化，从而形成具有高频频谱的窄带信号s（t）。
其目的
是为了实现信号的高效传输。
信号被调制后，将易于发射和接收，且易于区分同一频带的不同基带信号。
幅度调制有多种方式，对于常规幅度调制方式，只要利用简单的包络检波就可以实现解调；而对于抑制载波调制或脉冲幅度调制，可以利用同步解调方式实现。
9.系统频域分析的特点是什么？
系统频域分析方法实际上也是对线性时不变系统的具体运用。
它是将输入信号分解为不同频率的正弦信号的线性组合，而这些正弦信号经系统后，其稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅度和相位受到系统的控制而改变，在输出端，对这些幅度和相位发生改变的正弦信号相加，即得到系统的输出信号。
而将输入信号推广到任意的频谱存在的信号，则为系统的频域分析方法。
10.不失真传输的条件是什么？
在实际工作中能否获得不失真传输系统？
不失真传输的意义是输出信号和输入信号相比，只有幅度大小和出现先后的差别，而波形相同。
根据线性时不变系统的特点，这就必然有系统的冲激响应为
h（t）K（tto）
或系统的频率响应为
H（ej）Kejto
由此可见，该系统是一个理想系统，因而在实际工作中是不能实现的。
11.理想低通滤波器的频率响应具有什么特点？
理想低通滤波器定义为具有如下频率响应的系统:
HLP（ej）
Kejt0||c0otherwise
因而若输入信号的频谱全部包含在滤波器的通带范围之内，则此低通滤波器对于此输入信号而言就为不失真传输系统。
但理想低通滤波器实际上也是不能实现的，工程中，常用实际的滤波器来逼近理想滤波器。
第四章拉普拉斯变换分析
1．拉普拉斯收敛域的意义是什么？
拉普拉斯变换定义为：
st
X（s）x（t）estdt
是广义积分，其中变量sj是复变量，因而积分是否存在将取决于变量s，那么使得广义积分存在的s的值所组成的集合就是拉氏变换的定义域。
这说明，拉氏变换的收敛域确定了拉氏变换存在范围。
收敛域不同，说明信号不同。
对于单边拉变换来说，其收敛域的一般形式为0。
2．极点和零点的意义是什么？
它们有什么作用？
如果limX（s）,则称sp是X（s）的极点；
sp
如果limX（s）0,则称sz是X（s）的零点。
sz
极点的位置决定了信号波形变化参数，如单调性（增长或衰减）和振荡快慢（频率）；而零点确定了信号波形的不变参数，如振幅和初相位。
3．拉普拉斯变换的初值定理和终值定理的应用条件是什么？
拉普拉斯变换的初值定理为：
若f（t）F（s）,且f（t）连续可导
则limf（t）f（0）limsF（s）
t0s
其应用的条件为F（s）必须是有理真分式；如果不是，则必须利用长除法，将F（s）表示为：
F（s）B（s）F0（s）
其中，B（s）是s的多项式，Fo（s）是有理真分式。
则有
limf（t）f（0）f0（0）limsF0（s）
t0s
拉普拉斯变换的终值定理为：
若f（t）F（s），且f（t）连续可导
贝Ulimf（t）f（）I]%sF（s）
由于我们只讨论单边拉氏变换，因而其应用的条件为F（s）的极点必须全部在s平面的左
半平面，否则，其终值不存在。
4.如何获得电容或电感元件的等效电路？
根据电容和电感的伏安特性以及拉氏变换的微分积分性质，可以很方便地获得两种元件的
s域等效电路。
dt
从而等效电路为:
（1）
电容：
ic（t）cdv型拉氏变换：
lc（s）sCVc（s）Cvc（0）
（1）
第五章连续时间系统的s域分析
1.系统函数是如何定义的？
它的意义何在?
系统函数定义为:
其中，Yzs（s）,X（s）分别是系统的零状态响应和输入信号的拉氏变换；也就是说系统函数定
义为系统的零状态响应和输入信号的拉氏变换的比值。
换一种写法：
Yzs（s）H（s）X（s）
根据拉氏变换的时域卷积性质，则有yzs（t）h（t）*x（t）。
从而系统函数和系统的冲激响应是一对拉氏变换的关系。
因而其地位和作用与系统的冲激响应完全等同。
但是由于在拉氏变换域内，零状态响应是系统函数和输入信号的乘积运算，因而应用系统函数分析系统将比应用冲激响应的方法分析系统更为简便和直观。
2．在给定相应的系统条件时，如何利用系统函数求解系统的零状态响应和零输入响应？
线性时不变系统的系统函数一般是有理分式的形式，因而又可以表示为零、极点分布的表示形式，对求解系统的响应特别方便。
对n阶系统，已知其系统函数为H（s），其n个极点（假设互不相同）分别为pi,p2,…，Pno若给定系统的起始条件y（k）（0）,k0,1,2,...,n1，则系统的零输入响应为：
n
yzi（t）Aziiepit
i1
其中：
A”由下面的方程组确定。
n
Aziiy（0）
i1
n
Aziipiy（0）
i1
M
n
n1（n1）
Aziipin1y（n1）（0）
i1
若给定系统的输入信号x（t），其拉氏变换为X（s），则系统的零状态响应为
Yzs（s）H（s）X（s）的逆变换。
3．系统函数在分析系统稳定性时有何作用？
根据线性时不变系统稳定性的条件：
|h（t）|dt，则h（t）estdt|s0，即冲激响应的拉氏变换的收敛域包含虚轴，而考虑到我们研究的都是因果系统，其收敛域为
说明当系统函数的极点都在s平面的左半平面时，系统是稳定的，这也说明了系统函数的极点位置决定着系统的稳定性。
4.系统函数在分析系统的频率响应时有何作用？
系统的频率响应定义为：
在正弦信号激励下，系统的稳态响应随信号频率变化而变化的特性。
根据对系统的稳态响应的研究，系统的频率响应与系统函数（必须是稳定系统）之间具有如下的关系：
H（j）H（s）|sj
用系统函数的零极点表示为：
m
（j乙）
H（j）H。
”
（jPk）
k1
根据复数运算规则，系统的频率响应可以表示为零点矢量与极点矢量之间的矢量乘法运算
5.如何利用系统函数求解正弦激励信号下的系统稳态响应？
假设系统函数为H（s），输入信号为x（t）Acos（1t）u（t）
根据系统频域分析方法，系统输出的稳态响应为：
yss（t）H（ji）x（t）H（s）|sj!
Acos（it）u（t）
6.全通系统有何特点？
全通系统是指任意频率的信号均能通过系统进行传输，且经过系统后，各频率信号均有相同的幅度增益，但各频率信号的相位改变不具有明显的联系。
一个全通系统的零点与极点一定是关于s平面的纵轴对称。
7.什么叫模拟滤波器？
巴特沃兹滤波器有何特点？
利用模拟器件实现对连续时间信号的滤波作用的系统，称为模拟滤波器。
其作用一般具有选频、滤噪等作用。
巴特沃兹滤波器是一种可以实现的简单的滤波器，其特点是：
幅频响应具有单调性的特点，且滤波性能随着滤波器阶数的增高而增强，但复杂性也随之增加。
另外，N阶巴特沃兹滤波器的系统函数的极点在s平面上均匀分布在以截止频率c为半径，以2为间隔的圆周上（考虑稳定性原因，且一定在s平面的左半平面）。
2N
8•系统框图和信号流图有何区别？
它们的作用是什么?
系统框图和信号流图是进行系统模拟的有效方法。
信号流图只有点和线组成，可以看作为系统框图的一种简化形式。
它们都是用加法器、积分器和数乘器来模拟实际系统中出现的微分、放大和求和等信号处理和变换功能，从而降低实验成本，提高系统研制效率的目的。
第六章离散时间系统的时域分析
1离散时间信号、连续时间信号、数字信号和模拟信号相互之间的联系和区别是什么？
离散时间信号是指自变量（时间）离散、而函数值（幅度）连续变化的信号；连续时间信号是指自变量（时间）连续的信号；
数字信号是指自变量（时间）离散、而函数值（幅度）也离散的信号；
模拟信号是指自变量（时间）连续、而函数值（幅度）也连续变化的信号；
对模拟信号或连续时间信号进行取样可以得到离散时间信号，而对离散时间信号进行量化则得到数字信号；对离散时间信号进行插值可以恢复连续时间信号。
2•周期离散时间信号的周期如何确定？
若离散时间信号是周期的，即x[n]x[nrN]，其中r是任意整数，N是正整数。
而对于
连续时间信号而言，若其是周期的，则有x（t）x（trT），其中r是任意整数，T是正实数。
2
如正弦信号：
x（t）sin（t），其周期为T—；
而正弦序列：
x[n]sin（n），其周期有如下形式确定：
如果—N为整数，则其周期就是N;
如果—q，其中p,q是互质的两正整数，即—是有理数，则其周期为Nq；
P
如果—是无理数，则正弦序列不是周期序列。
3.单位样值序列、单位阶跃序列之间的关系是什么，将单位阶跃序列推广到一般的序列后,它们之间的关系又怎样？
从而有：
u[n][nm]
（1）m0
n
[k]
（2）k
或[n]u[n]u[n1]（3）将式
（1）推广到任意序列x[n],有
x[n]x[m][nm]（4）
m
4．序列的移位运算有何特点？
序列的差分运算是如何得到的？
序列的移位有左移和右移,左移为：
x[nm],其中m是正整数；右移为：
x[nm],其中m是正整数；
即对于序列来讲,其移位只能是整数大小的移位,不能出现其它任意小数形式的移位。
差分运算定义为：
x[n]x[n1]（一阶后向差分）
x[n1]x[n]（一阶前向差分）
5．离散时间系统的数学模型怎么描述？
怎么实现离散时间系统？
离散时间系统的数学模型是用差分方程来表示的,对于线性时不变离散时间系统,其输入-输出的数学模型是一个高阶常系数线性差分方程。
离散时间系统是由数字器件实现的,即利用延时器、加法器和数乘器,实现描述系统差分方程中的各个运算。
6．常系数线性差分方程的解如何得到？
在求解过程中应注意什么问题？
常系数差分方程的求解方法有多种,如迭代法,经典解法,系统解法,变换解法等等。
迭代法求解简单,但不易得到方程的闭式解；
经典解法：
分别求解方程的齐次解（通解）和特解，进而得到方程的完全解。
特解的求解较为简单，形式和方程的自由项相同，系数根据差分方程两边对应项相同得到；根据特解以及方程的边界条件得到齐次解中的待定系数。
在此应注意，齐次解中的待定系数必需由初始条件，即x[0],x[1],...,x[N1]（N阶差分方程）确定，否则会得到错误的结果；如果给的不
是初始条件，而是起始条件x[N],x[N1],...,x[1]，需通过差分方程迭代得到初始条件
x[0],x[1],...,x[N1]后，再确定待定系数。
系统解法是将系统的解分为零输入响应和零状态响应两部分，其中零输入响应是不考虑
系统的输入信号，即将输入信号视为0（x[n]0），由系统的起始条件y[N],y[N1],...,y[1]（也可以看为起始储能）确定的响应，而零状态响应则是不考虑系统的起始状态，（即
y[N]y[N1]...y[1]0），只由系统的输入信号产生的响应；但是考虑到系统的线性时不变特性，可以根据系统的单位样值响应h[n]，利用卷积和的方法求解零状态响应，即
y[n]h[n]*x[n]。
变换解法主要是指利用单边z变换方法求解差分方程，主要利用z变换的线性特性和移位特性。
注意由于考虑到系统的起始状态可能不为零
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