高三数学不等式的证明教案15.docx
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高三数学不等式的证明教案15
高三数学不等式的证明教案15
63不等式的证明I
一、明确复习目标
1．理解不等式的性质和证明;
2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
二．建构知识网络
1比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。
比较法的两种形式：
（1）比差法：
步骤是：
①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；
（2）比商法：
要证a>b且b>0，只须证1。
说明：
①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；
②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。
运用比商法时必须确定两式的符号；
2综合法：
利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。
3分析法：
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条，把证明这个不等式的问题转化为这些条是否具备的问题，如果能够肯定这些条都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
要注意书写的格式,综合法是分析法的逆过程
4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。
要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条,等号、不等号成立的条等。
三、双基题目练练手
1设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，=中最大的一个是（）
AaBbD不能确定
2（200春上海）若a、b、是常数，则“a＞0且b2－4a＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+＞0”的（）
A充分不必要条B必要不充分条
充要条D既不充分也不必要条
3设（0，+∞），则三个数，，的值 （ ）
A都大于2B都小于2
至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2
4对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是．
．若a、b∈R，有下列不等式：
①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+≥2其中一定成立的是__________
6船在流水中在甲地和乙地间回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,则v1与v2的大小关系为____________
◆简答:
1-3AD;4;①②;
6设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1==
∵v1－v2=－v2=－＜0，
∴v1＜v2答案：
v1＜v2
四、经典例题做一做
【例1】
（1）已知a,b∈R,求证:
a2+b2+1>ab+a
（2）设求证
证明：
（1）p=a2+b2+1-ab-a
=
=
显然p>0∴得证
（2）证法一:
左边-右边=
=
==∴原不等式成立。
证法二:
左边>0，右边>0。
∴原不等式成立。
◆提炼方法:
比较法作差（或商）、变形、判断三个步骤。
变形的主要手段是通分、因式分解或配方。
在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。
【例2】已知a+b+=0，求证：
ab+b+a≤0
证明法一：
（综合法）∵a+b+=0，
∴（a+b+）2＝0
展开得ab+b+a=－，
∴ab+b+a≤0
法二：
（分析法）要证ab+b+a≤0，
∵a+b+=0，
故只需证ab+b+a≤（a+b+）2，
即证a2+b2+2+ab+b+a≥0，
亦即证［（a+b）2＋（b＋）2＋（＋a）2］≥0．
而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，
∴原不等式成立
证法三：
∵a+b+=0，∴－=a+b
∴ab+b+a=ab+（b+a）=ab－（a+b）2
＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．
∴ab+b+a≤0
【例3】已知的三边长为且为正数求证:
证明一:
分析法:
要证
只需证
①
∵在ΔAB中,
∴①式成立,从而原不等式成立
证明二:
比较法:
证明二:
因为为的三边长,所以【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜
（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜
证明：
（1）令F（x）=f（x）－x，
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）
当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，
∴（x－x1）（x－x2）＞0
又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，
即x＜f（x）
又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，
∵0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0，
1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，
∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1
综上，可知x＜f（x）＜x1
（2）法1:
f（x）=a（x-x1）（x-x2）+x=ax2-a（x1+x2-）x+ax1x2
对称轴为x=x0=－=,（）
法2:
由题意知x0=－
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+=0的根，
∴x1+x2=－
∴x0=－==
又∵ax2＜1，∴x0＜=
题目点评:
函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经验
【研讨欣赏】已知a＞1，＞0，求证：
lga（a+）＞lga+（a+2）
证法1：
取对数得：
lg（a+）－lga>lg（a+2）－lg（a+）＞0①
又lga<lg（a+）即②
①×②得:
即lga（a+）＞lga+（a+2）
（常见形式lgn（n+1）>lg（n+1）（n+2））
法2：
lga（a+）－lg（a+）（a+2）
=－
=
∵a＞1，＞0，
∴lga＞0，lg（a+2）＞0，且lga≠lg（a+2）
∴lga•lg（a+2）＜［（）］2
=［］2＜［］2=lg2（a+）
∴＞0
∴lga（a+）＞lg（a+λ）（a+2）
✿提炼方法:
1综合法,为什么想到用“”——感觉式子的结构特征;
2比较法把对数的积用均值不等式化为对数的和是一步关键的决择
五．提炼总结以为师
1比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握
步骤是：
作差→变形（分解因式或配方）→判断符号
对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号
2对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条,再证这个条（不等式）成立
3综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出有时也需要几种方法综合运用
4要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。
同步练习63不等式的证明I
【选择题】
1设x＞0，＞0，且x－（x+）=1，则（）
Ax+≤2+2Bx+≥2+2
x+≤（+1）2Dx+≥（+1）2
2若0<a<b且a+b=1，则四个数，b，2ab，a2+b2中最大的是（）
AB、b、2abD、a2+b2
3已知x>0，f（x）=，则
A、f（x）≤2B、f（x）≥10、f（x）≥6D、f（x）≤3
4已知，（a>2），则A
A、p>qB、p<q、p≥qD、p≤q
【填空题】
要使不等式≤对所有正数x，都成立，则的最小值是_____
6给出下列不等式,其中正确不等式的序号是_______
；
，
◆练习简答：
1-4BBA；;6
（2）（3）
【解答题】
7
（1）已知a、b、x、∈R+且＞，x＞求证：
＞
（2）若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．
证明
（1）法一（作差比较法）
∵－=，
又＞且a、b∈R+，
∴b＞a＞0又x＞＞0，∴bx＞a
∴＞0，即＞
证法二：
（分析法）
∵x、、a、b∈R+，∴要证＞，
只需证明x（+b）＞（x+a），即证xb＞a
而由＞＞0，∴b＞a＞0又x＞＞0，
知xb＞a显然成立故原不等式成立
（2）（作差比较法）
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
（a＋b）3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab（a+b）-2]=3[ab（a+b）-（a3+b3）]=-3（a+b）（a-b）2≤0，
即 （a+b）3≤23．
又a+b>0,∴a+b≤2又∵∴ab≤1
8．己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明:
成等比数列，
都是正数，
9设x>0,>0且x≠,求证
证明：
由x>0,>0且x≠,要证明
只需即
只需
由条,显然成立∴原不等式成立
10求证：
在非Rt△AB中，若a＞b，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+ha＞b+hb
证明：
设S表示△AB的面积，则
S=aha=bhb=absin
∴ha=bsin，hb=asin
∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsin－b－asin
=（a－b）（1－sin）
∵≠，∴1－sin＞0
∴（a－b）（1－sin）＞0
∴a+ha＞b+hb
【探索题】已知x,,z∈（0,1）且x++z=2,记u=x+z+zx,求证：
证明：
3u=x+z+zx+2x+2z+2zx==4,故。
又
三式相加得
两边加上得∴u>1,原不等式得证。
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