精品小升初数学小组课第11讲 二维空间的几何图形平面图形.docx

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精品小升初数学小组课第11讲二维空间的几何图形平面图形

第11讲二维空间的几何图形——平面图形

学习目标

1.平面图形的认识。

2.平面图形的周长和面积。

入门测

填空题

练习1.

（2019∙保定模拟）长方形、正方形都是特殊的平行四边形．___．（判断对错）

【答案】

√

【解析】

题干解析:

长方形和正方形都是特殊的平行四边形．

解答题

练习1.

（2019∙宁波）①计算图1阴影部分的周长．（π≈3）

②两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积．

【答案】

详见解析

【解析】

题干解析:

（1）3×9÷2+3×2×9×45÷360+9=13.5+6.75+9=29.25（厘米）答：

阴影部分的面积为29.25厘米。

（2）6×6+12×12-6×6÷2-12×（12-6）÷2-（12+6）×12÷2=36+144-18-36-108=18（平方厘米）答：

阴影部分面积为18平方厘米．

练习2.

（2019∙福田区）用下面两个长方形，可以拼成不同的大长方形．分别求出不同大长方形的周长．

第一种情况：

_____；

第二种情况：

_____．

【答案】

详见解析

【解析】

题干解析:

第一种情况：

如图，

周长是：

（15+7+7）×2=29×2=58（米）第二种情况，如图，

周长：

（15×2+7）×2=37×2=74（米）故答案为：

58，74。

情景导入

知识精讲

图形的认识

知识讲解

∙一、平面图形的分类及识别

1.概念：

有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形．

2.平面图形分类：

（1）三角形：

按边分有等腰三角形，不等腰三角形．按角分有：

锐角三角形．直角三角形，钝角三角形．

（2）四边形：

任意四边形，平行四边形，梯形．

（3）圆形：

扇形．

二、平行四边形的特征及性质

平行四边形的概念：

1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形用符号“□ABCD”，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”．

（1）平行四边形属于平面图形．

（2）平行四边形属于四边形．

（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：

矩形，正方形和菱形等．

（4）平行四边形属于中心对称图形．

2.平行四边形的性质：

主要性质

（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．

（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）

（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．

（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．

（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．

注：

正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．

三、长方形的特征及性质

长方形：

是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．

长方形的性质：

1.长方形的4个内角都是直角；

2.长方形对边相等；

3.长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．

4.长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质

四、正方形的特征及性质

1.概念：

有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2.性质：

（1）边：

两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

（2）内角：

四个角都是90°；

（3）对角线：

对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

（4）对称性：

既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）．

（5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．

（6）特殊性质：

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

（7）正方形是特殊的长方形．

五、梯形的特征及分类

1.概念：

梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．

2.分类：

（1）直角梯形：

有一个角为直角的梯形为直角梯形

（2）等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形

（3）一般梯形．

六、三角形的特征及分类

1.三角形具有稳定性．

三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

2.三角形的分类

①按角分

判定法一：

锐角三角形：

三个角都小于90°．

直角三角形：

可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．

钝角三角形：

有一个角大于90°．

判定法二：

锐角三角形：

最大角小于90°．

直角三角形：

最大角等于90°．

钝角三角形：

最大角大于90°．

其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．

②按边分：

不等边三角形；等腰三角形；等边三角形．

例题精讲

图形的认识

例1.

（2019∙长沙模拟）把平角分成两个角，其中一个是钝角，那么另一个肯定是（　）

A．锐角

B．直角

C．钝角

【答案】A

【解析】

题干解析:

其中钝角是大于90°，小于180°的角，用“180-钝角”所得的角的度数小于90度，所以另一个角是锐角；

例2.

（2014春∙上海校级期末）下列各图中（　）不是平行四边形。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

题干解析:

根据平行四边形的含义及特征可知：

在四个选项中只有梯形不是平行四边形，

长方形和正方形都是平行四边形；

例3.

（2012春∙永昌县月考）如图中甲部分的周长和乙部分的周长（　）

A．相等

B．甲的周长大

C．无法比较

【答案】A

【解析】

题干解析:

如图，

甲部分的周长和乙部分的周长相等；

例4.

（2016∙玉溪模拟）下列各组线段中，（　）组线段能组成一个三角形．

A．1cm，2cm，3cm

B．1cm，2cm，4cm

C．2cm，3cm，3cm

【答案】C

【解析】

题干解析:

A、因为1+2=3，所以不能围成三角形；

B、因为1+2<4，所以不能围成三角形；

C、因为2+3>3，所以能围成三角形；

例5.

（2019∙湘潭模拟）一个三角形的两个内角分别是25度、64度，这个三角形是（　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

【答案】C

【解析】

题干解析:

第三个角是：

180°-25°-64°

=155°-64°

=91°

则这个三角形是钝角三角形。

例6.

（2016∙江岸区模拟）下列图表示的关系中，第（　）种是不正确的。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

题干解析:

由分析得：

A，长方体包括正方体．是正确的。

B，小数包括循环小数．是正确的．

C，四边形包括平行四边形．是正确的．

D，因为等式包括方程，方程是特殊的等式，因此，方程包括等式这种表示方法是错误的．

例7.

（2019∙衡阳模拟）在下面图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

题干解析:

圆柱两个底面之间的距离叫做高，圆柱可以做出无数条高，并且这些高都相等，

而且圆柱的侧面展开后是一个长方形，所以只有长方形沿任意一边旋转一周才能得到圆柱体，

例8.

（2018∙武侯区模拟）如图是一个水槽的展开图，请求出这个水槽组成长方体后最多能够灌入（　）立方分米的水．

A．100

B．10

C．34

D．1000

【答案】B

【解析】

题干解析:

10厘米=1分米，

5×2×1=10（立方分米），

例9.

（2019∙长沙模拟）把一个圆柱体的侧面沿一条高线剪开，只能是（　）形．

A．长方形

B．正方形

C．平行四边形

D．长方形、正方形、平行四边形或不规则图形

【答案】A

【解析】

题干解析:

因为把一个圆柱体的侧面沿一条高线剪开，得到的图形是一个长方形，

长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高；

B、选项包含在A的选项中，

C、一定不是沿高线展开后得到的图形，

D、是把一个圆柱体的侧面沿一条高线或不沿高线展开，得到的图形。

例10.

（2019∙长沙模拟）一个圆柱体切拼成一个近似长方体后（　）

A．表面积不变，体积不变

B．表面积变大，体积不变

C．表面积变大，体积变大

【答案】B

【解析】

题干解析:

根据立体图形的切拼方法可知：

圆柱体切拼成一个长方体后，体积大小不变，

表面积增加了两个以圆柱的高和底面半径为边长的长方形的面积，所以表面积变大了。

例11.

（2019∙保定模拟）

（单位：

cm）以直角三角形的长直角边为轴旋转一周（如图）得到几何体是_____，体积是_______cm3．

【答案】

圆锥体，37.68

【解析】

题干解析:

（1）以4cm的直角边为轴旋转一周，可以得到一个立体图形，这个立体图形是圆锥体；

（2）

3.14×32×4=3.14×3×4=37.68（立方厘米）

例12.

（2019∙保定模拟）长方形、正方形都是特殊的平行四边形．___．（判断对错）

【答案】

√

【解析】

题干解析:

长方形和正方形都是特殊的平行四边形．

周长、面积与体积

知识讲解

∙ 一、周长

1.周长：

图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示．

2.长方形周长：

①周长=长+宽+长+宽

②周长=长×2+宽×2

③周长=（长+宽）×2．

3.正方形周长：

由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长=边长×4．用字母表示为c=4a．

4.梯形的周长

梯形的周长=两腰长度+上底+下底．

5.圆相关周长

圆的周长=πd=2πr，

半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长=πr+2r．

圆环的周长等于两个圆的周长，即：

圆环的周长=πd1+πd2=2πr1+2πr2．

6.三角形的周长

三角形的周长等于三边长度之和．

∙二、面积

1.长方形的面积

长方形面积=长×宽，用字母表示：

S=ab

2.正方形的面积

正方形面积=边长×边长，用字母表示：

S=a2．

3.平行四边形的面积

平行四边形面积=底×高，用字母表示：

S=ah．（a表示底，h表示高）

4.三角形的面积

三角形面积=底×高÷2．

5.梯形的面积

梯形面积=（上底+下底）×高÷2．

6.圆和圆环的面积

圆的面积公式：

S=πr2

圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：

S=πr22-πr12=π（r22-r12）

7.组合图形的面积

方法：

①“割法”：

观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．

②“补法”：

观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．

③“割补结合”：

观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．

∙ 

例题精讲

周长、面积与体积

例1.

（2019∙岳阳模拟）一个边长10厘米的正方形，相邻的两边中，一边增加2厘米，另一边减少2厘米，那么它的周长和面积的变化情况是（　）

A．周长和面积都不变

B．周长增加，面积相等

C．周长不变，面积缩小

D．周长缩短，面积相等

【答案】C

【解析】

题干解析:

正方形的周长：

10×4=40（厘米），

四边形的周长：

10×2+10+2+10-2=40（厘米）；

周长一定，正方形的面积是四边形中面积最大的图形，

故周长不变，面积缩小。

例2.

（2018秋∙桑植县期末）

圆的弧长所对的圆心角是____度，如果该弧长6.28厘米，该扇形的面积是_______平方厘米．（π按3.14计算）

【答案】

圆的弧长所对的圆心角是90度，该扇形的面积是12.56平方厘米

【解析】

题干解析:

360°

90°；6.28

=6.28×4=25.12（厘米）；3.14×（25.12÷3.14÷2）2

=3.14×42

=3.14×16

=12.56（平方厘米）；

例3.

（2019∙天津模拟）计算阴影部分的面积和周长．（单位：

厘米）

【答案】

这个圆环的面积是100.48平方厘米；周长是50.24厘米

【解析】

题干解析:

3.14×62-3.14×22=3.14×36-3.14×4=3.14×32=100.48（平方厘米）3.14×6×2+3.14×2×2=3.14×16=50.24（厘米）

例4.

（2018秋∙泗洪县校级期末）如图中正方形A的边长是8厘米，正方形B的边长是12厘米．大正方形的周长是多少厘米？

【答案】

大正方形的周长是80厘米

【解析】

题干解析:

8+12=20（厘米），20×4=80（厘米），

例5.

（2014春∙海淀区校级期末）根据已知条件，计算出下图中梯形的周长比平行四边形的周长长多少厘米？

（单位：

厘米）

【答案】

梯形的周长比平行四边形的周长多8厘米

【解析】

题干解析:

由分析得：

梯形周长比平行四边形周长多6.4厘米+8.4厘米，少6.8厘米．于是梯形的周长比平行四边形的周长多：

6.4+8.4-6.8=14.8-6.8=8（厘米）

例6.

（2019∙天津模拟）一个大厅长24.8米，宽9.6米，用每块0.32平方米的方砖铺地，需要多少块这样的方砖？

【答案】

需要744块这样的方砖

【解析】

题干解析:

24.8×9.6÷0.32=238.08÷0.32=744（块）

例7.

（2018秋∙桑植县期末）一块平行四边形菜地的底是23.8米，高是14米，每平方米收青菜6千克．这块菜地可收青菜多少千克？

【答案】

这块菜地可以收青菜1999.2千克

【解析】

题干解析:

23.8×14×6=333.2×6=1999.2（千克），

例8.

（2019∙保定模拟）买一块底是14m、高是8m的三角形钢板用去672元，这种钢板平均每平方米多少元？

【答案】

这种钢板平均每平方米12元

【解析】

题干解析:

672÷（14×8÷2）=672÷56=12（元）

例9.

（2018∙高邮市）有一个直角梯形，上底是下底的

，如果下底减少8厘米，正好变成一个正方形，原来这个梯形的面积是多少？

【答案】

原来这个梯形的面积是192平方厘米

【解析】

题干解析:

8÷（5-3）=8÷2=4（厘米）（4×3+4×5）×（4×3）÷2=（12+20）×12÷2=32×12÷2=192（平方厘米）

例10.

（2019春∙淮安期末）一个圆形花坛，直径为6米，沿花坛的周围修一条1米宽的小路．这条小路的面积是多少平方米？

【答案】

这条小路的面积是21.98平方米

【解析】

题干解析:

内圆半径：

6÷2=3（米）外圆半径：

3+1=4（米）3.14×（42-32）=3.14×7=21.98（平方米）

当堂练习

单选题

练习1.

（2018秋∙武进区期中）一张长方形纸长17厘米，宽12厘米，把它剪成两条直角边分别为3厘米、4厘米的直角三角形小旗，最多可以剪（　）面。

A．34

B．17

C．30

D．32

【答案】A

【解析】

题干解析:

如图：

（17×12）÷（4×3÷2）

=204÷6

=34（面）

练习2.

（2019∙湖南模拟）已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（　）

A．3π

B．4π

C．5π

D．6π

【答案】B

【解析】

题干解析:

120°÷360°

π×6×2

=2π×（6

）

=2π×2

=4π

填空题

练习1.

（2018∙长沙）用35厘米长的铁丝围成一个等腰三角形，已知腰和底的长度比是3：

1，则腰长____厘米．

【答案】

腰长是15厘米；

【解析】

题干解析:

3+3+1=7，35

15（厘米）；

练习2.

（2018∙贵阳）同一个圆中，周长与半径的比是______，直径与半径的比值是___．

【答案】

2π：

1，2

【解析】

题干解析:

（1）C：

r=2πr：

r=2π：

1；

（2）d÷r=2；

练习3.

（2018∙长沙）图中空白部分的面积是9π-18，则阴影部分的面积为____．

【答案】

阴影部分的面积为18

【解析】

题干解析:

设扇形的半径为r，πr2÷4-r2÷2=9π-18πr2-2r2=（9π-18）×4r2×（π-2）=36×（π-2）r2=3636÷2=18

解答题

练习1.

（2018∙长沙）已知如图是两个边长为10cm和8cm的正方形，求MN的长是多少cm？

【答案】

详见解析

【解析】

题干解析:

S△ABC=（10+8）×8÷2，=18×8÷2，=144÷2，=72（平方厘米）；S△AMC=8×8÷2，=64÷2，=32（平方厘米）；S△MBC=72-32=40（平方厘米）；MN的长度为：

40×2÷（10+8），=80÷18，

（平方厘米）；答：

MN的长是

厘米。

当堂总结

出门测

填空题

练习1.

（2018秋∙桑植县期末）

圆的弧长所对的圆心角是____度，如果该弧长6.28厘米，该扇形的面积是_______平方厘米．（π按3.14计算）

【答案】

圆的弧长所对的圆心角是90度，该扇形的面积是12.56平方厘米

【解析】

题干解析:

360°

90°；6.28

=6.28×4=25.12（厘米）；3.14×（25.12÷3.14÷2）2

=3.14×42

=3.14×16

=12.56（平方厘米）；

练习2.

（2019∙江西模拟）一个三角形内角度数的比是2：

3：

5，其中最大的内角是____度，这是个___角三角形。

【答案】

90，直．

【解析】

题干解析:

2+3+5=10180

90（度）因为三角形的最大角是90度，即三角形的三个内角都是直角，根据有一个角是直角的三角形，是直角三角形；

解答题

练习1.

（2015∙北京校级模拟）62.8厘米的细铁丝在一根圆铁棒上刚好绕10圈，这根圆铁棒横截面的半径是多少厘米？

【答案】

这根圆铁棒横截面的半径是1厘米

【解析】

题干解析:

一圈的长度为：

62.8÷10=6.28（厘米），半径：

6.28÷2÷3.14=1（厘米）；