借题发挥融会贯通.docx
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借题发挥融会贯通
借题发挥融会贯通
新课程标准中提倡“通过解决问题的反思,获得解决问题的经验”。
数学教学离不开例题习题,而教学中如何选择例题习题,从而挖掘教材潜在的智能价值,充分展示教学功能,并使课本知识有效地浓缩。
通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式,使一题多变,从而揭示不同知识点的联系,使学生加深知识的理解与内化,使知识系统化,克服某些思维定势,发散学生思维,培养学生思维的灵活性、全面性和创新性,提高学生解决实际问题和应变的能力。
(原题展示)如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG,连结CE、BG。
求证:
BG=CE
【本题来源于浙教版八下课本第147页作业题第3题,考查正方形、三角形全等的知识,考查的是几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能。
此题潜在价值很大:
可以添加探索新结论;可以改变条件,探索结论;可以通过图形位置改变,让图形动起来,变成动态问题;也可以把正方形改为矩形、正三角形、圆,把三角形改为梯形;还可以将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。
这样的解题发挥,加深知识间的联系,融会贯通。
】
变式一:
条件不变、增加探究结论
(2)观察图形猜想CE与BG之间的位置关系,并证明你的猜想。
(3)图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到?
请
说出是怎样的变换?
【本题在条件不变下继续探索其它结论,使不同层次的学生得到不同得到发展,使学生经历获得通过猜想到验证的解决问题方法,培养学生探究能力与解决问题的能力】
变式二:
添加条件、探究新结论
(4)如上图,AB=11,AC=7,连结EG,求
的值
【本题应用勾股定理知识解决,考查辅助线添法以及转化思想。
】
练习1:
(2007甘肃陇南中考题)四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:
AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.
变式三:
改变条件,探究原结论
把上题的“正方形ABCD、DEFG”改为“矩形ABCD、DEFG(长宽不等)”,上面两个结论还成立吗?
若不成立,请问在什么条件下成立?
【本题条件正方形改为矩形,探索前面两个结论是否成立,若不成立,探索成立的条件。
两个矩形长和宽成比例时,AE⊥CG,可以运用三角形相似证明,但AE≠CG.由全等到相似,使学生把相关知识贯穿在一起相互比较,加深理解,使知识融会贯通。
】
变式四:
图形旋转,探究原结论
(3)如练习1题条件,正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转,使AD与GD重合时如图
(1),上述两个结论是否成立?
(4)正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转,如图
(2),上述两个结论是否成立?
(5)如图
(2),连结BF,求CG:
BF:
AE的值.
【让题设条件与图形“动”起来,形成“一题多变”或“一图多变”的系列化问题。
克服思维定势和图形位置定势,使学生习惯于“开放”与“探究”的思维,揭示利用全等知识证明的本质,熟练地应用知识和技能,准确把握解题方向。
第(5)小题连结BD、DF,构造相似三角形,利用相似比求解,渗透转化思想】
练习2:
(2008年义乌市中考题)如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度
,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a
b,k
0),第
(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?
若成立,以图5为例简要说明理由.
(3)在第
(2)题图5中,连结
、
,且a=3,b=2,k=
,求
的值.
变式五:
根据图形或变式图形求面积
1.如图,A在线段BG上,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为7和11,则△CDE的面积等于。
2.如图,直线上有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为5和11,则b的面积为( )
A.4B.6C.16D.55
3.如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC+∠BCD=90°,且DC=2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,则S1,S2,S3之间的关系是.
【本题根据几何图形求边长与面积,充分渗透数学结合思想。
第1题利用旋转得到△ADG和△CDE的面积相等,第2题利用全等三角形和勾股定理,第3题根据角度和为直角作辅助线将梯形转化为直角三角形,然后利用相似比将三个正方形的边长转化为直角三角形中,再利用勾股定理得到解答。
】
练习3:
在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,
则S1+S2+S3+S4=.
练习4:
如图,分别以Rt△ABC的三边向形外作正方形ABGH、BCEF、ACDI,若直角边BC=1,AC=2,则六边形DEFGHI的面积。
变式六:
图形改变,探究定点定值问题
如图,已知C为定线段AB外一动点,分别以AC、BC为边在△ABC外作正方形CADF和CBEG,求证:
不论点C的位置在AB的同侧怎样变化,线段DE的中点M为定点。
【本题是一道几何定点定值问题,这类题目的题设和结论中既有不变的几何量,也有变化的几何量,注意挖掘那些隐含着的定量及变量,然后转化为一般的几何证明问题,这是分析和解决定点定值问题的着眼点。
】
变式七:
变换条件结论,提高探索能力
如图,在△ABC中,∠C=90°,以AC、BC为边向△ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF,过点C作CG⊥AB,垂足为G,且CG的反向延长线与DF交于点I。
(1)求证:
CI=
AB=
DF
(2)当∠ACB≠90°时,以上结论成立吗?
若不成立,关系又怎样?
(3)当∠ACB为钝角,且分别向△ABC内作正方形CBHF和ACDE,问:
此时线段CI与AB间的数量关系如何?
CI是否平分DF?
线段CI与
AB是否相等?
【本题难度较大,它增加条件,要求解决新的问题,要求正确添加辅助线构造平行四边形与全等三角形,第1小题是常规题,第2、3小题又是探索题,在条件变化时,探究原结论是否成立或有什么新的关系。
】
变式八:
改变条件,挖掘内在联系
如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE,连结CD、BE。
(1)求证:
BE=DC
(2)求直线猜想CD与直线BE的夹角
【本题把向外作正方形改为正三角形,但本质还是运用三角形的全等知识解决,万变不离其宗,设计目的是通过辨析,揭示问题的实质,训练学生对知识的灵活运用,使知识进一步理解和内化,培养思维的准确性,提高解决问题的能力以及应变能力。
】
变式九:
根据结论,探究条件
如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作
等边三角形ABD,ACE,BC
(1)求证:
四边形DAEF是平行四边形;
(2)探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时,四边形DAEF是矩形?
②当△ABC满足什么条件时,四边形DAEF是菱形?
③当△ABC满足什么条件时,以D,A,E,F为顶点的四边形不存在?
【本题把由两边向外作正三角形改为由三边向外作正三角形,考查平行四边形、矩形、菱形以及三角形等知识,是一道几何综合题。
考查学生对知识的综合运用,培养学生分析问题能力和逻辑推理能力,培养学生思维的全面性与创新性,渗透分类与转化的数学思想方法。
】
练习5:
(2008年广东佛山市中考题)如图,△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1)当AB≠AC时,证明四边形ADFE为平行四边形;
(2)当AB=AC时,顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类?
直接写出构成图形的类型和相应的条件.
变式十:
添加背景材料,与函数相结合
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°∠ACB=30°,BC=2,四边形ABDE和ACFG均为正方形.
(1)以点C为坐标原点,BC与x轴重合,画出直角坐标系,并求点E、F、G的坐标.
(2)在
(1)的图形中,如果点A是一次函数
上的一个动点,点A运动到什么位置时,正方形ABCD和AOEF的面积和最小?
最小面积是多少?
(3)在
(2)的情况下,求经过A、B、O三点的抛物线的解析式。
【本题添加直角坐标系,与函数结合,是一道代数与几何的综合题,又是一道解决动态的问题,充分运用数形结合和建函数模型求面积和的最小值,考查了解直角三角形,图形与坐标、一次函数、二次函数以及动点运动问题等知识,训练学生对知识的灵活运用,培养思维的准确性,培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力,使数学学习的最终目的是学以致用。
】
练习6:
如图,⊙M与y轴相切于点C,与x轴交于A,B两点,A,B两点的横坐标是一元二次方程
的两个根,以AB为边向x轴下方作正方形.
(1)tan∠ABC=?
(2)正方形ABDE的边上是否存在点P,使△ABP∽△AOC,求此时P点的坐标.
(3)若⊙M以1个单位每秒的速度竖直向下匀速移动,当⊙M与正方形ABDE重叠部分的面积等于⊙M面积的
时,求移动的时间.
感悟与反思:
针对课本的习题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的情况下变式,添加探索结论;改变条件;改变问题形式;图形位置改变,让图形动起来,变成动态问题;把正方形改为矩形、正三角形、圆,把三角形改为梯形;将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。
通过这样的解题发挥,初中全部内容都进行复习和加深,扩大知识面,使知识达到融会贯通,还能进一步地熟悉基本知识在解决实际问题中的应用,掌握很多的数学思想方法。
走出题海战术,真正做到轻负高质。
具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华,教学中要善于“借题发挥”,进行一题多解,一题多变,多题组合,引导学生去探索数学问题的规律性和方法,这对激发学生学习的兴趣,培养学生的创造性思维,创新能力,数学素质,都将起作积极的推动作用。
如图
(1)至图(3),C为定线段AB外一动点,以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG,分别作DD1⊥AB、EE1⊥AB,垂足分别为D1、E1.当C的位置在直线AB的同侧变化过程中,
(1)如图
(1),当∠ACB=90°,AC=4,BC=3时,求DD1+EE1的值;
(2)求证:
不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,DD1+EE1的值为定值;
(3)求证:
不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,线段DE的中点M为定点.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质;梯形中位线定理.
专题:
动点型.
分析:
(1)由正方形与垂线的性质,易证得:
△DD1A∽△ACB,△EE1B∽△BCA,又由相似三角形的对应边成比例,即可求得DD1与EE1的长,则可求得DD1+EE1的值;
(2)定线段AB长为定值;猜想DD1+EE1=AB;过点C作CH⊥AB,垂足为H;再通过两对全等三角形来证明DD1+EE1=AB即可;
(3)利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”,设M为DE的中点,Q为D1E1的中点,MQ=
1
2
AB且MQ⊥AB,特殊地,当四边形DD1E1E为矩形时,以上结论仍然成立.又因为可证明D1A=E1B,所以D1E1的中点就是AB的中点.所以,不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,线段DE的中点M为定点,此定点M恒在“点C的同侧,与AB的中点Q距离为
1
2
AB长的点上”.
解答:
解:
(1)∵DD1⊥AB、EE1⊥AB,
∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°,
∵四边形ACFD与BEGC是正方形,
∴∠DAC=∠CBE=90°,
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°,
∴∠DAD1=∠ABC,∠EBE1=∠BAC,
∴△DD1A∽△ACB,△EE1B∽△BCA,
∴
DD1
4
=
4
5
,
EE1
3
=
3
5
,
∴DD1=
16
5
,EE1=
9
5
;
∴DD1+EE1=5;
(2)过点C作CK⊥AB于K,
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB,
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°,
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠
EBE1=90°,
∴∠DAD1=∠ACK,∠EBE1=∠BCK,
∵AD=AC,BC=BE,
∴△ADD1≌△CAK,△EBE1≌△BCK,
∴DD1=AK,EE1=BK,
∴DD1+EE1=AB,
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,DD1+EE1的值为定值;
(3)设M为DE的中点,Q为D1E1的中点,
则:
MQ=
1
2
(DD1+EE1)=
1
2
AB且MQ⊥AB,
当四边形DD1E1E为矩形时,以上结论仍然成立.
∴△ADD1≌△CAK,△EBE1≌△BCK,
又∵D1A=CK=E1B,
∴D1E1的中点就是AB的中点.
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化,线段DE的中点M为定点,
∴此定点M恒在“点C的同侧,与AB的中点Q距离为
1
2
AB长的点上”.