必修四平面向量的概念及线性运算讲义.docx

1、必修四平面向量的概念及线性运算讲义必修四平面向量的概念及线性运算讲义平面向量的概念及线性运算 一、向量的有关概念 向量的有关概念 1、向量的定义：既有_又有_的量叫做向量。 2、表示方法：用_来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。用a，b，或用AB，CD，表示。 3、模：向量的_叫向量的模，记作_或_。 几种特殊的向量 1、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是_，它与任意非零向量都共线。 2、单位向量：长度为_单位长度的向量叫做单位向量，常用e，i，j表示。与a平行的单位向量e_。 3、平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又叫_，任一组平

2、行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_。 4、相等向量：_ 且 _的两个向量，记ab。 5、相反向量：_ 且 _的两个向量，记ab。 例1：下列说法中正确的是_。 1 向量就是有向线段；零向量没有方向；若向量a与向量b平行，则向量a与向量b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；若向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上。 【解析】： 变式练习1：下列说法中正确的_。 单位向量都相等；a与b是否相等，与向量a与向量b的方向无关；若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若向量a与向量b共线，向量b与向

3、量c共线，则向量a与向量c共线；两向量a、 若ab，则ab或ab相等的充要条件是ab且ab；b；向量a与向量b平行，则向量a与向量b的方向相同或相反； 【解析】： 变式练习2：下列说法中正确的_。 若向量a与向量b同向，且ab，则ab；于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；若向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D在一条直线上；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。 【解析】： 二、向量的线性运算及几何意义 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 abba 加法 求两个向量和的运算 (ab)ca(bc)2 求a与b的相反向量减法 b的和的运算叫做a与b的差 ?

4、a?a 当?0时，?a的方向与a的方向相同；当?aba(b) 数乘 求实数?与向量a的积的运算 0时，?a的方向与a的方向相反。 当?0或a?0时，?(?a)?(?)a(?)a?a?b ?(a?b)?a?b?a?0。 结论：设a、b为任意向量，?、?为任意实数，则有： ?(?a)?(?)a(?)a?a?b?(a?b)?a?b ab ab ab 当a与b异向共线时 当a与b同向共线时 【和的模小于等模的和，大于等模的差的绝对值】 abba(ab)ca(bc) 例2：化简： ABBCCA_。 ABMBBOBCOM_。 ABCACB_。 ABCDBDAC_。 NQMNMPQP_。 例3：根据右图所示

5、填空 ab ； E 3 D edfgA cC baB cd； adb ； DECDAC_ _； ABBCCDDE_。 DCBEFA变式练习1：如图所示，在正六边形ABCDEF中，BACDEF A：0B：BEC：ADD：CF 【解析】：D 变式练习2：如图所示，四边形ABCD是梯形，ADBC，AC与BD交于点O，则OABCAB( ) A： CD 【解析】B B：OC C：DA D：CO 变式练习3：在平行四边形ABCD中，若BCBABCAB，则四边形ABCD是( ) A：菱形 B：正方形 解析:图知|C：矩形 D：梯形 |， |.所以|，故四边形ABCD为矩形. 变式练习4：若O是ABC所在平面

6、内一点，且满足OBOCOBOAOCOA，试判断ABC的形状。 【解析】:又|=|=|， |， ， 以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，此平行四边形为矩形， 4 ABAC，ABC是直角三角形. 例4：如右图：在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且ABa，ADb，则BE_。 【解析】：BEDEABC1ab 2 例5：在三角形OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使得DB1OB，DC与OA交点E，设OA3a，OBb，用a，b表示OC，DC。 【解析一】： 点A是BC的中点 BAAC OAOBBA OAOCCA 2OAOBBAOCCA 1OC2OAOB2ab 22

7、25 DCOCODOCOB2abb2ab 333 OA 【解析二】： 点A是BC的中点 BAACab OCOAACaab2ab DCOCODOC225OB2abb2ab 333 变式练习1：在平行四边形ABCD中，设ABa，ADb，AN3NC，M为BC的中点，用a、b表示MN。 【解析】：MN 1(ba) 4变式练习2：在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是5 DECAFBBC的一个三等分点，那么EF等于 1111ABADB：ABAD 23421112C：ABDAD：ABAD 2223A：【解析】：D 三、向量共线定理 对于向量a与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使得b?a。 注意：、

8、向量证明a与b共线，只需证明存在实数?，使得b?a即可。 、如果ab0，数?仍然存在，此时?并不唯一，是任意数值。 特别地： 两条线段平行与两条线段共线是不一样的，而两个平行向量就是共线向量。 要证明三点共线需要说两点 三点确定的向量共线；两向量有公共点。 例6：已知任意两非零向量a、b，试作OA?a?b，OB?a?2b，OC?a?3b，证明：A、B、C三点共线。 【解析】： ABOBOA(a?2b)(a?b)b，BCOCOB(a?3b)(a?2b)b， ABBC 所以A、B、C三点共线。 综上：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。 对于任意向量a、b及任意实数?、?，恒有?(?1a?

9、2b)?1a?2b。 变式练习1：试证起点相同的三个向量a、b、3a2b的终点在一条直线上。 【解析】：如图，设OAa，OBb，OC3a2b，则 ACOCOA2a2b，ABOBOAba，AC2AB，又因为AB与AC有共同的起点A，故A、B、C三点共线。 变式练习2：设a、b是不共线的两个非零向量，若OA2ab，OB3ab，若8akb与ka2b共线，求实数k的OCa3b，求证：A、B、C三点共线；值。 6 【解析】：ABab，BC2a4b，2ABBC 8akb与ka2b共线，故存在实数?，使得8akb?(ka2b)，得 8akb?ka2?b，即?k?8?2?2得?或? k4 k?42?kk?4?

10、例7：已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2ACCB0，则OC等于 A：2OAOB B：OA2OB C：2112OAOB D：OAOB 3323【解析】：A 2ACCBBC，故A是BC的中点。 变式练习1：设D为ABC所在平面内一点，且BC3CD，则 1414A：ADABAC B：ADABAC 33334141C：ADABACD：ADABAC 3333【解析】BC3CD，点D在BC的延长线上，且BC3CD，选A ABCD变式练习2：设a(ABCD)(BCDA)，b是任一非零向量，则在下列结论中：ab；aba；abb；abab；abab。正确结论的序号是_。 【解析】 1变式

11、练习3：设P是ABC内的一点，AP(ABAC)，则ABC的面积与PBC3的面积之比为( ) A：2 B：3 C： 1 D：6 3=2. 【解析】:设BC的中点为D，则)=， 如图，过A作AEBC，交BC于点E，过P作PFBC，交BC于点F， 7 则.=3. 答案:B 课 后 综 合 练 习 1、下列说法中正确的是 () A：a与b的和ab与?a同向、长度等于a与b的长度之和 B：a与b的差ab与a同向、长度等于a与b的长度之差 C：当a与b同向时，ab与a同向、长度等于a与b长度之和 D：当a与b反向时，ab与a同向、长度等于a与b的长度之差 【解析】：C 2、已知四边形ABCD是平行四边形，

12、那么下列等式中恒成立的是( A：ACDCBC B：ACDCAD C：ACCBBAD：ACABAD 【解析】：A 3、下列各式中结果为0的有 BCABCA OAOCBOCO ABACBDCDMNNQMPQP A： B：C：D： 【解析】：C 4、下列四式中可以化简为AB的是 ACCBABCBOAOBOAOB A：B：C：D： 【解析】：A 5、已知，如右图ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA8 )a，OBb，OCc，则EF A：abB： ba C： cbD： bc 【解析】：D 6、ACAB等于( ) A： AC B：ABC： BC D：CB 【解析】：C 7、在平行四边形ABCD

13、中，ACAD等于( ) A： ABB：BAC：CD D：DB 【解析】：A 8、下列四式不能化简为PQ的是( ) A：AB(PAPQ)B：(ABPC)(BAQC) C：QCCQQP D： PAABBQ 【解析】：A 9、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A：EFOFOE C：EFOFOE 【解析】：B 10、下列命题中是真命题的是 B：EFOFOE D：EFOFOE 对任意两向量a、b均有：abab；对任意两向量a、b、ab与ba是相反向量；在三角形ABC中，ABBCAC0；在四边形ABCD中，(ABBC)(CDDA)0；BCABAC A：B： C：D： 【解析】：D

14、 11、设P是三角形ABC所在平面内的一点，BCBA2BP，则 A：PAPB0 B：PAPC0 C：PBPC0 D：PAPBPC0 【解析】：B BCBA2BP P为AC中点 12、已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且OP A：点P在线段AB上 B：点P在线段AB的反向延长线上 C：点P在线段AB的延长线上D：点P不在直线AB上 3OA?OB，则2【解析】：B2OP3OAOB 2(OPOA)OAOB 2APBA 13、已知非零向量a，b满足a71，b71，且ab4，则 9 ab_。 【解析】 如图所示设OAa，OBb，则|BA|ab|. 以OA与OB为邻边作平行四边形OACB， 则|OC|ab|.于(71)2(71)242. 故|OA|2|OB|2|BA|2， 所以OAB是AOB为90的直角三角形，从而OAOB，所以?OACB是矩形， 根据矩形的对角线相等有|OC|BA|4，即|ab|4. 10