倒立摆仿真及实验报告.docx
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倒立摆仿真及实验报告
最优控制实验报告
二零一五年一月
第1章一级倒立摆实验
一级倒立摆动力学建模
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示
图11直线一级倒立摆模型
M小车质量1.096kg；
m摆杆质量0.109kg；
b小车摩擦系数0.1N/m/sec；
l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m；
I摆杆惯量0.0034kg·m2；
摆杆与垂直向上方向的夹角，规定角度逆时针方向为正；
x小车运动位移，规定向右为正。
一级倒立摆非线性模型建立
采用拉格朗日方法，系统的拉格朗日方程为：
其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的势能。
拉格朗日方程由广义坐标
和L表示为：
为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，系统的两个广义坐标分别为
和
。
系统动能：
系统的势能
由于在广义坐标
上应用拉格朗日方程，由于此广义坐标上无广义力，则
得到：
在simulink中建立非线性仿真动力学模型
图12一级倒立摆非线性动力学模型
其中MATLABFunction模块中代码如下：
functiondw=fcn（u,phi）
I=0.0034;
m=0.109;
l=0.25;
g=9.8;
dw=（m*g*l*sin（phi）+m*l*u*cos（phi））/（I+m*l*l）;
一级倒立摆线性模型建立
由，且对于质量均匀分布的摆杆有
，将
代入有
将其在平衡位置
处进行线性化，
，且有
得到
输入
，将系统写为如下状态空间描述形式
在simulink中建立线性仿真动力学模型，只需将1.1.1里建立的非线性模型中MATLABFunction模块代码更改为
dw=29.493*phi+3*u;
一级倒立摆t∞状态调节器仿真
对于线性定常系统的状态方程为
给定初始条件
，终端时间
。
求最优控制
使系统的二次型性能指标
取极小值。
式中
——常数矩阵；
——半正定对称阵；
——正定对称矩阵。
控制不受约束，最优控制存在且唯一，即
式中，
为
维正定常数矩阵，满足里卡提矩阵代数方程
对于线性定常系统无限时间状态调节器问题，要求系统完全能控。
求解出上方程，即可得到最优控制
。
试验中的一级倒立摆模型可以线性化为定常系统，其中系数矩阵为
;
;
;
公式中选定不同的Q，R值，Q4×4为半正定矩阵，R1×1为正定矩阵，通过求解代数黎卡提方程（利用Matlab里面的lqr函数）可以得到最优控系数
控制率为
Q、R的形式可设计为
因为二次型最优控制是使得二次型性能指标取极小值，故只需改变Q矩阵中元素的值即可，不用改变R的取值，即只要保证Q与R的相对大小即可。
其中，Q矩阵中Q11代表小车位置的权重，Q22代表小车速度的权重，Q33代表摆杆角度的权重，Q44为摆杆角速度的权重。
仿真实验模型如下
图13仿真实验模型
设定角度初始值为10°，角速度与小车速度初值均为0。
下面按照一定的依据选取Q中非零元素的值进行仿真实验，并进行分析。
取一组标准值方便对比Q11=Q22=Q33=Q44=2。
响应曲线如下图，在后续研究中，若无特殊说明Q中元素分别取此标准值。
考虑到实际系统中小车轨道长度有限，取上述参数时发现位置相对零点波动的绝对值最大达到了0.3m以上，这在实际系统中是难以正常进行试验的，所以要对参数进行调整改进，下面分别研究各个参数变化时对系统响应的影响。
图14Q11=Q22=Q33=Q44=2时角度与位置变化曲线
（1）分析小车位置的权重对于响应曲线的影响。
其他参数不变的情况下，小车位置权重Q11分别取为2、20、200、1000时观察角度与位置变化曲线如图11图15所示。
图15位置权重对响应的影响
由图15可以看出，随着Q11的增加，角度变化曲线的稳态时间缩短，但超调量有所增大；位置变化曲线特性改进明显，稳态时间与绝对的超调值都显著减小，可见增大Q11的值会改进系统特性。
（2）分析小车速度的权重对响应曲线的影响
小车速度权重Q22分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图16所示
图16小车速度权重对响应曲线的影响
随着Q22的增大，角度曲线特性得到一定改善，绝对超调减小，且稳态时间减小；但对于小车位置曲线来说，虽然绝对超调变小了，但很明显稳态时间大大增加了，由于Q22代表的是小车的速度权重，可以类比为引入了阻尼项，减小超调的同时会增大稳态时间，这是我们并不希望的。
故而Q22的值不能太大，要保证Q22取值不超过Q11。
（3）分析摆杆角度的权重对响应曲线的影响
小车速度权重Q33分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图17所示
图17摆杆角度权重对响应曲线的影响
随着Q33的增大，角度曲线的绝对超调减小，但是相应的导致了稳态时间的增加；小车位置相应曲线超调减小，同样的也是稳态时间增加了。
而且可以看出，Q33对小车位置曲线的影响远不如Q11和Q22对小车位置响应的影响。
（4）分析摆杆角速度的权重对响应曲线的影响
小车速度权重Q44分别取为2、20、200、1000时得到角度与位置随时间变化曲线如图18所示
由图18可知，随着Q44的增大，角度变化曲线稳态时间有一定程度的增加，曲线变化稍见平缓，即曲线斜率的最大值变小了，但绝对超调基本没变；小车位置的响应特性随Q44的增大而变坏，绝对超调大幅上升，稳态时间也明显变长。
所以Q44的值不能取的太大。
要注意的是，Q44取值变化过程中Q矩阵其他元素取的均为上文所提标准值，标准值取的是很小的，所以在确定参数时，只要保证Q44的值不能比Q33大即可，图18只是提供了分析的依据，不能直接根据上图的曲线进行选择。
图18摆杆角速度权重对响应曲线的影响
以上分析为Q矩阵中非零元素的选取提供了一定的依据，总的来说Q11与Q33的值越大越好，但过大的话可能会对执行器即电机提出过高的要求，而Q22与Q44的取值尽量不能比其他两个元素值大。
一级倒立摆t∞状态调节器实验
根据以上分析，选取几组实物实验Q矩阵中的元素值，并将仿真结果与之对比如图19至图111所示，对比仿真结果与实验结果的异同，分析产生此现象的原因。
由于仿真与实物实验的初始条件很难做到完全一致，如对于实物实验来说，由于编码器为一相对式码盘，所以倒立摆稳定状态为-
而不是仿真实验中的0rad，而且由于实物实验中倒立摆是由下垂状态人为慢慢上摆至满足倒立摆稳定系统起控条件的，在缓慢移动过程中，很难做到倒立摆起控时摆杆的角速度为0，即初始条件难以精确确定。
所以只需比较仿真与实物实验得到的曲线特性中如绝对超调，稳态时间即可。
此外，在实验过程中，可以发现倒立摆摆杆转动到大概为平衡位置附近10°时，倒立摆起控，这样在处理实验数据时可以将起控之前的无控状态去掉，只将有效的部分画出来即可，方便观察曲线特性。
表11状态调节Q矩阵中非零元素不同取值
Q11
Q22
Q33
Q44
第一组
1000
1000
100
100
第二组
100
100
1000
1000
第三组
1000
1000
1000
1000
图19第一组状态调节器参数下响应图
图110第二组状态调节器参数下响应图
图111第三组状态调节器参数下响应图
第一组参数下，仿真与实物实验得到的曲线特性吻合较好，稳态时间与绝对超调量都比较相近；但第二组参数位置曲线的超调相差较大，分析原因可能是在将倒立摆扶至起控位置左右时没有缓缓转动导致起控时摆杆有一定的角速度，初始条件相差较大导致曲线相差较大；第三组参数下实物实验得到的角度与位置曲线都存在稳态误差，尤其是位置误差为5cm左右，误差比较大，分析原因可能是系统的硬件问题，因为就算法来说，状态调节器是不可能将末态稳定在非零点出的。
一级倒立摆t∞输出调节器仿真
对于线性定常系统
给定初始条件
，终端时间
。
求最优控制
，使系统的二次型性能指标为
要求系统完全能观测，且控制不受约束。
则可求解代数黎卡提方程得到正定对称矩阵P
最优控制存在且唯一
此时倒立摆系统的
为2×2阶的，若设计
则
所以在给定Q的上述形式后可以发现，输出调节器和的代数黎卡提方程的形式与状态调节器时是一致的，只需将状态调节器中Q的第二行第二列和第四行第四列的元素值设置为零，调节Q11和Q33计算出的反馈比例系数既是输出调节器下的反馈系数。
设定标准状态为Q11=Q33=100，选取不同的参数进行仿真并对比曲线特性。
如至所示
图112输出调节器下小车位置权重对曲线的影响
上图为当Q33=100，时Q11分别取10、100和1000时的响应曲线，可以看出，增大小车位置的权重可有效缩短稳态时间，并减小小车位置变化曲线的绝对超调，但是会增加摆杆变化曲线的绝对超调。
图113输出调节器下摆杆角度权重对曲线的影响
Q11=100，Q33分别取10、100、1000时摆杆角度和小车位置的响应曲线如上图，提高Q33的值可减响应曲线的超调，对角度曲线的稳态时间无大的影响，但会增加位置响应的稳态时间。
一级倒立摆t∞输出调节器实验
选取几组实物实验Q矩阵中的元素值，如表12所示。
得到各组参数下摆杆角度和小车位置响应如至所示。
表12输出调节实验选定参数
Q11
Q33
第一组参数
1000
100
第二组参数
100
1000
第三组参数
1000
1000
图114输出调节器第一组参数下响应曲线
图115输出调节器第二组参数下响应曲线
图116输出调节器第三组参数下响应曲线
由图114至图116可以看出，各组参数下响应的稳态时间与绝对超调指标都相当好，对比发现甚至优于仿真结果，分析原因与上相同即在手动将摆杆转动至起控位置时可能没有把握好摆杆角速度的变化，导致角速度初值过大，分析可以发现当摆杆角速度有一定初值且方向与手动摆起的旋向一致时，是利于倒立摆的摆起的，所以响应曲线性能变好。
一级倒立摆非零给定调节器仿真
从本质上来说，非零给定点调节器是基于传统的传递函数的角度来分析的。
非零给定调节器指的是给定一个位置信息，使得倒立摆稳定后小车稳定在给定的位置上。
则可以将小车位置作为输出，小车加速度作为输入，系统要做的是使输出值与输入值相等。
引入状态反馈后的系统传递函数矩阵为
注意到其为一
的矩阵，对应的为单输入双输出系统，输入是小车加速度，输出是小车位置及摆杆角度。
当系统稳定即时间趋于无穷时，由拉普拉斯终值定理可知传递函数变为
此可以视作闭环系统的直流增益，简单的说就是一比例系数，第一行第一列为输出到小车位置的直流增益，一般情况下是不为1的，这就引出了非零给定调节器的问题。
当利用lqr算法求出反馈系数矩阵K时，计算出
，并将第一行第一列的元素取倒数表示为
，将给定的位置与此数相乘后再作为输入来控制小车，这样既可以达到非零给定的目的，图13已经simulink模块实现展示，
即为图13中的Wc（0）^-1。
由上文中对状态调节器和输出调节器的仿真及实物实验可以看出，当改变Q矩阵中代表小车速度和摆杆角速度元素的值为非零时，可以改善响应的阻尼特性，但同时会使稳态时间特性受到较大影响。
非零给定点的仿真中采用输出调节器的形式。
选取Q11=1000，Q33=200，期望小车稳定位置yd=0.2m。
计算出状态反馈矩阵K=[-31.6228-20.130472.821013.1537]，代入公式求得
仿真结果如图117所示。
图117非零给定输出调节器响应曲线
小车位置稳定在距离原点0.2m处。
可以发现求出的
中
为零，且已知
代表输入为加速度，输出为摆杆角度的传递函数，传递函数有零点，
没有意义，这在实际物理系统中也是明确的，即不能使二次型最优控制下的倒立摆系统摆杆稳定在不平衡的位置。
细心观察还可以发现，
就等于反馈矩阵K中的第一个元素。
1.1一级倒立摆非零给定调节器实验
参数与仿真中一致，得到实物实验下非零给定调节器的小车位置及摆杆角度曲线如图118所示
图118非零给定调节器实物实验响应曲线
第2章二级倒立摆实验
二级倒立摆动力学模型
为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。
二级倒立摆的组成如图21所示。
图21直线两级倒立摆物理模型
倒立摆参数定义如下：
M——小车质量；
m1——摆杆1的质量，为0.05kg；
m2——摆杆2的质量，为0.13kg；
m3——质量块的质量，为0.236kg；
——摆杆1中心到转动中心的距离，为0.0775m；
——摆杆2中心到转动中心的距离，为0.25m；
——摆杆1与竖直方向的夹角，规定逆时针为正；
——摆杆2与竖直方向的夹角，规定逆时针为正；
——作用在系统上的外力；
二级倒立摆非线性模型建立
利用拉格朗日方程推导运动学方程：
拉格朗日方程为：
其中，L为拉格朗日算子，
为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的势能。
，
为系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别是
。
系统动能
其中，
为小车动能，
为摆杆1的动能，
为摆杆2动能，
为质量块动能。
系统势能
经过推导，可得用
表示的
如下：
二级倒立摆线性模型建立
将其在平衡位置处进行泰勒展开并线性化，可以得到状态空间方程如下
二级倒立摆t∞状态调节器仿真
二级倒立摆的状态调节器在原理上是与一级倒立摆相同的，故在此不再赘述。
关键还是求解代数黎卡提方程P，进而求得反馈矩阵K。
二级倒立摆系统的状态空间方程已由公式给出。
状态调节器的二次型最优性能指标中的Q矩阵与R矩阵形式如为
只需改变Q矩阵中非零元素的值，即可求得不同性能指标下的反馈矩阵。
其中Q11代表小车位置的权重，Q22代表摆杆1角度的权重，Q33代表摆杆2角度的权重，Q44代表小车速度的权重，Q55代表摆杆1角速度的权重，Q66代表摆杆2角速度的权重。
系统的仿真模型如图22所示，设定角度初值
，小车位置，速度即摆杆1、2角速度初值均为0。
图22二级倒立摆仿真模型
其中动力学子模块如下
图23动力学子模块
lip2_lqr_fcn.m为用m文件建立的动力学方程，即公式、。
内容如下：
functiondw=lip2_lqr_fcn（par）
m1=0.05;
m2=0.13;
m3=0.236;
l1=0.0775;
l2=0.25;
g=9.831;
theta1=par
（1）;
d_theta1=par
（2）;
theta2=par（3）;
d_theta2=par（4）;
u=par（5）;
c1=（2*l1*（-4*m1-12*m2-12*m3+9*m2*cos（theta1-theta2）^2））;
a1=-2*m1*g*sin（theta1）;
a2=-4*m2*g*sin（theta1）;
a3=-4*m3*g*sin（theta1）;
a4=3*m2*g*cos（theta2-theta1）*sin（theta2）;
a5=6*m2*l1*cos（theta1-theta2）*sin（theta1-theta2）*d_theta1^2;
a6=4*m2*l2*sin（theta1-theta2）*d_theta2^2;
a7=-2*m1*u*cos（theta1）;
a8=-4*m2*u*cos（theta1）;
a9=-4*m3*u*cos（theta1）;
a10=3*m2*u*cos（theta1-theta2）*cos（theta2）;
dw
（1）=3*（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10）/c1;
c2=-16/9*m2*（m1+3*（m2+m3））*l1^2*l2^2+4*（m2*l1*l2）^2*cos（theta1-theta2）^2;
b1=-4/9*m2*（m1+3*m2+3*m3）*l1^2*l2*（-3*g*sin（theta2）-6*l1*d_theta1^2*sin（theta1-theta2）-3*u*cos（theta2））;
b2=2/3*m2*l1^2*l2*cos（theta1-theta2）*（6*m2*l2*d_theta2^2*sin（theta1-theta2））;
b3=2/3*m2*l1^2*l2*cos（theta1-theta2）*（-3*（m1+2*m2+2*m3）*（g*sin（theta1）+u*cos（theta1）））;
dw
（2）=-（b1+b2+b3）/c2;
由于在一级倒立摆时已经对Q矩阵中各个非零元素取值不同对响应曲线造成的影响进行了充分的分析，二级摆与一级摆原理相同，也遵循同样的结论。
可以确定的是速度项权重应比位置或角度的权重要小，在更看重稳态时间而对超调相对放松的情况下，Q44~Q66可以比Q11~Q33小一个量级。
而且摆杆角度的权重取值过大对响应特性影响不大，故而可以不取太大的值。
综上，可取Q11=600，Q22=200，Q33=200，Q44=10，Q55=10，Q66=10。
计算得到反馈矩阵K=[14.1421126.2368-209.390816.68074.0884-34.0530]。
响应曲线如图24所示：
图24二级倒立摆状态调节器仿真
可以看出，即使在初始值设定比较小时，角度的超调也是比较大的，而且摆杆1即下面的摆杆角度绝对超调很大，这意味着在进行实物实验时，将摆杆竖起至起控这个过程实现的可能比一级倒立摆时更加困难些，而且摆杆1的竖起状况对实验成功与否有很大影响。
所以在进行实物实验时，应尽量将摆杆1先竖直，然后再缓缓转动摆杆2至系统起控。
二级倒立摆t∞状态调节器实验
将2.2中计算出的反馈矩阵K应用于实物实验，得到角度与位置变化曲线如图25所示。
可以看出，最终角度和位置都稳定下来。
摆杆1到达稳态时仍有1~2°的角度波动，相比而言摆杆2的角度波动就很小了。
这是由二级摆本身复杂的动力学特性及实验硬件条件所决定的；而位置变化曲线稳态时距离零点处较远，稳态偏差约为0.05m，与老师交流后认为这并不是算法问题，而是硬件导致的，只要二级倒立摆最终稳定且角度波动幅度不大，就可以认为实验成功。
图25二级倒立摆状态调节器实验响应曲线
二级倒立摆t∞输出调节器仿真
对于二级倒立摆输出调节器来说，同一级倒立摆的情况相同，可以直接调节状态调节器中Q矩阵中元素的值来实现输出调节器状态反馈矩阵K的求解。
只需将代表小车速度和两个摆杆角速度权重的Q44、Q55、Q66设置为0，然后调节其他非零元素即可。
令Q11=600，Q22=200，Q33=200，解代数黎卡提方程，求状态反馈矩阵为
K=[14.1421102.1159-174.705615.41952.9694-28.2019]
得到此状态反馈下的响应曲线如图26所示：
图26二级倒立摆输出调节器仿真响应曲线
二级倒立摆t∞输出调节器实验
使用2.4节中的参数，将反馈矩阵填入simulink模型中，可以得到实物实验下二级倒立摆的输出调节器响应曲线如图27所示：
图27二级倒立摆输出调节器实验响应曲线
从响应曲线可以看出，输出调节器下的状态反馈可以使倒立摆稳定，摆杆1稳态时有约1°的角度波动，摆杆2几乎没有波动；小车位置没有很好地稳定在零点，同2.4节状态调节器中情况相同，是硬件问题，认为此次实验成功。
二级倒立摆非零给定调节器仿真
二级倒立摆非零给定调节器与一级倒立摆的原理是相同的，都是计算出小车位置对系统输入传递函数的直流增益，然后求逆得到一放大系数，将小车期望稳定的位置与此系数相乘之后接入系统作为输入。
选择Q矩阵中非零元素的值为Q11=500，Q22=500，Q33=500，其余元素均设为零。
求得反馈矩阵为：
K=[22.3607113.0949-212.423622.31472.1723-34.7831];
则系统传递函数的直流增益即静放大系数为
其中
即为小车位置对系统输入的传递函数的静放大系数，求得
，则
。
设定期望小车稳定的位置为距原点0.2m处，仿真结果如图28所示：
图28二级倒立摆非零给定调节器仿真响应曲线
二级倒立摆非零给定调节器实验
利用2.6节中得到的能够实现非零给定调节的参数，将反馈矩阵K输入程序中，得到实物实验下的摆杆角度和小车位置变化曲线如图29所示。
图29二级倒立摆非零给定调节器实物实验下响应曲线
可以看出，当希望小车稳定在其他位置时，摆杆角度的超调明显变大，这与仿真结果是相符的，小车位置约有0.02m的稳态误差，这是可以接受的。
可以认为非零给定调节器实验成功。
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