第三章 材料力学.docx

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第三章材料力学

第三章材料力学

授课题目（章、节）

材料力学

授课类型

理论课

授课学时

10学时

教学目的

及要求

1.理解材料力学的研究对象及任务、掌握杆件变形的四种基本形式

2.掌握拉伸压缩、扭转、弯曲的基本概念及工程实例

3.掌握轴向拉伸和压缩的内力、应力计算及轴力图的画法

4.了解剪切和挤压的概念及实用计算

5.掌握扭转的内力、应力计算及扭矩图的画法

6.掌握弯曲的内力、应力计算及弯矩图的画法

7.掌握拉伸压缩、扭转、弯曲杆件的强度校核

重点

难点

重点:

1.杆件变形的四种基本形式  

2.轴向拉伸和压缩的内力、截面法、轴力、轴力图及强度校核

3.自由扭转杆件的内力、应力及强度计算

4.弯曲的剪力方程与弯矩方程及平面弯曲梁的强度计算

难点:

1.变形固体及其理想化

2.拉（压）杆的变形·胡克定律

3.轴力、扭转、弯曲图的画法及相应的强度校核

4.剪切和挤压的实用计算 

教学方法及手段

理论讲授法、启发式教学法、powerpoint演示

教

学

过

程

设

计

教学步骤:

1.组织教学

2.复习提问、引出本讲教学内容

3.新课讲解

4.穿插提问

5.归纳总结

6.布置作业

理论教学内容：

1．绪论

1.1问题的提出

1.2材料力学的研究对象

1.3材料力学的任务

1.4变形固体及其理想化

1.5杆件变形的四种基本形式

2．轴向拉伸和压缩

2.1基本概念 

2.2内力、截面法、轴力及轴力图

2.3横截面上的应力

2.4拉（压）杆的变形·胡克定律

2.5强度条件·安全系数·许用应力

3.剪切与挤压

3.1剪切的概念和实例

3.2剪切的实用计算

3.3挤压的实用计算

4.扭转

4.1扭转概念和工程实例

4.2自由扭转杆件的内力计算

4.3圆轴扭转时的应力和强度计算

4.4提高圆轴扭转强度和刚度的措施

5．弯曲

5.1平面弯曲的概念及工程实例

5.2静定梁的分类

5.3剪力方程与弯矩方程

5.4梁的强度计算

5.5提高梁强度的措施

理论教学内容和过程：

1.绪论

1.1材料力学的任务

各种工程结构和机构都是由若干构件组成。

当构件工作时，都要承受载荷作用，为确保构件能正常工作，构件必须满足以下要求：

（1）有足够的强度

保证构件在载荷作用下不发生破坏。

例如起重机，在起吊额定重量时，它的各部件不能断裂；传动轴在工作时不应被扭断。

（2）有足够的刚度

保证构件在载荷作用下不产生影响其正常工作的变形。

例如车床主轴的变形过大，将会影响其加工零件的精度；又如齿轮传动轴的变形过大，将使轴上的齿轮啮合不良，引起振动和噪声。

（3）有足够的稳定性

保证构件不会失去原有的平衡形式而丧失工作能力。

例如细长直杆所受轴向压力不能太大，否则会突然变弯，或由此折断。

1.2材料力学的研究对象

材料力学中研究的物体均为变形固体。

在工程实际中，构件的形状多种多样，按照其几何特征，主要可分为杆件与板件两类。

一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件。

杆件是工程中最常见、最基本的构件。

根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆等。

一个方向的尺寸远小于其它两个方向的尺寸的构件，称为板件。

材料力学的主要研究对象是杆，以及由若干杆组成的简单杆系，同时也研究一些形状与受力均比较简单的板与壳。

至于一般较复杂的杆系与板壳问题，则属于结构力学与弹性力学等的研究范畴。

1.3材料力学的基本假设

（1）连续性假设

（2）均匀性假设（3）各向同性假设（4）小变形条件

1.4杆件变形的基本形式

杆件变形的基本形式有以下四种，即：

（1）轴向拉伸或压缩，如图（a）；

（2）剪切，如图（b）；（3）扭转，如图（c）；（4）弯曲，如图（d）。

其它复杂的变形可归结为上述基本变形的组合。

2．轴向拉伸和压缩

2.1轴向拉伸与压缩的概念与实例 

在工程实际中，许多构件承受拉力和压力的作用。

如图所示为一简易吊车，忽略自重，AB，BC两杆均为二力杆；BC杆在通过轴线的拉力作用下沿杆轴线发生拉伸变形；而杆

则在通过轴线的压力作用下沿杆轴线发生压缩变形。

这类杆件的受力特点是：

杆件承受外力的作用线与杆件轴线重合；变形特点是：

杆件沿轴线方向伸长或缩短。

这种变形形式称为轴向拉伸或压缩，简称拉伸或压缩。

2.2截面法、轴力与轴力图 

2.2.1.截面法

将杆件假想地切开以显示内力，并由平衡条件建立内力与外力的关系或由外力确定内力的方法，称为截面法。

其过程可归纳为三个步骤：

（1）在需求内力的截面处，假想地将杆件截成两部分。

（2）任取一段（一般取受力情况较简单的部分），在截面上用内力代替截掉部分对该段的作用。

（3）对所研究的部分建立平衡方程，求出截面上的未知内力。

2.2.2.轴力与轴力图

轴力：

由于外力F的作用线沿着杆的轴线，内力FN的作用线也必通过杆的轴线，故轴向拉伸或压缩时杆件的内力称为轴力。

轴力的正负由杆件的变形确定。

轴力的正负号规定如下：

轴力的方向与所在横截面的外法线方向一致时，轴力为正；反之为负。

由此可知，当杆件受拉时轴力为正，杆件受压时轴力为负。

在轴力方向未知时，轴力一般按正向假设。

若最后求得的轴力为正号，则表示实际轴力方向与假设方向一致，轴力为拉力；若最后求得的轴力为负号，则表示实际轴力方向与假设方向相反，轴力为压力。

轴力图：

实际问题中，杆件所受外力可能很复杂，这时直杆各横截面上的轴力将不相同，FN将是横截面位置坐标x的函数。

即

用平行于杆件轴线的x坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆轴线的FN坐标表示对应横截面上的轴力，这样画出的函数图形称为轴力图。

例子：

2.3轴向拉（压）杆横截面上的应力

把单位面积上内力的大小称为应力，并以此作为衡量受力程度的尺度。

由材料的连续性、均匀性假设可以断出内力在横截面上的分布是均匀的，即横截面上各点处的应力大小相等，其方向与横截面上轴力

一致，垂直于横截面，故为正应力。

如图，设杆件横截面的面积为

，轴力为

，则根据上述假设可知，横截面上各点处的正应力均为

σ=

2.4轴向拉压杆的变形胡克定律

轴向拉伸和压缩表明：

当杆横截面上的正应力不超过某一限度时，正应力σ与其相应的轴向线应变

成正比。

即

称为胡克定律。

常数

称为材料的弹性模量，其值随材料而异，可由试验测定。

的单位常用GPa。

若将式σ=

和

代入式（13-7），则得为胡克定律的另一种表达形式

表明，在当杆横截面上的正应力不超过某一限度时，杆的轴向变形

与轴力

及杆长

成正比，与乘积

成反比。

越大，杆件变形越困难；

越小，杆件变形越容易。

它反映了杆件抗拉伸（压缩）变形的能力，故乘积

称为杆截面的抗拉压刚度。

2.5拉（压）杆的强度条件

为了保证拉（压）杆在载荷作用下安全工作，必须使杆内的最大工作应力

不超过材料的许用应力

，即

上式称为拉（压）杆的强度条件。

对于等截杆件，上式则变为

式中，

和

分别为危险截面上的轴力及其横截面面积。

利用强度条件，可以解决下列三种强度计算问题：

（1）校核强度已知杆件的尺寸、所受载荷和材料的许用应力，根据强度条件校核杆件是否满足强度条件。

（2）设计截面尺寸已知杆件所承受的载荷及材料的许用应力，根据强度条件可以确定杆件所需横截面积

。

例如对于等截面拉（压）杆，其所需横截面面积为

（3）确定许可载荷已知杆件的横截面尺寸及材料的许用应力，根据强度条件可以确定杆件所能承受的最大轴力。

确定杆件最大许用轴力，其值为

3．剪切与挤压

3.1剪切与挤压的概念

剪切：

①受力特点：

作用于构件两侧面上横向外力的合力，大小相等、方向相反、相距很近、垂直于轴线

②变形特点：

在平行外力之间的横截面，发生相对错动变形。

剪切面：

发生相对错动的截面,用A表示

剪力：

剪切面上与截面相切的内力，用FQ表示

挤压：

①挤压:

机械中受剪切作用的联接件，在传力的接触面上，由于局部承受较大的压力，而出现塑性变形，这种现象称为挤压。

如图所示

②挤压面:

构件上产生挤压变形的表面称为挤压面。

如图所示

③挤压应力:

挤压作用引起的应力称为挤压应力，用符号σbs表示。

挤压应力在挤压面上的分布也很复杂，工程中近似认为挤压应力在挤压面上均匀分布。

则

　　　　　　　σbs＝Ｐ／Ａbs

3.2剪切与挤压的计算

剪切：

切应力：

单位面积上平行截面的内力，用τ表示,单位Pa或MPa

剪切强度条件：

运用强度条件可以进行强度校核、设计截面面积和确定许可载荷等三类强度问题的计算。

挤压：

由挤压引起的应力，称为挤压应力。

挤压强度条件：

4．扭转

4.1扭转的概念

1.杆件的扭转受力特点是：

外力是一对力偶，力偶作用均垂直于杆的轴线，但其转向相反，大小相等。

2.杆的变形特点是：

各横截面绕轴线发生相对转动，这种变形称为扭转变形。

3.在外力偶矩m方向的确定:

凡输入功率的主动外力偶矩，m的方向与轴的转向一致；凡输入功率的阻力偶矩，m的方向与轴向相反。

M=9550P/n（N·m）

4.2扭转、扭矩图

1.扭矩:

圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形，其横截面上将产生内力。

轴上已知的外力偶矩为m，因为力偶只能用力偶来平衡，显然截面上的分布内力必构成力偶，内力偶矩以符号MT表示，即为扭矩。

2.扭矩符号规定：

按右手螺旋法则，将扭矩表示为矢量，四指弯向表示扭矩的转向，则大拇指指向为扭矩矢量的方向，如下图所示，若矢量的指向离开截面时，扭矩为正；反之为负。

3.扭矩图:

当轴上承受多个外力偶矩作用时，各横截面上的扭矩是不同的。

为了确定最大扭矩的所在位置，以便分析危险截面，常需画出扭矩随截面位置变化的图形，这种图形称为扭矩图。

扭矩图横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示各横截面上扭矩的大小。

4.3圆轴扭转时的应力和强度计算

圆轴扭转的强度条件为：

其中：

Wt为抗扭截面系数。

实心圆轴（设直径为D）Wt=ΠD3/16

空心圆轴（设轴的外径为D，内径为d）Wt=ΠD3（1-α3）/16

例子：

图所示为一传动轴，轮A为主动轴，输入功率PA= 60kW，轮B，C，D均为从动轮，输出功率为PB = 20kW，PC = 15kW，PD = 25kW。

转速n=200r/min

5．弯曲

5.1弯曲的基本概念

①梁:

以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。

②弯曲变形的特点:

杆件所受的力是垂直于梁轴线的横向力，在其作用下梁的轴线由直线变成曲线。

③平面弯曲:

若梁上的外力都作用在纵向对称面上，而且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。

如下图所示

④梁的类型

根据约束特点对支座简化，分为下列三种基本形式：

（1）简支梁可以简化成一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁，这种梁图称为简支梁，如图a。

（2）悬臂梁可简化成一端为固定端，一端为自由端的约束情况。

用固定端可阻止梁移动和转动，故有一约束力和一约束力偶，这种梁称为悬臂梁，如图c。

（3）外伸梁它的支座可简化成与简支梁一样的形式，但梁的一端（或两端）向支座外伸出，并在外伸端有载荷作用。

这种梁称为外伸梁，如图b。

⑤梁上外力形成

梁上外力包括载荷和支座两部分，梁上的载荷常见形式有:

（1）集中力F，单位是N或kN。

（2）集中力偶M，单位是N·m或kN·m。

（3）均匀分布载荷g，单位是N/m或kN/m。

5.2剪力和弯矩剪力图和弯矩图

5.2.1剪力和弯矩

为对梁进行强度和刚度计算，当作用于梁上的外力确定后，可用截面法来分析梁任意截面上的内力。

梁的剪力和弯矩

（a）悬臂梁受力示意图（b）取左段为研究对象（c）取右段为研究对象

如图（

）所示悬臂梁，已知梁长为

，主动力为

，则该梁的约束力可由静力平衡方程求得,

。

现欲求任意截面

上的内力。

可在

处将梁截开，取左段为研究对象（图（

）），将该段上所有外力向截面

的形心

简化，列平衡方程

，得

即

（

）

式中，

称为横截面

上的剪力。

它是与横截面相切的分布内力的合力。

再由

可得

即

（

）

式中，

称为横截面

上的弯矩。

它是与横截面垂直的分布内力的合力偶矩。

取右段为研究对象（图（

）），同理可求得截面

上的

和

，与前者是等值、反向的。

为使取左段和取右段得到的同一截面上的内力符号一致，特规定如下：

凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。

凡使梁段产生凸向下弯曲变形的弯矩为正，反之为负。

剪力符号表示弯矩符号表示

5.2.2剪力图和弯矩图

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化。

如取梁的轴线为

轴，以坐标

表示截面位置，则剪力和弯矩可表示为

的函数，即

上述关系表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

为了清楚的表示剪力和弯矩沿梁的轴线的变化情况，把剪力方程和弯矩方程用图线表示，称为剪力图和弯矩图。

作图时按选定的比例，以横截面沿轴线的位置

为横坐标，以表示各截面的剪力和弯矩为纵坐标，按方程作图。

例子：

图（a）所示为受集中力及均布载荷作用的梁。

试求Ⅰ−Ⅰ、Ⅱ−Ⅱ截面上的剪力和弯矩。

5.3梁的强度计算

弯曲正应力

①纯弯曲:

只有弯曲作用而没有剪力作用的梁，称为纯弯曲梁。

②正应力的分布规律:

横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。

如图所示，在中性轴处正应力为零，离中性轴最远的截面上，下边正应力最大。

正应力沿截面高度按直线规律分布。

③最大正应力的计算公式:

σmax=Mmax·ymax/Iz

Iz为横截面对中性轴的惯性矩W为抗弯截面系数

对等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上，这时弯曲正应力强度条件为