借题发挥融会贯通.docx
《借题发挥融会贯通.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《借题发挥融会贯通.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
借题发挥融会贯通
借题发挥融会贯通
新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”。
数学教学离不开例题习题，而教学中如何选择例题习题，从而挖掘教材潜在的智能价值，充分展示教学功能，并使课本知识有效地浓缩。
通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，使一题多变，从而揭示不同知识点的联系，使学生加深知识的理解与内化，使知识系统化，克服某些思维定势，发散学生思维，培养学生思维的灵活性、全面性和创新性，提高学生解决实际问题和应变的能力。
（原题展示）如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。
求证：
BG=CE
【本题来源于浙教版八下课本第147页作业题第3题，考查正方形、三角形全等的知识，考查的是几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能。
此题潜在价值很大：
可以添加探索新结论；可以改变条件，探索结论；可以通过图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；也可以把正方形改为矩形、正三角形、圆，把三角形改为梯形；还可以将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。
这样的解题发挥，加深知识间的联系，融会贯通。
】
变式一：
条件不变、增加探究结论
（2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。
（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？
请
说出是怎样的变换？
【本题在条件不变下继续探索其它结论，使不同层次的学生得到不同得到发展，使学生经历获得通过猜想到验证的解决问题方法，培养学生探究能力与解决问题的能力】
变式二：
添加条件、探究新结论
（4）如上图，AB＝11，AC＝7，连结EG，求
的值
【本题应用勾股定理知识解决，考查辅助线添法以及转化思想。
】
练习1：
（2007甘肃陇南中考题）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：
AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
变式三：
改变条件，探究原结论
把上题的“正方形ABCD、DEFG”改为“矩形ABCD、DEFG（长宽不等）”，上面两个结论还成立吗？
若不成立，请问在什么条件下成立？
【本题条件正方形改为矩形，探索前面两个结论是否成立，若不成立，探索成立的条件。
两个矩形长和宽成比例时，AE⊥CG，可以运用三角形相似证明，但AE≠CG.由全等到相似，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，加深理解，使知识融会贯通。
】
变式四：
图形旋转，探究原结论
（3）如练习1题条件，正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，使AD与GD重合时如图
（1），上述两个结论是否成立?
（4）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，如图
（2），上述两个结论是否成立？
（5）如图
（2），连结BF，求CG:
BF:
AE的值.
【让题设条件与图形“动”起来，形成“一题多变”或“一图多变”的系列化问题。
克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维，揭示利用全等知识证明的本质，熟练地应用知识和技能，准确把握解题方向。
第（5）小题连结BD、DF，构造相似三角形，利用相似比求解，渗透转化思想】
练习2：
（2008年义乌市中考题）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度
，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a
b，k
0），第
（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？
若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第
（2）题图5中，连结
、
，且a=3，b=2，k=
，求
的值．
变式五：
根据图形或变式图形求面积
1.如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7和11，则△CDE的面积等于。
2.如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
Ａ．4Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55
3.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1，S2，S3之间的关系是.
【本题根据几何图形求边长与面积，充分渗透数学结合思想。
第1题利用旋转得到△ADG和△CDE的面积相等，第2题利用全等三角形和勾股定理，第3题根据角度和为直角作辅助线将梯形转化为直角三角形，然后利用相似比将三个正方形的边长转化为直角三角形中，再利用勾股定理得到解答。
】
练习3：
在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，
则S1＋S2＋S3＋S4＝.
练习4：
如图，分别以Rt△ABC的三边向形外作正方形ABGH、BCEF、ACDI，若直角边BC=1，AC=2，则六边形DEFGHI的面积。
变式六：
图形改变，探究定点定值问题
如图，已知C为定线段AB外一动点，分别以AC、BC为边在△ABC外作正方形CADF和CBEG，求证：
不论点C的位置在AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点。
【本题是一道几何定点定值问题，这类题目的题设和结论中既有不变的几何量，也有变化的几何量，注意挖掘那些隐含着的定量及变量，然后转化为一般的几何证明问题，这是分析和解决定点定值问题的着眼点。
】
变式七：
变换条件结论，提高探索能力
如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AC、BC为边向△ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF，过点C作CG⊥AB,垂足为G，且CG的反向延长线与DF交于点I。
（1）求证：
CI=
AB=
DF
（2）当∠ACB≠90°时，以上结论成立吗？
若不成立，关系又怎样？
（3）当∠ACB为钝角，且分别向△ABC内作正方形CBHF和ACDE,问：
此时线段CI与AB间的数量关系如何?
CI是否平分DF？
线段CI与
AB是否相等？
【本题难度较大，它增加条件，要求解决新的问题，要求正确添加辅助线构造平行四边形与全等三角形，第1小题是常规题，第2、3小题又是探索题，在条件变化时，探究原结论是否成立或有什么新的关系。
】
变式八：
改变条件，挖掘内在联系
如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结CD、BE。
（1）求证：
BE=DC
（2）求直线猜想CD与直线BE的夹角
【本题把向外作正方形改为正三角形，但本质还是运用三角形的全等知识解决，万变不离其宗，设计目的是通过辨析，揭示问题的实质，训练学生对知识的灵活运用，使知识进一步理解和内化，培养思维的准确性，提高解决问题的能力以及应变能力。
】
变式九：
根据结论，探究条件
如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作
等边三角形ABD,ACE,BC
（1）求证：
四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？
③当△ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存在？
【本题把由两边向外作正三角形改为由三边向外作正三角形，考查平行四边形、矩形、菱形以及三角形等知识，是一道几何综合题。
考查学生对知识的综合运用，培养学生分析问题能力和逻辑推理能力，培养学生思维的全面性与创新性，渗透分类与转化的数学思想方法。
】
练习5：
（2008年广东佛山市中考题）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
（1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？
直接写出构成图形的类型和相应的条件.
变式十：
添加背景材料，与函数相结合
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°∠ACB=30°，BC=2，四边形ABDE和ACFG均为正方形.
（1）以点C为坐标原点，BC与x轴重合，画出直角坐标系，并求点E、F、G的坐标.
（2）在
（1）的图形中，如果点A是一次函数
上的一个动点，点A运动到什么位置时，正方形ABCD和AOEF的面积和最小？
最小面积是多少？
（3）在
（2）的情况下，求经过A、B、O三点的抛物线的解析式。
【本题添加直角坐标系，与函数结合，是一道代数与几何的综合题，又是一道解决动态的问题，充分运用数形结合和建函数模型求面积和的最小值，考查了解直角三角形，图形与坐标、一次函数、二次函数以及动点运动问题等知识，训练学生对知识的灵活运用，培养思维的准确性，培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力，使数学学习的最终目的是学以致用。
】
练习6：
如图，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，A，B两点的横坐标是一元二次方程
的两个根,以AB为边向x轴下方作正方形.
（1）tan∠ABC=?
（2）正方形ABDE的边上是否存在点P，使△ABP∽△AOC，求此时P点的坐标.
（3）若⊙M以1个单位每秒的速度竖直向下匀速移动，当⊙M与正方形ABDE重叠部分的面积等于⊙M面积的
时，求移动的时间.
感悟与反思：
针对课本的习题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的情况下变式，添加探索结论；改变条件；改变问题形式；图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；把正方形改为矩形、正三角形、圆，把三角形改为梯形；将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。
通过这样的解题发挥，初中全部内容都进行复习和加深，扩大知识面，使知识达到融会贯通，还能进一步地熟悉基本知识在解决实际问题中的应用，掌握很多的数学思想方法。
走出题海战术，真正做到轻负高质。
具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。
如图
（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD1⊥AB、EE1⊥AB，垂足分别为D1、E1．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，
（1）如图
（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD1+EE1的值；
（2）求证：
不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；
（3）求证：
不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形中位线定理．
专题：
动点型．
分析：
（1）由正方形与垂线的性质，易证得：
△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得DD1与EE1的长，则可求得DD1+EE1的值；
（2）定线段AB长为定值；猜想DD1+EE1=AB；过点C作CH⊥AB，垂足为H；再通过两对全等三角形来证明DD1+EE1=AB即可；
（3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，MQ=
1
2
AB且MQ⊥AB，特殊地，当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．又因为可证明D1A=E1B，所以D1E1的中点就是AB的中点．所以，不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为
1
2
AB长的点上”．
解答：
解：
（1）∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°，
∵四边形ACFD与BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ABC，∠EBE1=∠BAC，
∴△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，
∴
DD1
4
＝
4
5
，
EE1
3
＝
3
5
，
∴DD1＝
16
5
，EE1＝
9
5
；
∴DD1+EE1=5；
（2）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠
EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
∴DD1=AK，EE1=BK，
∴DD1+EE1=AB，
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；
（3）设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，
则：
MQ＝
1
2
（DD1+EE1）＝
1
2
AB且MQ⊥AB，
当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
又∵D1A=CK=E1B，
∴D1E1的中点就是AB的中点．
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，
∴此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为
1
2
AB长的点上”．
升级会员 