专题1二次函数y.docx
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专题1二次函数y
专题1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【专题解读】对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．
例1二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图26－84所示，则下列结论：
①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0．其中正确的个数是（）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
例2若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数关系式是（）
x
-1
0
1
ax2
1
ax2+bx+c
8
3
A．y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋8
例3已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y＝ax＋b的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
例4已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与
x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．其中正确的个数为（）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
例5若A
，B
，C
为二次函数y＝x2＋4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
例6在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－
（x－1）2的图象大致是（如图26—87所示）（）
专题2抛物线的平移规律
【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a（x－h）2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．
例7把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）
A．y＝－2（x＋1）2B．y＝－2（x－1）2
C．y＝－2x2＋1D．y＝－2x2－1
例8把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋5，则（）
A．b＝3，c＝7B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5D．b＝－9，c＝21
专题3抛物线的特殊位置与函数关系的应用
【专题解读】若抛物线经过原点，则c＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则
和
的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a，b，c以及与之有关的代数式的值．
例9如图26－88所示的抛物线是二次函数y＝ax2＋3ax＋a2－1的图象，则a的值是.
专题4求二次函数的最值
【专题解读】在自变量x的取值范围内，函数y＝ax2＋bx＋c在顶点
处取得最值．当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，顶点最低，当x＝
时，y有最小值为
；当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，顶点最高，当x＝
时，y有最大值为
．
例10已知实数x，y满足x2＋2x＋4y＝5，则x＋2y的最大值为.
专题5二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
【专题解读】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．
例11已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点（2，0），（－1，6）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y＞0时x的取值范围．
二、规律方法专题
专题6二次函数解析式的求法
【专题解读】用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．
（1）设一般式：
y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．
若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．
（2）设交点式：
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），则可设所求的二次函数解析式为y＝a（x－x1）（x－x2），将第三点（m，n）的坐标（其中m，n为已知数）代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
（3）设顶点式：
y＝a（x－h）2＋k（a≠0）．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），则可设所求的二次函数解析式为y＝a（x－h）2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
（4）设对称点式：
y＝a（x－x1）（x－x2）＋m（a≠0）．
若已知二次函数图象上的对称点（x1，m），（x2，m），则可设所求的二次函数解析式为y＝a（x－x1）（x－x2）＋m（a≠0），将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．
例12根据下列条件求函数解析式．
（1）已知二次函数的图象经过点（－1，－6），（1，－2）和（2，3），求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的交点为（0，－5），求此抛物线的解析式；
（3）已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1，0）两点，且经过点M（0，1），求此抛物线的解析式；
（4）已知抛物线经过（－3，4），（1，4）和（0，7）三点，求此抛物线的解析式．
三、思想方法专题
专题7数形结合思想
【专题解读】把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．
例13二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－90所示，则点A（a，b）在（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
专题8分类讨论思想
【专题解读】分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．
例14已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（1，0），C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E，F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
，
专题9方程思想
【专题解读】求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y＝0或x＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．
例15抛物线y＝x2－2x＋1与x轴交点的个数是（）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
专题10建模思想
【专题解读】根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题．
例16某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售价x（元／箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元／箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?
最大利润是多少?
例17某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a元．
（1）试求a的值；
（2）为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x（万元），则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．
①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；
②求年利润S（万元）与广告费x（万元）之间的函数关系式，并计算广告费x（万元）在什么范围内时，公司获得的年利润S（万元）随广告费的增多而增多．（注：
年利润S＝年销售总额－成本费－广告费）
例18某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．（注：
宾馆客房是以整间出租的）
（1）若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；
（2）设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；
（3）在
（2）中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．
例20如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是（－1，2）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A，O，B的抛物线的表达式．
例21如图26－96所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．
例22如图26－97所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A（－1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
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