中考专题几何探究题图形变换.docx

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中考专题几何探究题图形变换

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河南省数学中考专题----几何图形变换

1、（09年河南中考题）21.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

（1）①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；

②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；

（2）当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

2、（10年河南中考题）19．（9分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=

，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．

C

（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？

试说明理由．

3、（11年河南中考题）22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.

（1）求证：

AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由.

4、（12年河南中考题）18.（9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN。

（1）求证：

四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：

①当AM的值为_____时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为_______时，四边形AMDN是菱形。

第18题

5、（13年河南中考题）18.（9分）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm.射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）.

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：

△ADE≌△CDF；

（2）填空：

①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；

②当t为_________s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.

6、（10年郑州市实验中学模拟试卷）23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AC向点C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t秒（0＜t＜5），△PQC的面积为Scm2．

（1）求S与t之间函数关系式．

（2）当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？

（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能否为直角三角形？

若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

7、（12年郑州市模拟试卷）20．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，

（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是相等

（2）AD与BC有什么位置关系？

说明理由．

（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？

如果有，最大值是多少？

如果没有，说明理由．

8、（11年郑州市模拟试卷）24．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，到达点B后，立刻以原速度返回，到达C后再返回，如此循环；点Q同时从点B出发，向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止运动，当点Q停止运动时点P也停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），

（1）当t=2时，BP=___________；3Q到BC的距离是____________。

（2）在点P第一次向B运动的过程中，求四边形ACPQ的面积与t的函数关系式（不写t的取值范围）；

（3）在点P、Q运动的过程中，四边形ACPQ能否成为直角梯形？

若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．

9、（13年郑州市模拟试卷）30．如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．

（1）求S△DBF；

（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；

（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？

如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．

10、（12年信阳市二中模拟试卷）19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是AD的中点，AD=4，BC=6，点P是BC边上的动点（不与点B重合），PE与BD相交于点O，设PB的长为x．

（1）当P点在BC边上运动时，求证：

△BOP∽△DOE．

（2）当x=_______2时，四边形ABPE是平行四边形；当x=_________3时，四边形ABPE是直角梯形；

（3）当P在BC上运动的过程中，四边形ABPE会不会是等腰梯形？

试说明理由．

11、（12年信阳市淮滨县模拟试卷）22．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．

（1）梯形ABCD的面积等于__________36

（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于____________秒；

（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？

12、（2010年南阳油田二模试卷）23．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

（1）证明：

Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．

13、（2011年南阳市宛城区模拟试卷）22．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O．

（1）当P点在BC边上运动时，求证：

△BOP∽△DOE；

（2）设

（1）中的相似比为k，若AD：

BC=2：

3．请探究：

当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？

①当k=1时，是___________平行四边形；②当k=2时，是____________；直角梯形③当k=3时，是_________。

等腰梯形

并证明k=2时的结论．

14、（2010年漯河市龙城一中模拟试卷）21．在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．

（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？

若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？

若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；

（2）就

（1）中的三个结论选择一个加以证明．

15、（2009年新乡市模拟试卷）22．在如图所示的网格中，每个小正方形边长为1．

（1）以MN所在的直线为对称轴，画出四边形ABCD的轴对称图形AB1C1D1；

（2）将△ABD以点B为旋转中心，顺时针旋转90°后，再向下平移8个单位长度，然后向左平移6个单位长度，得到△A2B2C2，请将

（1）、

（2）中得到的图形用铅笔涂黑，你得到一幅美丽的图案；

（3）计算CC1的长．

16、（2009年新乡市模拟试卷）26．已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，过点A分别作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=60°，易证：

BE+DF=AB；

当∠EAF绕着点A逆时针方向旋转到∠EAF的两边与菱形的两边BC、CD（或两边BC、CD的延长线）相交，但不垂直时（如图2、图3），上述结论是否还成立．如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出线段BE、DF、AB三者之间的数量关系，不用证明．

17、（2010年新乡市模拟试卷）21．已知△ABC和△FDE是顶角相等的两个等腰三角形，AB=AC，FD=FE，把点F放到与A点重合，E在线段BC的延长线上．

（1）如图1，若∠BAC=∠DFE=60°，此时∠DCE=___________；

60°

（2）如图2，若∠BAC=∠DFE=95°，此时∠DCE=_____________；

95°

（3）若∠BAC=∠DFE=n°，将△FDE沿线段AC向下滑动，如图3所示，试猜想此时∠DCE的度数，并写出详细求解过程

18、（2012年新乡市调研试卷）22．如图，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；当点P运动到什么位置时，四边形APQC的面积最小，并求出最小面积．

19、（2011年商丘市外国语中学模拟试卷）17．如图，网络中每个小正方形的边长为1，点C的坐标为（0，1）．

（1）画出直角坐标系（要求标出x轴，y轴和原点）并写出点A的坐标；

（2）以△ABC为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意．

20、（2011年驻马店市模拟试卷）20．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

（1）证明：

当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？

如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

21、（2013年郑州市荥阳四中模拟试卷）22．如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．

①求证：

AG⊥CH；

②当AD=4，DG=

时，求CH的长．

22．（2011安阳模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，∠ABC=60°，AB=1，E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点，且BE=DF．

（1）探究：

当BC的长为多少时，四边形AECF是菱形？

并说明理由．

（2）当四边形AECF是正方形时，求DF的长．

23．（2012安阳模拟）已知，如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC的中线AD上的任意一点（不与点A重合．将线段AP绕点A逆时针旋转到AQ，使∠PAQ=∠BAC，连接BP，CQ

（1）求证：

BP=CQ．

（2）设直线BP与直线CQ相交于点E，∠BAC=α，∠BEC=β，

①若点P在线段AD上移动（不与点A重合），则“α与β之间有怎样的数量关系？

并说明理由．

②若点P在直线AD上移动（不与点A重合）．则α与β之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的结论．

24．（2013洛阳模拟2）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF=AC．

（1）求证：

AF=CE；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？

请回答并证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？

为什么？

25．（2013洛阳模拟3）将一副三角尺如图拼接：

含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2

，P是AC上的一个动点．

（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；

（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；

（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？

求出此时▱DPBQ的面积．

26．（2013洛阳模拟1）如图，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动．它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；当点P运动到什么位置时，四边形APQC的面积最小，并求出最小面积．

27．（2012开封模拟1）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见下图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：

他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：

F、C两点间的距离

． （填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：

当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？

问题②：

当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？

请你分别完成上述二个问题的解答过程．

28．（2012开封模拟2）如图．△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．分别沿AB、BC方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．当点P到达点B时．P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当t为时，△PBQ为直角三角形

29．（2011平顶山模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

（1）证明：

当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？

如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

30．（2011平顶山模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．

（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；

（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；

（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果）

31．（2012平顶山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC于Q，以PQ为边向下作等边三角形PQR．设AP=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，连接RB．

（1）当x=2时，求y的值；

（2）当x取何值时，四边形AQRB是等腰梯形；当x取何值时，四边形PQRB是平行四边形．

32．（2013平顶山模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．

（1）在△ABC中，AB=；

（2）当x=时，矩形PMCN的周长是14；

（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？

请说出你的判断，并加以说明．

33．（2011鹤壁模拟）如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．

（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．

（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？

（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．

34．（2013鹤壁模拟）如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．

（1）点（填M或N）能到达终点；

（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

35．（2010许昌模拟1）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M（8，0），点N（0，6）．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N⇒O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q达点M时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．

（2）当t为何值时，PQ与l平行．

36．（2010许昌模拟2）

（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：

AF⊥BE．

（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？

并说明理由．

37．（2011鹤壁模拟）

（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：

四边形DBFE的面积S=，△EFC的面积S1=，△ADE的面积S2=．

探究发现

（2）在

（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．

拓展迁移

（3）如图，▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用

（2）中的结论求△ABC的面积．

38．（2012鹤壁模拟）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？

并证明；

（2）如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；

小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？

39．（2011焦作模拟）某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地，图是甲、乙两车间的距离y（千米）与乙车出发x（时）的函数的部分图象．

（1）A、B两地的距离是千米，甲车出发小时到达C地；

（2）求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，y与x的函数关系式及x的取值范围，并在图中补全函数图象；

（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米．

40．（2011焦作模拟）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．

（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；

（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；

（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）

41．（2013焦作模拟）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．

（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（-3，1），直接写出点A的坐标；

（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求点B旋转到B1所经过的路线的长度．

42．（2013焦作模拟）以原点为圆心，1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0）．

（1）如图1，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设经过的时间为t秒，当t=1时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ．求此时点Q的运动速度（结果保留）；

（2）若点Q按照

（1）中的方向和速度继续运动，

①当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；

②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长．

43．（2013焦作模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．

（1）当t=s时，点P与点Q重合；

（2）当t=s时，点D在QF上；

（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

44．（2013周口模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什