圆锥曲线解题技巧经典实用.docx
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圆锥曲线解题技巧经典实用
圆锥曲线一概念、方法、题型、及应试技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义：
〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：
椭圆中，与两个定点F,，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于卩古2，当常数等于带店2时，轨迹是线段F!
F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点Fi，F2的距离的差的绝对值
等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值〞与2a<|F1F2|不可
无视。
假设2a=|F1f2|，那么轨迹是以F1,f2为端点的两条射线，假设2a>|F1f2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点
线距为分母〞，其商即是离心率e。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距
离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化
2
如点Q〔2J2,0〕及抛物线y—上一动点P〔X,y〕,那么y+|PQ|的最小值是4
2.圆锥曲线的标准方程准位置的方程〕：
〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标
〔答:
2〕
2
x2
〔1〕椭圆：
焦点在x轴上时冇
a
2
其中为参数〕，焦点在y轴上时每
a
且A,
2
y
2k
圆的充要条件是什么〔ABo0,
2
x
3k
爲1（ab0）b2
2
x
2=1（ab0）o
b2
B,C同号，AMB）。
yacos〔参数方程,
方程Ax2By2C表示椭
如〔1〕方程
1表示椭圆，那么k的取值范围为
〔答：
11
（3,-）U（-,2））；
2
（2）
___（答:
.,1-、
'2'；
假设x,yR,
■5,2）
且3x2
2y2
6，那么
xy的最大值是
2
y的最小值是
（2）
〔a0,b
号〕。
2
x了=10〕。
方程Ax2By2C表示双曲线的充要条件是什么〔ABO0,且A,B异
双曲线：
焦点在X轴上：
2
X
2
a
2
芯=1,焦点在y轴上：
b
2
y
2
a
如〔1〕双曲线的离心率等于，且与椭圆x
9
2
y1有公共焦点，那么该双曲线的方
4
2
程〔答：
—y21〕；
4
〔2〕设中心在坐标原点0，焦点F,、F2在坐标轴上，离心率e2的双曲线C过点P〔4,〔10〕，那么C的方程为〔答:
x2y26〕
〔3〕抛物线：
开口向右时y22px〔p0〕，开口向左时y22px〔p0〕，开口
22
向上时x2py〔p0〕，开口向下时x2py〔p0〕。
3.圆锥曲线焦点位置的判断〔首先化成标准方程，然后再判断〕：
〔1〕椭圆：
由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
22
如方程一1表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是_〔答：
12m
〔,1〕〔1,|〕〕
〔2〕双曲线：
由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
〔3〕抛物线：
焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:
〔1〕在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的
位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；〔2〕在椭圆中，a最大，a2b2c2，在双曲线中，
222
c最大，cab。
4.圆锥曲线的几何性质：
22
〔1〕椭圆〔以务告1〔ab0〕为例〕：
①范围：
axa,byb；
ab
②焦点：
两个焦点〔c,0〕:
③对称性：
两条对称轴x0,y0,—个对称中心〔0,0〕，
a2
四个顶点〔a,0〕,〔0,b〕，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：
两条准线x
c
c
⑤离心率：
e，椭圆
a
2
女口〔1〕假设椭圆
5
0e1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
2；1025
—1的离心率e-—，那么m的值是〔答：
3或一〕；m53
〔2〕以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，那么椭圆长
轴的最小值为—〔答：
2^2〕
x2y2
〔2〕双曲线〔以一一1〔a0,b0〕为例〕：
①范围：
xa或xa,yR；
a2b2
②焦点：
两个焦点〔c,0〕:
③对称性：
两条对称轴x0,y0,—个对称中心〔0,0〕，两个顶点〔a,0〕，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，
称为等轴双曲线，其方程可设为
x2y2k,k0;④准线：
两条准线x
—；⑤离
c
心率：
eC，双曲线e
a
等轴双曲线
e2e越小，开口越小，e越大,
开口越大；⑥两条渐近线：
y
如〔1〕双曲线的渐近线方程是
3x2y0,那么该双曲线的离心率等于
〔答：
』
2
（2）双曲线ax2by2
1的离心率为・一5,那么a:
b=
〔答：
4或-〕；
4
2
〔3〕设双曲线笃
a
1〔a>0,b>0〕中，离心率e€[...2,2],那么两条渐近线夹角
B的取值范围是
（答:
〔3〕抛物线〔以y2
3
2px〔p0〕为例〕：
①范围：
x0,yR:
②焦点:
一个隹占
I八'、八\、
〔-P0〕，其中p的几何意义是：
焦点到准线的距离；③
2，
对称性
:
一条对称轴
0,没有
对称中心，只有一个顶点〔0,0〕；④准线：
一条准线x
⑤离心率:
-，抛物
a
如设a
0,a
5、点
P（x0,
2
2
X°
y0
2
.2
a
b
2
2
x0
y0
外
R，那么抛物线
2
x
y°〕和椭圆飞
a
2
y4ax的焦点坐标为
的关系：
1;
（2）点P（x0,y°）在椭圆上
2X。
~2a
1）
〔答：
%
）;
〔1〕点P〔x。
y。
〕在椭圆
（3）点P（x0,y°）在椭圆
b21
a2
6•直线与圆锥曲线的位置关系：
〔1〕相交：
0直线与椭圆相交；
曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一
直线与双曲线相交，但直线与双
个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛
物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线
与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必
要条件。
女口〔1〕假设直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，贝Uk的取值范围
（答：
*1））；
（2）直线y—kx—仁0与椭圆
x2
2
y
1恒有公共点，那么m的取值范围是
m
[1,5）U（5,+8））;
x2
（3）过双曲线•
样的直线有
（2）相切：
线与抛物线相切；
（3）相离：
线与抛物线相离。
特别提醒：
（1）
1
（答:
3）；
0
2
J1的右焦点直线交双曲线于
2
直线与椭圆相切;
直线与椭圆相离;
AB两点，假设|AB|
那么这
直线与双曲线相切;
直线与双曲线相离;
直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形
切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点;
2直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；
（2）过双曲线笃a
:
相
如果
2
y=
b2_
1外一点P（x0,y。
）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P点在两条渐近线之间
且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两
条：
一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）
过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
女叭1）过点（2,4）作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有（答：
22
2）;
（2）过点（0,2）与双曲线—乞1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为
916
—（答:
4,口）；
33
2
（3）过双曲线x2乞1的右焦点作直线I交双曲线于AB两点，假设AB4,那么满
2
足条件的直线l有____条（答：
3）;
（4）对于抛物线C：
y24x，我们称满足y024x0的点M（X0,y。
）在抛物线的内部，假设点M（x°,y°）在抛物线的内部，那么直线l:
y°y2（xx。
）与抛物线C的位置关系是（答：
相离）;
（5）过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的
②a1〕；
7、焦半径〔圆锥曲线上的点P到焦点F的距离〕的计算方法
即焦半径red，其中d表示P到与F所对应的准线的距
26八、
〔答：
〔〒，1〕〕；
8、焦点三角形〔椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形〕问题：
常利用第
一定义和正弦、余弦定理求解。
设椭圆或双曲线上的一点P〔x〕,y0〕到两焦点F1,F2的距离
2
x分别为,焦点F1PF2的面积为S,那么在椭圆飞
a
如〔1〕短轴长为.、5，离心率e2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于
3
AB两点，那么ABF2的周长为〔答：
6〕;
〔2〕设P是等轴双曲线x2y2a2〔a0〕右支上一点，F1、F2是左右焦点，假设
〔4〕双曲线的虚轴长为4，离心率e=,Fi、F2是它的左右焦点，假设过Fi的直线
2
与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，那么AB=
〔答:
8忑〕;
〔5〕双曲线的离心率为2,Fi、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且
22
FiPF260,SPFf2I2.3•求该双曲线的标准方程〔答：
；yi〕;
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
〔1〕以过焦点的弦为直径的圆和
准线相切；〔2〕设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，那么/AMF=ZBMF〔3〕设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1,B1，假设P为A1B1的中点，贝UPALPB;〔4〕假设AO的延长线交准线于C,那么BC平行于x轴，反之，假设过B点平行于x轴的直线交准线于C点，贝UA,O,C三点共线。
A、B,且x1,x2分别为AB
10、弦长公式：
假设直线ykxb与圆锥曲线相交于两点
的横坐标，那么AB=Jik2X2，假设Vi,V2分别为A、B的纵坐标，那么AB=Ji4r|ViV2，假设弦AB所在直线方程设为xkyb，那么AB=J1k2"y?
。
\k
特别地，焦点弦〔过焦点的弦〕：
焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
女口〔1〕过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A〔xi,yi〕，B〔X2,y2〕两点，假设Xi+X2=6，
那么|AB|等于〔答：
8〕;
〔2〕过抛物线V2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，|AB|=10，O为坐标
原点，那么△ABC重心的横坐标为〔答：
3〕;
11、圆锥曲线的中点弦问题：
遇到中点弦问题常用“韦达定理〞或“点差法〞求解。
p
y2px〔p0〕中，以P〔x0,V0〕为中点的弦所在直线的斜率k=-o
V0
（答：
x2y80）；
2
X
（2）直线y=—x+1与椭圆—
a
b0）相交于AB两点，且线段
AB的中点在直线L:
x—2y=0上，那么此椭圆的离心率为
（答：
辽）;
2
（3）试确定
的取值范围，使得椭圆
2
-1上有不同的两点关于直线
3
y4xm对称（答:
特别提醒:
因为
213213、,）；
1313
0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、
对称问题时，务必别忘了检验0!
12.你了解以下结论吗
2J1的渐近线方程为
b2
（1）
2
双曲线0
2
a
y-x为渐近线（即与双曲线
a
2X
2a
2X
~2
a
2
y_
b2
2
y
b2
1共渐近线）的双曲线方程为
2
X
~2a
2yb2
（为参数，工0）。
22
如与双曲线—L1有共同的渐近线，且过点
916
2
匕1）
4
（32J3）的双曲线方程为
熒4x2
（答:
-
9
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
2d
ny1;
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为
2
mx
0^，焦准距（焦点到a
-2
相应准线的距离）为—，抛物线的通径为2p，焦准距为p;c
（5）
（6）
通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
假设抛物线y22px（p0）的焦点弦为ABA（X1,yj,B（X2,y2），那么
2
p2
①|AB|捲X2p:
②X1X2,y1y2p
4
（7）假设OAOB是过抛物线y22px（p0）顶点O的两条互相垂直的弦，那么直线AB
恒经过定点（2p,0）
13.动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：
建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：
直接利用条件建立x,y之间的关系F（x,y）0；
如动点P到定点F（1,0）和直线X3的距离之和等于4求P的轨迹方程.（答：
22
y12（x4）（3x4）或y4x（0x3））;
2待定系数法：
所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M（m0）（m0），端点AB到x轴距离之积为2m以x轴为对称轴，过A、OB三点作抛物线，那么此抛物线方程为
（答：
y22x）；
3定义法：
先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
22o
如
（1）由动点P向圆xy1作两条切线PAPB,切点分别为AB,ZAPB=60,贝V动点P的轨迹方程为（答：
xy4）；
（2）点M与点F（4,0）的距离比它到直线I：
X50的距离小于1,那么点M的轨迹方程是（答：
y216x）；
（3）一动圆与两圆OM：
x2y21和ON：
x2y28x120都外切，那么动圆圆心的轨迹为（答：
双曲线的一支）；
4代入转移法：
动点P（x,y）依赖于另一动点Q（x0,y°）的变化而变化，并且Q（x°,y0）
又在某曲线上，那么可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入曲线得要求
的轨迹方程；
2
如动点P是抛物线y2x1上任一点，定点为A（0,1）,点M分PA所成的比为2,那么M的轨迹方程为（答：
y6x21）；
3
5参数法：
当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
女口
（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a,M为圆上一动点，作MNLAB,垂足为N,在OM上取点P，使|OP||MN|，求点P的轨迹。
（答：
x2y2a|y|）；
22
（2）假设点P（x,,y1）在圆xy1上运动，那么点Q（x』1,X1yj的轨迹方程是
21
（答:
y22x1（|x|2））；
（3）过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，那么弦AB的中点M的轨迹方程是（答：
x22y2）；
注意：
①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子〞转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子〞转化。
22
如椭圆笃与1（ab0）的左、右焦点分别是F1
ab
（-c,0）、F2（c,0）,Q是椭圆外的动点，满足|斤0|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
PTTF20,|TF2|0.
（1）设x为点P的横坐标，证明
c
|F1P|ax；〔2〕求点T的轨迹C的方程；〔3〕试问：
在点T的轨迹C上，是否存在a
点M,使厶FiMF的面积S=b2.假设存在，求/FiMF的正切值；假设不存在，请说明理由.〔答:
2）
2曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性〞的影响•
3在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质〞数形结合〔如角平分线
的双重身份一一对称性、利用到角公式〕、“方程与函数性质〞化解析几何问题为代数问题、
“分类讨论思想〞化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系〞等等
4如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点〞，那么可选择应用“斜率或向量〞为桥梁转化•
4、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
〔1〕给出直线的方向向量u1,k或um,n；
〔2〕给出OAOB与AB相交，等于OAOB过AB的中点；
〔3〕给出PMPN0,等于P是MN的中点；
〔4〕给出APAQBPBQ,等于P,Q与AB的中点三点共线;
rr
〔5〕给出以下情形之一：
①ab//ac；②存在实数，使AbAc；③假设存在实
数，，且
uuur
1,使OC
uuuOA
uur
OB,等于代B,C三点共线.
（6）
—OA
OB
等于P是AB的定比分点，
为定比，即
二口出OP
1
APPB
（7）
给出MAMB
0,等于MAMB,即AMB是直角，给出
MAMB
m0,等于
AMB是钝角，给出MAMBm0,等于
AMB
是锐角，
（8）
给出MAMB
MP,等于MP是AMB的平分线/
MAMB
〔9〕在平行四边形ABCD中，给出〔ABAD〕〔ABAD〕0,等于ABCD是菱形；
uuuuuiruuuuuur
〔10〕在平行四边形ABCD中，给出|ABADIIABAD|，等于ABCD是
矩形；
2■2■2
〔11〕在ABC中，给出OAOBOC，等于O是ABC的外心〔三角
形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点〕；
〔12〕在abc中，给出OAObOC0，等于o是abc的重心〔三角形的重心是三角形三条中线的交点〕；
〔13〕在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于O是ABC的
垂心〔三角形的垂心是三角形三条高的交点〕；
uuuuuu
〔14〕在ABC中，给出OPOA〔-A竄uuC〕〔R〕等于AP通过
|AB||AC|
ABC的内心；
〔15〕在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于O是ABC的内心
〔三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点〕；
UULT1UJUUULT
〔16〕在ABC中，给出ADABAC,等于AD是ABC中BC边的
2
中线；
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