从而，f′（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]＝30（x－4）（x－6），
于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（3,4）
4
（4,6）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4时，函数f（x）取得极大值，也是最大值，9分
所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分
[规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
（1）设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f（x），并确定其定义域；
（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0；
（3）比较函数在区间端点和f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；
（4）回归实际问题作答．
[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝
x3－
x2－40x（x＞0），为使耗电量最小，则速度应定为________.【导学号：
31222088】
40 [由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1或x＝40，
由于0＜x＜40时，y′＜0；
x＞40时，y′＞0.
所以当x＝40时，y有最小值．]
[思想与方法]
1．可导函数y＝f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0，且在x0左侧与右侧f′（x）的符号不同．
2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．
3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．
4．若函数f（x）在定义域A上存在最大值与最小值，则：
（1）对任意x∈A，f（x）＞0⇔f（x）min＞0；
（2）存在x∈A，f（x）＞0⇔f（x）max＞0.
[易错与防范]
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．
2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．
3．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．
课时分层训练（十五）
导数与函数的极值、最值
A组 基础达标
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A．y＝x3 B．y＝ln（－x）
C．y＝xe－xD．y＝x＋
D [由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增（无极值），而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]
2．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于（ ）
【导学号：
31222089】
A.
B．－
C．－ln2D．ln2
B [令y′＝2x＋x·2xln2＝0，
∴x＝－
.
经验证，－
为函数y＝x·2x的极小值点．]
3．函数y＝lnx－x在x∈（0，e]上的最大值为（ ）
A．e B．1
C．－1 D．－e
C [函数y＝lnx－x的定义域为（0，＋∞）．
又y′＝
－1＝
，令y′＝0得x＝1，
当x∈（0,1）时，y′＞0，函数单调递增；
当x∈（1，e]时，y′＜0，函数单调递减．
当x＝1时，函数取得最大值－1.]
4．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
【导学号：
31222090】
A．（－1,2）B．（－∞，－3）∪（6，＋∞）
C．（－3,6）D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
B [∵f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6），
由已知可得f′（x）＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝4a2－4×3（a＋6）＞0，即a2－3a－18＞0，
∴a＞6或a＜－3.]
5．设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R），若x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）图象的是（ ）
A B C D
D [因为[f（x）ex]′＝f′（x）ex＋f（x）（ex）′＝[f（x）＋f′（x）]ex，且x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，所以f（－1）＋f′（－1）＝0.选项D中，f（－1）＞0，f′（－1）＞0，不满足f′（－1）＋f（－1）＝0.]
二、填空题
6．函数f（x）＝
x3＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________.
【导学号：
31222091】
－
[f′（x）＝x2＋2x－3，令f′（x）＝0得x＝1（x＝－3舍去），又f（0）＝－4，f
（1）＝－
，f
（2）＝－
，故f（x）在[0,2]上的最小值是f
（1）＝－
.]
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
（－∞，－1） [∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]
8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q（单位：
件）与零售价p（单位：
元）有如下关系：
Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．
30 23000 [设该商品的利润为y元，由题意知，
y＝Q（p－20）＝－p3－150p2＋11700p－166000，
则y′＝－3p2－300p＋11700，
令y′＝0得p＝30或p＝－130（舍），
当p∈（0,30）时，y′＞0，当p∈（30，＋∞）时，y′＜0，
因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23000.]
三、解答题
9．已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋b（a，b∈R）．
（1）要使f（x）在（0,2）上单调递增，试求a的取值范围；
（2）当a<0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f（x）的解析式．
[解]
（1）f′（x）＝－3x2＋2ax.
依题意f′（x）≥0在（0,2）上恒成立，
即2ax≥3x2.∵x＞0，∴2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3，
即a的取值范围是[3，＋∞）.5分
（2）∵f′（x）＝－3x2＋2ax＝x（－3x＋2a）．
∵a＜0，当x∈
时，f′（x）≤0，f（x）递减．
当x∈
时，f′（x）＞0，f（x）递增．
当x∈[0，＋∞）时，f′（x）≤0，f（x）递减.8分
∴
⇒
∴f（x）＝－x3－3x2＋1.12分
10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k（k>0）．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x（km）．
（1）试将y表示为x的函数；
（2）若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．
[解]
（1）设点C受A污染源污染程度为
，点C受B污染源污染程度为
，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝
＋
.5分
（2）因为a＝1，所以y＝
＋
，
y′＝k
，8分
令y′＝0，得x＝
，
又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，
所以，污染源B的污染强度b的值为8.12分
B组 能力提升
（建议用时：
15分钟）
1．（2017·石家庄一模）若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m,0）（m≠0），且f（x）的极大值为
，则m的值为（ ）
【导学号：
31222092】
A．－
B．－
C.
D.
D [由题意可得f（m）＝m3＋am2＋bm＝0，m≠0，则m2＋am＋b＝0 ①，且f′（m）＝3m2＋2am＋b＝0 ②，①－②化简得m＝－
，f′（x）＝3x2＋2ax＋b的两根为－
和－
，则b＝
，f
＝
，解得a＝－3，m＝
，故选D.]
2．（2016·北京高考改编）设函数f（x）＝
则f（x）的最大值为________．
2 [当x＞0时，f（x）＝－2x＜0；当x≤0时，f′（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），当x＜－1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当－1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，∴f（x）≤f（－1）＝2，∴f（x）的最大值为2.]
3．已知函数f（x）＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[－3,3]上的最小值．
[解]
（1）因为f（x）＝ax3＋bx＋c，
故f′（x）＝3ax2＋b.2分
由于f（x）在点x＝2处取得极值c－16，
故有
即
化简得
解得
5分
（2）由
（1）知f（x）＝x3－12x＋c，
f′（x）＝3x2－12＝3（x－2）（x＋2），
令f′（x）＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈（－∞，－2）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（－∞，－2）上为增函数；7分
当x∈（－2,2）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（－2,2）上为减函数；8分
当x∈（2，＋∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（2，＋∞）上为增函数．
由此可知f（x）在x＝－2处取得极大值，
f（－2）＝16＋c，
f（x）在x＝2处取得极小值f
（2）＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.10分
此时f（－3）＝9＋c＝21，f（3）＝－9＋c＝3，
f
（2）＝－16＋c＝－4，
因此f（x）在[－3,3]上的最小值为f
（2）＝－4.12分
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