必修四平面向量的概念及线性运算讲义.docx

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必修四平面向量的概念及线性运算讲义

　　　　　　　　平面向量的概念及线性运算　　一、向量的有关概念　　向量的有关概念　　1、向量的定义：

既有______又有______的量叫做向量。

　　2、表示方法：

用________来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的　　方向表示向量的方向。

用a，b，……或用AB，CD，……表示。

　　3、模：

向量的______叫向量的模，记作________或_______。

　　几种特殊的向量　　1、零向量：

长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________，它与任．．．意非零向量都共线。

．．．．．．．．2、单位向量：

长度为____单位长度的向量叫做单位向量，常用e，i，j……表示。

　　与a平行的单位向量e＝__________。

　　3、平行向量：

方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一　　组平行向量都可以移到同一直线上．规定：

0与任一向量______。

　　4、相等向量：

_______且________的两个向量，记a＝b。

5、相反向量：

_______且________的两个向量，记a＝－b。

　　　　例1：

下列说法中正确的是___________。

　　　　1　　　　向量就是有向线段；零向量没有方向；若向量a与向量b平行，则向量a与向量b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；若向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上。

【解析】：

　　变式练习1：

下列说法中正确的_____________。

　　单位向量都相等；︱a︱与︱b︱是否相等，与向量a与向量b的方向无关；若A、B、C、D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若向量a与向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与向量c共线；两向量a、若︱a︱＝︱b︱，则a＝b或ab相等的充要条件是︱a︱＝︱b︱且a∥b；　　＝－b；向量a与向量b平行，则向量a与向量b的方向相同或相反；【解析】：

　　变式练习2：

下列说法中正确的_________。

　　若向量a与向量b同向，且︱a︱＞︱b︱，则a＞b；于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；若向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D在一条直线上；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。

【解析】：

　　二、向量的线性运算及几何意义　　向量运算定义法则（或几何意义）运算律a＋b＝b＋a加法求两个向量和的运算（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）　　　　2　　　　求a与b的相反向量减法－b的和的运算叫做a与b的差?

a　　当?

＞0时，?

a的方向与a的方向相同；当?

＜a－b＝a＋（－b）数乘求实数?

与向量a的积的运算0时，?

a的方向与a的方向相反。

当?

0或a?

0时，?

（?

a）?

（?

）a（?

）a?

（a?

b）?

b　　?

0。

结论：

设a、b为任意向量，?

、?

为任意实数，则有：

（?

a）?

（?

）a　　（?

）a?

b　　?

（a?

b）?

b　　｜｜a｜－｜b｜｜≤　　｜a＋b｜　　≤｜a｜＋｜b｜　　当a与b异向共线时　　当a与b同向共线时【和的模小于等模的和，大于等模的差的绝对值】　　a＋b＝b＋a　　（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）　　例2：

化简：

　　AB＋BC＋CA＝________________。

AB＋MB＋BO＋BC＋OM＝___________。

AB＋CA－CB＝________________。

AB－CD＋BD－AC＝________________。

NQ＋MN－MP＋QP＝________________。

　　例3：

根据右图所示填空a＋b＝　　；　　　　E　　3　　DedfgAcCbaB　　c＋d＝　　；a＋d＋b＝　　；DE＋CD＋AC＝______；　　AB＋BC＋CD＋DE＝________________。

　　DCBEFA变式练习1：

如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA＋　　CD＋EF＝　　A：

0　　B：

BE　　C：

AD　　D：

CF【解析】：

D　　变式练习2：

如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC　　与BD交于点O，则OA＋BC＋AB＝（）A：

CD【解析】B　　B：

OCC：

DA　　D：

CO　　变式练习3：

在平行四边形ABCD中，若︱BC＋BA︱＝︱BC＋AB︱，则四边形ABCD　　是（）　　A：

菱形B：

正方形解析:

图知||　　|＝|　　C：

矩形D：

梯形|＝||＝|　　|，|.所以|　　|＝|　　|，故四边形　　ABCD为矩形.　　变式练习4：

若O是△ABC所在平面内一点，且满足︱OB－OC︱＝︱OB－OA＋OC－OA︱，试判断△ABC的形状。

【解析】:

∵又|∴|　　|=||=|　　|，　　|，　　，　　∴以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，∴此平行四边形为矩形，　　4　　　　∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形.　　例4：

如右图：

在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE＝___。

　　【解析】：

BE＝－　　DEABC1a＋b2　　例5：

在三角形OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使得DB＝　　1OB，DC与OA交点E，设OA3＝a，OB＝b，用a，b表示OC，DC。

【解析一】：

∵点A是BC的中点∴BA＝AC∵OA＝OB＋BAOA＝OC＋CA∴2OA＝OB＋BA＋OC＋CA　　1∴OC＝2OA－OB＝2a－b2225∴DC＝OC－OD＝OC－OB＝2a－b－b＝2a－b　　333∴OA＝　　【解析二】：

∵点A是BC的中点∴BA＝AC＝a－b∴OC＝OA＋AC＝a＋a－b＝2a－b∴DC＝OC－OD＝OC－　　225OB＝2a－b－b＝2a－b333　　变式练习1：

在平行四边形ABCD中，设AB＝a，　　AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，用a、b表示MN。

【解析】：

MN＝　　　　1（b－a）4变式练习2：

在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是　　　　5　　DECAFB

　　　　　　　　BC的一个三等分点，那么EF等于　　1111AB－AD　　B：

AB＋AD23421112C：

AB＋DA　　D：

AB－AD　　2223A：

【解析】：

D　　三、向量共线定理　　对于向量a与b共线，当且仅当有唯一一个实数．．．．．．．．．．．?

，使得b＝?

a。

　　注意：

、向量证明a与b共线，只需证明存在实数?

，使得b＝?

a即可。

　　、如果a＝b＝0，数?

仍然存在，此时?

并不唯一，是任意数值。

　　特别地：

　　两条线段平行与两条线段共线是不一样的，而两个平行向量就是共线向量。

　　要证明三点共线需要说两点①三点确定的向量共线；②两向量有公共点。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　　例6：

已知任意两非零向量a、b，试作OA?

b，OB?

2b，OC?

3b，证明：

A、B、C三点共线。

　　【解析】：

∵AB＝OB－OA＝（a?

2b）－（a?

b）＝b，BC＝OC－OB＝（a?

3b）－（a?

2b）＝b，∴AB＝BC∴所以A、B、C三点共线。

　　综上：

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。

　　对于任意向量a、b及任意实数?

、?

，恒有?

（?

1a?

2b）?

1a?

2b。

变式练习1：

试证起点相同的三个向量a、b、3a－2b的　　终点在一条直线上。

　　【解析】：

如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝3a－2b，则　　AC＝OC－OA＝2a－2b，AB＝OB－OA＝b－a，　　∴AC＝－2AB，又因为AB与AC有共同的起点A，故A、B、C三点共线。

　　变式练习2：

设a、b是不共线的两个非零向量，若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，　　若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的OC＝a－3b，求证：

A、B、C三点共线；值。

　　　　6　　　　【解析】：

AB＝a＋b，BC＝－2a－4b，－2AB＝BC　　∵8a＋kb与ka＋2b共线，故存在实数?

，使得8a＋kb＝?

（ka＋2b），得8a＋kb＝?

ka＋2?

b，即?

2得?

或?

∴k＝±4　　k?

42?

kk?

例7：

已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，则　　OC等于　　A：

2OA－OBB：

－OA＋2OBC：

　　2112OA＋OBD：

－OA＋OB3323【解析】：

A2AC＝－CB＝BC，故A是BC的中点。

　　变式练习1：

设D为△ABC所在平面内一点，且BC＝3CD，则　　1414A：

AD＝－AB＋AC　　B：

AD＝AB－AC　　33334141C：

AD＝AB＋AC　　D：

AD＝AB－AC　　3333【解析】BC＝3CD，点D在BC的延长线上，且BC＝3CD，选A　　ABCD变式练习2：

设a＝（AB＋CD）＋（BC＋DA），b是任一非零向量，则在下列结论中：

　　①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④︱a＋b︱＜︱a︱＋︱b︱；⑤︱a＋b︱＝︱a︱＋︱b︱。

正确结论的序号是_________。

【解析】①③⑤　　1变式练习3：

设P是△ABC内的一点，AP＝（AB＋AC），则△ABC的面积与△PBC　　3的面积之比为（）A：

2　　B：

3　　C：

　　1D：

63=2　　.　　【解析】:

设BC的中点为D，则　　∵）=，　　如图，过A作AE⊥BC，交BC于点E，过P作PF⊥BC，交BC于点F，　　7　　　　则.∴=3.　　答案:

B　　　　课后综合练习　　1、下列说法中正确的是（　　）　　A：

a与b的和a＋b与?

a同向、长度等于a与b的长度之和　　B：

a与b的差a－b与a同向、长度等于a与b的长度之差C：

当a与b同向时，a＋b与a同向、长度等于a与b长度之和D：

当a与b反向时，a－b与a同向、长度等于a与b的长度之差【解析】：

C　　2、已知四边形ABCD是平行四边形，那么下列等式中恒成立的是　　（A：

AC＝DC＋BC　　B：

AC＝DC－ADC：

AC＝CB＋BA　　D：

AC＝AB－AD【解析】：

A　　3、下列各式中结果为0的有　　①BC＋AB＋CA　　②OA＋OC＋BO＋CO③AB－AC＋BD－CD　　④MN＋NQ－MP＋QPA：

①②　　B：

①③　　C：

①③④　　D：

①②③【解析】：

C4、下列四式中可以化简为AB的是　　①AC＋CB　　②AB－CB　　③OA＋OB　　④－OA＋OBA：

①④　　B：

①②　　C：

②③　　D：

③④【解析】：

A　　5、已知，如右图ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA＝　　8　　）　　　　a，OB＝b，OC＝c，则EF＝　　A：

a＋b　　B：

b－a　　C：

c－b　　D：

b－c【解析】：

D　　6、AC－AB等于（）　　A：

ACB：

AB　　C：

BCD：

CB【解析】：

C7、在平行四边形ABCD中，AC－AD等于（）A：

AB　　B：

BA　　C：

CD　　D：

DB【解析】：

A8、下列四式不能化简为PQ的是（）　　A：

AB＋（PA＋PQ）　　B：

（AB＋PC）＋（BA－QC）C：

QC＋CQ－QP　　D：

PA＋AB＋BQ【解析】：

A　　9、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A：

EF＝OF＋OE　　C：

EF＝－OF＋OE【解析】：

B　　10、下列命题中是真命题的是　　B：

EF＝OF－OED：

EF＝－OF－OE　　①对任意两向量a、b均有：

︱a︱－︱b︱＜︱a︱＋︱b︱；②对任意两向量a、b、a－b与b－a是相反向量；③在三角形ABC中，AB＋BC－AC＝0；④在四边形ABCD中，（AB＋BC）－（CD＋DA）＝0；⑤BC＝AB－ACA：

①②③　　B：

②④⑤C：

②③④　　D：

②③【解析】：

D　　11、设P是三角形ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则　　A：

PA＋PB＝0B：

PA＋PC＝0C：

PB＋PC＝0D：

PA＋PB＋PC＝0【解析】：

BBC＋BA＝2BPP为AC中点　　12、已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且OP＝　　A：

点P在线段AB上　　B：

点P在线段AB的反向延长线上C：

点P在线段AB的延长线上　　D：

点P不在直线AB上　　3OA?

OB，则2【解析】：

B　　2OP＝3OA－OB2（OP－OA）＝OA－OB2AP＝BA　　13、已知非零向量a，b满足︱a︱＝7＋1，︱b︱＝7－1，且︱a－b︱＝4，则︱　　　　9　　　　a＋b︱＝________。

　　【解析】如图所示．设OA＝a，OB＝b，则|BA|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，　　则|OC|＝|a＋b|.于（7＋1）2＋（7－1）2＝42.故|OA|2＋|OB|2＝|BA|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以?

OACB是矩形，　　→→　　根据矩形的对角线相等有|OC|＝|BA|＝4，即|a＋b|＝4.　　→→→→→→→10

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