初中数学竞赛因式分解的应用与探究含答案.docx
《初中数学竞赛因式分解的应用与探究含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛因式分解的应用与探究含答案.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初中数学竞赛因式分解的应用与探究含答案
因式分解的应用与探究
【温馨提示】
《分解因式》一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。
具体要求有：
1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。
2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。
3、通过乘法公式：
（a＋b）（a－b）＝a2－b2，（a±b）2＝a2±2ab＋b2的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。
在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意。
★范例精讲
例1【构造求值型】【山西04】已知x＋y＝1，那么
的值为；
分析：
通过已知条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x＋y的整体形式，即
＝
（x2＋2xy＋y2）＝
（x＋y）2＝
.在此过程中，我们先提取公因式
，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x＋y的整体形式，最后将x＋y＝1代入求出最终结果.
例2【构造求值型】已知x2＋2x＋y2＋6y＋10＝0，求xy的值．
答：
xy＝3
例3【构造求值型】已知：
a＝10000，b＝9999，求a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9的值。
解：
a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9＝（a－b）2－2×（a－b）×3＋32＝（a－b－3）2＝4
例4【构造求值型】【广西桂林04】计算：
；
分析：
为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝……＝22＋2＝4＋2＝6
此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来。
此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题。
设M＝
，则
－M＝
，即
，解得M＝6.
例5【探索规律型】观察下列各式：
12＋（1×2）2＋22＝9＝32，22＋（2×3）2＋32＝49＝72，32＋（3×4）2＋42＝169＝132，……你发现了什么规律？
请用含有n（n为正整数）的等式表示出来，并说明其中的道理。
例6【探索规律型】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＝（1＋x）［1＋x＋x（1＋x）］
＝（1＋x）2（1＋x）
＝（1＋x）3
⑴上述分解因式的方法是，共应用了次；
⑵若分解1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x）2004，则需应用上述方法次，结果是；
⑶分解因式：
1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x）n（n为正整数）.
例7【开放创新型】【四川03】多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个你认为正确的即可）；
分析：
根据完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2的特点，若9x2＋1表示了a2＋b2的话，则有a＝3x，b＝1，所以，缺少的一项为±2ab＝±2·3x·1＝±6x，此时，9x2＋1±6x＝（3x±1）2；如果认为9x2＋1表示了2ab＋b2的话，则有a＝4.5x2，b＝1，所以，缺少的一项为a2＝（4.5x）2＝20.25x4，此时，20.25x4＋9x2＋1＝（4.5x2＋1）2.
从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到9x2＝（3x）2，1＝12，所以，保留二项式9x2＋1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是－1或者－9x2，此时有9x2＋1－1＝9x2＝（3x）2，或者9x2＋1－9x2＝12.
综上分析，可知所加上的单项式可以是±6x、20.25x4、－1或者－9x2.
例8【开放创新型】【福建南平03】请你写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.
分析：
利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如：
2m（m＋n）2＝2m（m2＋2mn＋n2）＝2m3＋4m2n＋2mn2；
3a（2x－5y）2＝3a（4x2－20xy＋25y2）＝12ax2－60axy＋75ay2，等等.
于是编写的三项式可以是2m3＋4m2n＋2mn2，分解因式的结果是2m（m＋n）2；
或者编写的三项式可以是12ax2－60axy＋75ay2，分解因式的结果是3a（2x－5y）2，等等.
例9【数形结合型】【陕西02，桥西02～03】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
例10【数形结合型】
【福建福州05】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）；
例11【数形结合型】
【济南02】请你观察右下方图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（x＋y）（x－y）＝x2－y2或x2－y2＝（x＋y）（x－y）或（x－y）2＝x2－2xy＋y2；
例12【数形结合型】【山西03】有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，则
表中所列四种方案能拼成边长为（a＋b）的正方形的是（A）
⑴
⑵
⑶
（A）
1
1
2
（B）
1
1
1
（C）
1
2
1
（D）
2
1
1
分析：
此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是（a＋b）2.
因为a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，对照如图所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为a2、b2和ab，它们分别需要1张、1张、2张，由此可选出正确答案为（A）.
例13【数形结合型】【山西太原03】如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式（a＋b）2－4ab＝（a－b）2；
分析：
外框围成的大正方形面积为（a＋b）2，4个矩形的面积之和为4ab，中间的空白部分的面积为（a－b）2.于是，可以列出等式（a＋b）2－4ab＝（a－b）2.对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明：
（a＋b）2－4ab＝a2＋2ab＋b2－4ab＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2.
例14【数形结合型】
给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，下载相应的种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积等于a2＋5ab＋4b2，并根据你拼成的图形分解多项式a2＋5ab＋4b2．
解：
由a2＋5ab＋4b2知，可用1张大正方形，5张长方形，4张小正方形，
拼成的矩形如下图所示，根据图形的面积可得
a2＋5ab＋4b2＝（a＋b）（a＋4b）
优化训练
一、选择题：
1．计算
结果为（）
（A）2100（B）－2（C）0（D）－2100
2．已知
是一个关于x的完全平方式，则m的值为（）
（A）4（B）±4（C）
（D）16
3．已知
是一个关于x的完全平方式，则m的值为（）
（A）4（B）－4（C）16（D）±4
4．设m＝2002＋2001×2002＋2001×20022＋…＋2001×20022000，n＝20022001，则正确的关系是（）
（A）m＝n×2001（B）m＝n（C）m＝n÷2002（D）m＝n＋2002
二、填空题：
5．已知x、y为正整数，且x2＝y2＋37，则x＝；
6．方程x2－y2＝29的整数解为；
7．
有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图1）；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图2），则这种小球最少有个；
三、解答题：
图1图2
8．计算：
；
9．求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．
10．观察：
1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，…
⑴请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
⑵根据⑴，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果（用一个最简式子表示）．
11．一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数．若a＝20022＋20022×20032＋20032，求证：
a是一个完全平方数，并写出a的平方根．
12．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：
“我们俩的年龄的平方差是195……”不等老人说完，青年人就说：
“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。
”这时一对中年夫妇也凑过来说：
“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195。
”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？
其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有余兴，不妨把第4对人的年龄也找出来。
答案:
一、选择题：
1．【桥西01～02】计算
结果为（D）
（A）2100（B）－2（C）0（D）－2100
2．已知
是一个关于x的完全平方式，则m的值为（C）
（A）4（B）±4（C）
（D）16
3．已知
是一个关于x的完全平方式，则m的值为（D）
（A）4（B）－4（C）16（D）±4
4．【重庆02竞赛】设m＝2002＋2001×2002＋2001×20022＋…＋2001×20022000，n＝20022001，则正确的关系是（B）
（A）m＝n×2001（B）m＝n（C）m＝n÷2002（D）m＝n＋2002
二、填空题：
5．【桥西02～03】已知x、y为正整数，且x2＝y2＋37，则x＝19；
6．方程x2－y2＝29的整数解为
，
；
7．有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图1）；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图2），则这种小球最少有36个；
图1图2
三、解答题：
8．计算：
；
解：
原式＝
＝
＝
9．求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．
解：
原式＝（x－2y）2＋（y－1）2＋2003，
∴当x＝2，y＝1时，原式取得最小值2003．
10．【黄冈02竞赛，桥东03～04】观察：
1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，…
⑴请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
⑵根据⑴，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果（用一个最简式子表示）．
解：
⑴结论：
n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1＝（n2＋3n＋1）2，
证明：
n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1
＝（n2＋3n）（n2＋3n＋2）＋1
＝（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n＋1）2；
⑵2000×2001×2002×2003＋1＝（20002＋3×2000＋1）2＝40060012；
11．一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数．若a＝20022＋20022×20032＋20032，求证：
a是一个完全平方数，并写出a的平方根．
解：
先从较小的数字探索：
a1＝12＋12×22＋22＝32＝（1×2＋1）2，
a2＝22＋22×32＋32＝72＝（2×3＋1）2，
a3＝32＋32×42＋42＝132＝（3×4＋1）2，
a4＝42＋42×52＋52＝212＝（4×5＋1）2，…
于是猜想：
a＝20022＋20022×20032＋20032＝（2002×2003＋1）2＝（4010007）2，
证明采用配方法（略）．
推广到一般，若n是正整数，则
a＝n2＋n2（n＋1）2＋（n＋1）2是一个完全平方数［n（n＋1）＋1］2．
解题策略：
猜想是数学中重要的思想和方法之一。
较大的数字问题可仿较小数字问题来处理，实现了以简驭繁的策略。
在解题时，如果你不能解决所提出的问题，可先解决“一个与此有关的问题”。
你能不能想出一个更容易着手的问题？
一个更普遍的问题？
一个更特殊的问题？
你能否解决这个问题的一部分？
这就是数学家解题时的“绝招”。
12．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：
“我们俩的年龄的平方差是195……”不等老人说完，青年人就说：
“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。
”这时一对中年夫妇也凑过来说：
“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195。
”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？
其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有余兴，不妨把第4对人的年龄也找出来。
解：
由x2－y2＝195＝3×5×13，可得
，
，
，
，
解得，
，
，
，
升级会员 