FIR滤波器的基本结构可以理解为一个分节的延时线，把每一节的输出加权累加，可得到滤波器的输出，FIR滤波器的冲激响应h（n）是有限长的，数学上M阶FIR滤波器可以表示为：
y（n）=
（式2）
其系统函数为：
H（z）=
（式3）普通的直接型FIR滤波器结构如图1所示。
图1FIR滤波器的直接型结构
FIR滤波器最突出的优点有2个：
一是只要对h（n）附加一定的条件，很容易获得严格的线性相位特性；
二是由于H（z）的极点位于原点z=0处，始终满足稳定条件，所以FIR滤波器永远稳定。
三是FIR滤波器由于单位脉冲响应是有限长的，因而可以用快速傅里叶变换（FFT）算法来实现过滤信号，从而可大大提高运算效率。
但是，要取得很好的衰减特性，FIR滤波器H（z）的阶次比IIR滤波的要高。
1.2FIR数字滤波器设计方法
IIR滤波器设计中的各种变换法对FIR滤波器设计是不适用的，这是因为那里是利用有理分式的系统函数，而FIR滤波器的系统函数只是z-1的多项式。
FIR的设计任务是选择有限长度的脉冲响应h（n），得到系统函数H（z），使幅频特性满足技术指标要求，同时使相频特性达到线性相位。
常用设计方法：
（1）窗函数法
（2）频率采样法
（3）切比雪夫等波纹逼近法。
人们最感兴趣的是FIR滤波器具有线性相位的相频特性。
对非线性相位的FIR滤波器，一般可以用IIR滤波器来代替，因为同样幅度特性，IIR滤波器所需阶数比FIR滤波器的阶数要少得多。
1.3线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
1.3.1线性相位条件
对于长度为N的h（n），传输函数为
（式4）
H（ejω）=Hg（ω）ejθ（ω）（式5）
式中，Hg（ω）称为幅度特性，θ（ω）称为相位特性。
注意，这里Hg（ω）不同于|H（ejω）|，Hg（ω）为ω的实函数，可能取负值，而|H（ejω）|总是正值。
H（ejω）线性相位是指θ（ω）是ω的线性函数，即
θ（ω）=-τω，τ为常数（式6）
如果θ（ω）满足θ（ω）=θ0-τω，θ0是起始相位
严格地说，此时θ（ω）不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即
（式7）
也称这种情况为线性相位。
1.3.2线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性
线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性如下图：
图2线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性一览表
在设计时，要注意选择合适的h（n）对称形式（奇或偶）和h（n）长度N（奇数或偶数）。
如要设计高通滤波器，只能选情况1和情况4；要设计低通滤波器，只能选情况1和情况2。
2利用频率采样法设计FIR滤波器
2.1用频率采样法设计滤波器的基本原理
待设计的滤波器的传输函数用Hd（ejω）表示，可按下列思路进行设计：
1它在ω=0到2π之间等间隔采样N点，得到Hd（k）
（式8）
2N点Hd（k）进行IDFT，得到h（n）
（式9）
式中，h（n）作为所设计的滤波器的单位取样响应。
3h（n）求系统函数H（z）
（式10）
将插值公式重写如下
（式11）
此式就是直接利用频率采样值Hd（k）形成滤波器的系统函数。
用频率采样法设计线性相位滤波器的条件：
FIR滤波器具有线性相位的条件是h（n）是实序列，且满足h（n）=h（N–1–n），其传输函数应满足的条件是
（式12）
（式13）
（式14）
（式15）
且Hg（π）=0。
在ω=0~2π之间等间隔采样N点，将ω=ωk代入式（4~7）中，并写成k的函数：
（式16）
（式17）
，N为奇数（式18）
，N为偶数且（式19）
（式20）
说明N等于奇数时Hg（k）对（N–1）/2偶对称，N等于偶数时,Hg（k）对N/2奇对称，且Hg（N/2）=0。
对于高通滤波器，这里N只能取奇数。
截止频率为ωc，采样点数N，Hg（k）和θ（k）用下面公式计算
（式21）
以上是用频率采样法设计滤波器的基本原理。
2.2线性相位的约束条件
以h（n）为偶对称，N为奇数的情况进行分析。
1）FIR的频响具有线性相位的一般表达式
当h（n）为偶对称，N为奇数时，则
（式22）
而且幅度函数H（w）应为偶对称，即
（式23）
2）采样值H（k）具有线性相位的约束
（式24）
其中，
表示采样值的模（纯标量），
表示其相角。
因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：
（式25）
而且，
必须满足偶对称，即：
（式26）
实际滤波器的传输函数
，与理想的传输函数Hd（ejω）间存在误差，如图2
图3频率采样的响应
需要讨论逼近误差问题及其改进措施。
2.3逼近误差及其改进措施
2.3.1产生误差的原因
从图3可看出，实际的H（ejω）与理想的Hd（ejω）相比，误差主要体现在一是通带和阻带出现波动，二是过渡带加宽，与窗函数设计法情况类似，产生误差的原因可从时域和频域两方面进行分析。
从时域分析：
如果Hd（ejω）有间断点，那么相应单位取样响应hd（n）应是无限长的。
这样，由于时域混叠，引起所设计的h（n）和hd（n）有偏差。
为此，希望在频域的采样点数N加大。
N愈大，设计出的滤波器愈逼近待设计的滤波器Hd（ejω）。
从频域分析：
在采样点ω=2πk，k=0,1,2,…,N-1,Ф（ω-2πk/N）=1，因此，采样点处H（ejωk）（ωk=2πk/N）与H（k）相等，逼近误差为0。
在采样点之间，H（ejω）由有限项的H（k）Ф（ω-2πk/N）之和形成。
其误差和Hd（ejω）特性的平滑程度有关，特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断点处，误差最大。
表现形式为间断点用倾斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻衰减减小，往往不能满足技术要求。
2.3.2减小误差的方法
最直观的想法是增加采样点数，即加大N值，由于过渡带就等于采样间隔（参看图3），即
（式27）
所以加大N，可使过渡带变窄，但增加要适当，否则会增加滤波器体积与成本。
但是，增加N并不会改善滤波器的阻带衰减特性，因为Hd（ejω）是理想矩形,无论怎样增多频率采样的点数，在通、阻带交界处，幅值总是从1突变到0，会引起较大的起伏振荡。
为使逼近误差更小，和窗口法的平滑截断一样，通过在理想频率响应的不连续点的边缘上加一些过渡的抽样点，减小频带边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。
一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意结果。
如在低通设计中，不加过渡点时，阻带最小衰减为-20dB，加三个过渡点（最优设计）则可达-80dB到-95dB左右。
加过渡点的示意如图4所示。
图4理想低通滤波器增加过渡点
增加过渡点，可使阻带衰减明显提高，但付出的代价是过渡带加宽，可通过下式加大N来调整。
m=0，1，2，3…（式28）
2.4频率采样法的特点
频率采样法设计滤波器最大的优点是直接从频率域进行设计，比较直观，也适合于设计具有任意幅度特性的滤波器。
但边界频率不易控制。
如果增加采样点数N，对确定边界频率有好处，但会增加滤波器的成本。
因此，它适合于窄带滤波器的设计。
3频率取样法的数字高通滤波器的实现
3.1MATLAB的介绍
MATLAB是矩阵实验室（MatrixLaboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
3.2设计条件
ws=0.6pi,wp=0.8pi,通带波动1dB,阻带衰减50dB，M=33。
3.3设计程序
%频率采样技术:
高通
%ws=0.6pi,wp=0.8pi,Rp=1dB,As=50dB
%M=33,T1=0.1095;T2=0.598;
M=33;alpha=（M-1）/2;l=0:
M-1;wl=（2*pi/M）*l;
T1=0.1095;T2=0.598;
Hrs=[zeros（1,11）,T1,T2,ones（1,8）,T2,T1,zeros（1,10）];
Hdr=[0,0,1,1];wdl=[0,0.6,0.8,1];
k1=0:
floor（（M-1）/2）;k2=floor（（M-1）/2）+1:
M-1;
angH=[-alpha*（2*pi）/M*k1,alpha*（2*pi）/M*（M-k2）];
H=Hrs.*exp（j*angH）;
h=real（ifft（H,M））;
[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m（h,1）;
[Hr,ww,a,L]=Hr_Type1（h）;
subplot（1,1,1）
subplot（2,2,1）;plot（wl（1:
17）/pi,Hrs（1:
17）,'o',wdl,Hdr）;
axis（[0,1,-0.1,1.1]）;title（'高通:
M=33,T1=0.1095,T2=0.598'）
xlabel（''）;ylabel（'Hr（k）'）
set（gca,'XTickMode','manual','XTick',[0;.6;.8;1]）
set（gca,'XTickLabelMode','manual','XTickLabels',['0';'.6';'.8';'1']）
set（gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,0.109,0.59,1]）;grid
subplot（2,2,2）;stem（l,h）;axis（[-1,M,-0.4,0.4]）
title（'脉冲响应'）;ylabel（'h（n）'）;text（M+1,-0.4,'n'）
subplot（2,2,3）;plot（ww/pi,Hr,wl（1:
17）/pi,Hrs（1:
17）,'o'）;
axis（[0,1,-0.1,1.1]）;title（'振幅响应'）
xlabel（'频率（单位：
pi）'）;ylabel（'Hr（w）'）
set（gca,'XTickMode','manual','XTick',[0;.6;.8;1]）
set（gca,'XTickLabelMode','manual','XTickLabels',['0';'.6';'.8';'1']）
set（gca,'YTickMode','manual','YTick',[0,0.109,0.59,1]）;grid
subplot（2,2,4）;plot（w/pi,db）;axis（[0,1,-100,10]）;grid
title（'幅度响应'）;xlabel（'频率（单位：
pi）'）;
ylabel（'分贝数'）;
set（gca,'XTickMode','manual','XTick',[0;.6;.8;1]）
set（gca,'XTickLabelMode','manual','XTickLabels',['0';'.6';'.8';'1']）
set（gca,'YTickMode','Manual','YTick',[-50;0]）;
set（gca,'YTickLabelMode','manual','YTickLabels',['50';'0']）
%
3.4调试结果
图5频率采样技术：
高通，最优法
结果分析：
第一幅图为要高通滤波器原型，可以看到它在过渡带添加了两个采样点，以增加阻带衰减；第二幅图为系统函数单位脉冲响应图形，可以看出，它以中点成偶对称，由于采样点数为奇数，故在对称轴处有取值；第三幅图（左下）为根据频率取样法设计出的滤波器振幅响应，可以看出它在采样点处的取值与原高通滤波器精确一致，在其他点处与原高通滤波器取值逼近有上下波动；第四幅图为用分贝数表示的幅度响应，可以看到采用线性最优法设计的高通滤波器的阻带衰减大于50db。
设计取得了良好的效果。
4心得体会
Matlab的课程设计做到现在已经基本接近尾声了，既然学习一门课程，简单的总结是必须要有的。
以前在《信号与系统》和《数字信号处理》的实验中已经接触过matlab，所以上手并不是很难，不过在设计的时候还是遇到了不少问题，首先是对频率取样法掌握的不到位，重新学习了频率取样法后，发现如何利用程序实现频率取样法成了一个问题。
通过自己在网上查找资料，看从图书馆借来的书以及对照着老师的PPT，不断的调试，终于做出了成果。
课程设计虽然做完了，但现在学的这点知识还远远不够，特别是这个软件的函数非常多，要能够熟练运用我们还有很多要学习。
不过我觉得Matlab的函数设计都比较合理，她总是从函数本身的意义出发命名，这使我们记不会很难。
总之这次课程设计完成的还算顺利，虽然也遇到过一些问题，但通过和同学讨论一起学习都能解决。
当然，我们也都明白matlab的确是一个很实用的工具，在今后的学习中我们会不断的边学边运用它，而且我们还可以将它用在我们专业的学习中。
5参考文献
[1]刘泉，数字信号处理原理与实现，电子工业出版社，2009
[2]郭仕剑，MATLAB7.x数字信号处理，人民邮电出版社，2007
[3]陈怀琛，MATLAB及在电子信息课程中的应用，电子工业出版社，2006
[4]高会生，MATLAB实用教程（第2版），电子工业出版社，2010
[5]陈怀琛，数字信号处理教程——MATLAB释义与实现，电子工业出版社，2004
附录
辅助函数1
function[Hr,w,a,L]=Hr_Type1（h）;
%计算第一种低通滤波器设计的振幅响应Hr（w）
%-----------------------------------------------------------
%[Hr,w,a,L]=Hr_Type1（h）
%Hr=振幅响应
%w=在[0pi]区间内计算Hr的500个频率点
%a=第一种低通滤波器的系数
%L=Hr的阶次
%h=第一种低通滤波器的频率响应
%
M=length（h）;
L=（M-1）/2;
a=[h（L+1）2*h（L:
-1:
1）];%1乘（L+1）行向量rowvector
n=[0:
1:
L];%（L+1）乘1列向量
w=[0:
1:
500]'*pi/500;
Hr=cos（w*n）*a';
辅助函数2
function[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m（b,a）;
%freqz子程序的改进版本
%------------------------------------
%[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m（b,a）;
%db=[0到pi弧度]区间内的相对振幅（db）
%mag=[0到pi弧度]区间内的绝对振幅
%pha=[0到pi弧度]区间内的相位响应
%grd=[0到pi弧度]区间内的群迟延
%w=[0到pi弧度]区间内的501个频率样本向量
%b=Ha（z）的分子多项式系数（对FIRb=h）
%a=Ha（z）的分母多项式系数（对FIR:
a=[1]）
%
[H,w]=freqz（b,a,1000,'whole'）;
H=（H（1:
1:
501））';w=（w（1:
1:
501））';
mag=abs（H）;
db=20*log10（（mag+eps）/max（mag））;
pha=angle（H）;
%pha=unwrap（angle（H））;
grd=grpdelay（b,a,w）;
%grd=diff（pha）;
%grd=[grd
（1）grd];
%grd=[0grd（1:
1:
500）;grd;grd（2:
1:
501）0];
%grd=median（grd）*500/pi;
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