高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第12节 导数与函数的极值最值教师用书 文 新人教A版.docx

1、高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第12节 导数与函数的极值最值教师用书 文 新人教A版第十二节导数与函数的极值、最值考纲传真1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)1函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x

2、b处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值2函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值一定比极小值

3、大()(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图2121所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()图2121A1B2C3D4A导函数f(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万

4、件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件Cyx281，令y0得x9或x9(舍去)当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件4(2016四川高考)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2C4 D2D由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数f(x)在x2处取得极小值，a2.5函数y2x32x2在区间1,2

5、上的最大值是_8y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，最大值为8.利用导数研究函数的极值问题角度1根据函数图象判断极值设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图2122所示，则下列结论中一定成立的是()图2122A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)

6、在x2处取得极大值，在x2处取得极小值角度2求函数的极值求函数f(x)xaln x(aR)的极值解由f(x)1，x0知：(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；5分(2)当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，9分从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.12分角度3已知极值求参数(1)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是() 【导学号

7、：31222087】A(，0) B. C(0,1) D(0，)(2)(2016广东肇庆三模)已知函数f(x)x3ax23x9，若x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a_.(1)B(2)5(1)f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a10a.(2)f(x)3x22ax3，由题意知x3为方程3x22ax30的根，3(3)22a(3)30，解得a5.规律方法利用导数研

8、究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题(2017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.2分f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)单调递减 ek1单调递增 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).5分(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，7分当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，

9、在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.10分综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.12分规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值变式训练1(2017石家庄质检(二)若a0，b0，且函数f(x)4x

10、3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t的最大值为()A2 B3 C6 D9Df(x)12x22ax2b，则f(1)122a2b0，ab6，又a0，b0，则tab29，当且仅当ab3时取等号，故选D.利用导数研究生活中的优化问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.5分(2)由(1

11、)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3) 210(x3)(x6)2,3x6.7分从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，9分所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分规律方法利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y

12、f(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答变式训练2某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_. 【导学号：31222088】40由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y0；x40时，y0.所以当x40时，y有最小值思想与方法1可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同2求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作

13、判断，直接与端点的函数值比较即可3如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点4若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：(1)对任意xA，f(x)0f(x)min0；(2)存在xA，f(x)0f(x)max0.易错与防范1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2导数为零的点不一定是极值点对含参数的求极值问题，应注意分类讨论3若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值4利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义课时分层训练(十五)导

14、数与函数的极值、最值A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3 Byln(x)Cyxex DyxD由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数yx3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值2当函数yx2x取极小值时，x等于() 【导学号：31222089】A. BCln 2 Dln 2B令y2xx2xln 20，x.经验证，为函数yx2x的极小值点3函数yln xx在x(0，e上的最大值为()Ae B1 C1 DeC函数yln xx的定义域为(0，)又y1，令y0得x1，当x(0,1)时，y0，函数单调递增；当x(1

15、，e时，y0，函数单调递减当x1时，函数取得最大值1.4已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() 【导学号：31222090】A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)Bf(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根，4a243(a6)0，即a23a180，a6或a3.5设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是()A BC DD因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，且x1为函数f(x)ex的一个极值点，所以

16、f(1)f(1)0.选项D中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.二、填空题6函数f(x)x3x23x4在0,2上的最小值是_. 【导学号：31222091】f(x)x22x3，令f(x)0得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0,2上的最小值是f(1).7设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_(，1)yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x0时，ex1，aex1.8某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：

17、Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元3023 000设该商品的利润为y元，由题意知，yQ(p20)p3150p211 700p166 000，则y3p2300p11 700，令y0得p30或p130(舍)，当p(0,30)时，y0，当p(30，)时，y0，因此当p30时，y有最大值，ymax23 000.三、解答题9已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a0)现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的

18、污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1，且x6时，y取得最小值，试求b的值解(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k0，从而点C处受污染程度y.5分(2)因为a1，所以y，yk，8分令y0，得x，又此时x6，解得b8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017石家庄一模)若函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m0)，且f(x)的极大值为，则m的值为() 【导学号：31222092】A B C. D. D由题意可得f(m)m3

19、am2bm0，m0，则m2amb0，且f(m)3m22amb0，化简得m，f(x)3x22axb的两根为和，则b，f，解得a3，m，故选D.2(2016北京高考改编)设函数f(x)则f(x)的最大值为_2当x0时，f(x)2x0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0，f(x)是增函数，当1x0时，f(x)0，f(x)是减函数，f(x)f(1)2，f(x)的最大值为2.3已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值解(1)因为f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.2分由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得5分(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；7分当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2,2)上为减函数；8分当x(2，)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值，f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.10分此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.12分