最新初中数学《图形的全等》经典习题.docx
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最新初中数学《图形的全等》经典习题
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send送/寄sentsent
understand了解understoodunderstood
teach教taughttaught平面图形的认识
试卷副标题
1.命题①邻补角互补;②对顶角相等;③同旁内角互补;④两点之间线段最短;⑤直线都相等;⑥任何数都有倒数;⑦如果a2=b2,那么a=b;⑧三角对应相等的两三角形全等;⑨如果∠A+∠B=90°,那么∠A与∠B互余.其中真命题有…( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
2.下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠DB.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
C.AC=DF,∠B=∠F,AB=DED.∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DF
3.下列说法中不正确的是( )
A.全等三角形的周长相等B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形能重合D.全等三角形一定是等边三角形
4.给出下列各命题:
①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等;
②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等;
③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等;
④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等;
其中假命题共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是( )
A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF
6.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是( )
A.50B.62C.65D.68
7.如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,交点为C,则图中全等三角形共有( )
A.2对B.3对C.4对D.5对
8.下列不能判定三角形全等的是( )
A.如图
(1),线段AD与BC相交于点O,AO=DO,BO=CO.△ABO与△BCO
B.如图
(2),AC=AD,BC=BD.△ABC与△ABD
C.如图(3),∠A=∠C,∠B=∠D.△ABO与△CDO
D.如图(4),线段AD与BC相交于点E,AE=BE,CE=DE,AC=BD.△ABC与△BAD
9.如图,AC=DF,∠ACB=∠DFE,点B、E、C在一条直线上,则下列条件中不能断定△ADC≌DEF的是( )
A.∠A=∠DB.BE=CFC.AB=DED.AB∥DE
10.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )
A.
B.4C.
D.5
11.如图,已知△ACF≌△DBE,∠E=∠F,AD=9cm,BC=5cm,AB的长为 cm.
12.如图,在△ABC和△BAD中,若∠C=∠D,再添加一个条件,就可以判定△ABC≌△BAD你添加的条件是 .
13.如图,已知AC=BD,则再添加条件 ,可证出△ABC≌△BAD.
14.如图,已知∠ABC=∠DCB,现要说明△ABC≌△DCB,则还要补加一个条件是 或 或 .
15.如图,如果△ABC≌△DEF,△DEF周长是32cm,DE=9cm,EF=13cm,∠E=∠B,则AC= cm.
16.如图,△ABC≌△EFC,CF=3cm,CE=4cm,∠F=36°,则BC= cm,∠B= 度.
17.如图,已知AB=AC,D为∠BAC的角平分线上面一点,连接BD,CD;如图2,已知AB=AC,D、E为∠BAC的角平分线上面两点,连接BD,CD,BE,CE;如图3,已知AB=AC,D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点,连接BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,依次规律,第n个图形中有全等三角形的对数是 .
18.如图,将标号为A,B,C,D的正方形沿图中的虚线剪开后,得到标号为N,P,Q,M的四个图形,试按照“哪个正方形剪开后与哪个图形”的对应关系填空:
A与 对应;B与 对应;C与 对应;D与 对应.
19.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论有 (填序号).
20.如图,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC,那么图中全等三角形共有 对.
21.如图,在△ABC中,已知∠DBC=60°,AC>BC,又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC
(1)证明:
△C′BD≌△B′DC;
(2)证明:
△AC′D≌△DB′A;
(3)对△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB′,从面积大小关系上,你能得出什么结论?
22.如图,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证:
AC=BF.
23.如图,已知:
△ABC中,∠ACB=90°,D为AC边上的一点,E为DB的中点,CE的延长线交AB于点F,FG∥BC交DB于点G.试说明:
∠BFG=∠CGF.
24.如图
(1),A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,试证明BD平分EF,若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图
(2)时,其余条件不变,上述结论是否成立?
请说明理由.
25.如图,两个全等的直角三角形△ABC和△A1B1C1中,∠ACB=∠A1C1B1=90°,两条相等的直角边AC,A1C1在同一直线上,A1B1与AB交于O,AB与B1C1交于E1,A1B1与BC交于E.
(1)写出图中除△ABC≌△A1B1C1外的所有其它各组全等三角形(不再连线和标注字母);
(2)求证:
B1E1=BE.
26.
(1)在图1中,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN.∠ABC=∠ADC=90°,则能得如下两个结论:
①DC=BC;②AD+AB=AC.请你证明结论②;
(2)在图2中,把
(1)中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
27.如图,点E在△ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于F.若∠1=∠2=∠3,AC=AE,请说明△ABC≌△ADE的道理.
28.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图2),你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由.
29.已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.
(1)求证:
BF=AC;
(2)求证:
CE=
BF;
(3)CE与BG的大小关系如何?
试证明你的结论.
30.如图,AD=BC,请添加一个条件,使图中存在全等三角形并给予证明.
你所添加的条件为:
;得到的一对全等三角形是△ ≌△ .
参考答案
1.B
【解析】
试题分析:
根据邻补角互补,对顶角相等的性质,线段的性质,直线的性质,倒数的特殊规定,绝对值的选择性,全等三角形的判定,余角的定义对各小题分析判断后即可求解.
解:
①邻补角互补,正确;
②对顶角相等,正确;
③被截线不平行则同旁内角不互补,故本小题错误;
④两点之间线段最短,是线段的性质,正确;
⑤直线是向两方无限延伸的,没有长短,故本小题错误;
⑥0没有倒数,故本小题错误;
⑦如果a2=b2,那么a=b或a=﹣b,故本小题错误;
⑧三角对应相等的两三角形相似但不一定全等,故本小题错误;
⑨如果∠A+∠B=90°,那么∠A与∠B互余,是定义,正确.
综上所述,真命题有①②④⑨共4个.
故选B.
考点:
对顶角、邻补角;倒数;线段的性质:
两点之间线段最短;全等三角形的判定.
点评:
本题是对基础知识的综合考查,熟记概念与性质是解题的关键.
2.D
【解析】
试题分析:
全等三角形的判定方法有:
SAS,ASA,AAS,SSS,而SSA,AAA都不能判定两三角形全等,根据以上内容判断即可.
解:
A、根据AB=DE,BC=EF,∠A=∠D,不能判断△ABC≌△DEF,故本选项错误;
B、根据∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,不能判断△ABC≌△DEF,故本选项错误;
C、根据AC=DF,∠B=∠F,AB=DE,不能判断△ABC≌△DEF,故本选项错误;
D、∵在△ABC和△DEF中
,
∴△ABC≌△DEF(AAS),故本选项正确;
故选D.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查了全等三角形的判定的应用,题目比较好,但是一道比较容易出错的题目,全等三角形的判定方法有:
SAS,ASA,AAS,SSS.
3.D
【解析】
试题分析:
根据全等三角形的性质得出AB=DE,AC=DF,BC=EF,即可判断A;根据全等三角形的性质得出△ABC和△DEF放在一起,能够完全重合,即可判断B、C;根据图形即可判断D.
解:
A、∵△ABC≌△DEF,
∴AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴AB+AC+BC=DE+DF+EF,故本选项错误;
B、∵△ABC≌△DEF,
即△ABC和△DEF放在一起,能够完全重合,即两三角形的面积相等,故本选项错误;
C、∵△ABC≌△DEF,
即△ABC和△DEF放在一起,能够完全重合,故本选项错误;
D、如图△ABC和DEF不是等边三角形,但两三角形全等,故本选项正确;
故选D.
考点:
全等三角形的性质.
点评:
本题考查了全等三角形的定义和性质的应用,能运用全等三角形的有关性质进行说理是解此题的关键,题目较好,但是一道比较容易出错的题目.
4.B
【解析】
试题分析:
根据三角形全等的判定方法即可解得,做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证.
解:
①符合SAS,成立;
②SSA不符合三角形全等的条件;
③符合SAS,是真命题;
④没有对应相等不符合三角形全等的条件,是假命题.则正确的是①和③.
故选B.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、SSA、HL.
注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
5.B
【解析】
试题分析:
全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等,且这两边的夹角相等的两三角形全等,已知AB=DE,BC=EF,其两边的夹角是∠B和∠E,只要求出∠B=∠E即可.
解:
A、根据AB=DE,BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误;
B、∵在△ABC和△DEF中
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),故本选项正确;
C、∵BC∥EF,
∴∠F=∠BCA,根据AB=DE,BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误;
D、根据AB=DE,BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误.
故选B.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用,注意:
有两边对应相等,且这两边的夹角相等的两三角形才全等,题目比较典型,但是一道比较容易出错的题目.
6.A
【解析】
试题分析:
由AE⊥AB,EF⊥FH,BG⊥AG,可以得到∠EAF=∠ABG,而AE=AB,∠EFA=∠AGB,由此可以证明△EFA≌△ABG,所以AF=BG,AG=EF;
同理证得△BGC≌△DHC,GC=DH,CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积.
解:
∵AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°,
∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG,
∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG
∴AF=BG,AG=EF.
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH,CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=
(6+4)×16﹣3×4﹣6×3=50.
故选A.
考点:
全等三角形的判定与性质.
点评:
本题考查的是全等三角形的判定的相关知识.作辅助线是本题的关键.
7.C
【解析】
试题分析:
根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段,然后猜想可能全等的三角形,然后一一进行验证,做题时要由易到难,循序渐进.
解:
①△ODC≌△OEC
∵BD⊥AO于点D,AE⊥OB于点E,OC平分∠AOB
∴∠ODC=∠OEC=90°,∠1=∠2
∵OC=OC
∴△ODC≌△OEC(AAS)
∴OE=OD,CD=CE;
②△ADC≌△BEC
∵∠CDA=∠CEB=90°,∠3=∠4,CD=CE
∴△OBE≌△OCD(AAS)
∴AC=BC,AD=BE,∠B=∠A;
③△OAC≌△OBC
∵OD=OE
∴OA=OB
∵OA=OB,OC=OC,AC=BC
∴△ABO≌△ACO(SSS);
④△OAE≌△OBD
∵∠ODB=∠OEA=90°,OA=OB,OD=OE
∴△AEC≌△ADB(HL).
故选C.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查了全等三角形的判定方法;全等三角形的判定方法一般有:
AAS、SAS、ASA、SSS、HL.应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用,做题时要做到不重不漏.提出猜想,证明猜想是解决几何问题的基本方法.
8.C
【解析】
试题分析:
全等三角形的判定定理有:
SAS、ASA、AAS、SSS,只要具备以上四种方法中的一种,即可判定联三角形全等.
解:
A、因为∠AOB=∠DOC,根据SAS可判断△ABO≌△DCO,故本选项错误;
B、AB=AB,根据SSS可证出△ABC≌△ABD,故本选项错误;
C、全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS,根据已知不能得出以上三个条件,即两三角形不全等,故本选项正确;
D、∵AE=BE,CE=DE,
∴AD=BC,
∵AB=AB,AC=BD,根据SSS可证出△ABC≌△BAD,故本选项错误.
故选C.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查了全等三角形的判定的应用,注意:
全等三角形的判定有:
SAS、ASA、AAS、SSS,题型较好,但是一道比较容易出错的题目.
9.C
【解析】
试题分析:
根据全等三角形的判定ASA推出三角形全等,即可判断A;求出BC=EF,根据SAS即可判断B;根据有两边和其中一边的对角相等不能判断两三角形全等,即可判断C;根据平行线性质推出∠B=∠DEF,根据AAS即可判断D.
解:
A、在△ABC和△DEF中
,
∴△ABC≌△DEF,故本选项错误;
B、∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中
,
∴△ABC≌△DEF,故本选项错误;
C、根据AB=DE,∠ACB=∠DFE,AC=DF,不能判定△ABC和△DEF全等,故本选项正确;
D、∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF,
在△ABC和△DEF中
,
∴△ABC≌△DEF,故本选项错误;
故选C.
考点:
全等三角形的判定;平行线的性质.
点评:
本题考查了平行线性质和全等三角形的判定的应用,熟练地运用定理进行推理是解此题的关键,题目比较好,难度适中.
10.B
【解析】
试题分析:
由∠ABC=45°,AD是高,得出BD=AD后,证△ADC≌△BDH后求解.
解:
∵∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴AD=BD,∠ADC=∠BDH,
∵∠AHE+∠DAC=90°,∠AHE+∠C=90°,
∴∠AHE=∠BHD=∠C,
∴△ADC≌△BDH,
∴BH=AC=4.
故选B.
考点:
全等三角形的判定与性质.
点评:
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、SSA、HL.由∠ABC=45°,AD是高,得出BD=AD是正确解答本题的关键.
11.2
【解析】
试题分析:
AB不是全等三角形的对应边,但它通过全等三角形的对应边转化为AB=CD,而使AB+CD=AD﹣BC可利用已知的AD与BC求得.
解:
∵△ACF≌△DBE,∠E=∠F,
∴CA=BD,
∴CA﹣BC=DB﹣BC,
即AB=CD,
∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4(cm),
∴AB=2(cm).
故填2.
考点:
全等三角形的性质.
点评:
本题主要考查了全等三角形的对应边相等.难点在于根据图形得到线段AB=CD,也是解决本题的关键.
12.∠DAB=∠CBA(答案不唯一)
【解析】
试题分析:
由图可知,AB是公共边,然后根据全等三角形的判定方法选择添加不同的条件即可.
解:
∵∠C=∠D,AB是公共边,
∴可添加∠DAB=∠CBA或∠DBA=∠CAB,
故答案为:
∠DAB=∠CBA(答案不唯一).
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查了全等三角形的判定,根据∠D、∠C是公共边AB的对角,只能选择利用“角角边”证明两三角形全等添加条件.
13.∠CAB=∠DBA@BC=AD
【解析】
试题分析:
本题要判定△ABC≌△ADC,已知AC=BD,AB是公共边,具备了两组边对应相等,故添加BC=AD、∠CAB=∠DBA,后可分别根据SSS、SAS、能判定△ABC≌△ADC.
解:
AC=BD,AB是公共边,加∠CAB=∠DBA,就可以用SAS证出△ABC≌△BAD;
加BC=AD就可以用SSS证出△ABC≌△BAD.
故填∠CAB=∠DBA@BC=AD.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
14.∠A=∠DAB=CD∠ACB=∠DBC
【解析】
试题分析:
要证明△ABC≌△DCB,已知∠ABC=∠DCB,且有一个公共边BC=BC,则可以添加一组角从而利用AAS、ASA判定其全等;添加边从而利用SAS判定其全等.
解:
补充∠A=∠D.
∵∠ABC=∠DCB,BC=BC,∠A=∠D
∴△ABC≌△DCB(AAS)
补充∠ACB=∠DBC.
∵∠ABC=∠DCB,BC=BC,∠ACB=∠DBC
∴△ABC≌△DCB(ASA)
补充AB=CD.
∵∠ABC=∠DCB,AB=CD,BC=BC
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴故填∠A=∠D或AB=CD或∠ACB=∠DBC.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.
15.10
【解析】
试题分析:
根据△DEF周长是32cm,DE=9cm,EF=13cm就可求出第三边DF的长,根据全等三角形的对应边相等,即可求得AC的长.
解:
DF=32﹣DE﹣EF=10cm.
∵△ABC≌△DEF,∠E=∠B,
∴AC=DF=10cm.
考点:
全等三角形的性质.
点评:
本题考查全等三角形的性质,解题时应注重识别全等三角形中的对应边,要根据对应角去找对应边.
16.336
【解析】
试题分析:
运用“全等三角形的对应边相等,对应角相等”即可得,做题时要根据△ABC≌△EFC找对对应边.
解:
∵△ABC≌△EFC,CF=3cm,∠F=36,
∴BC的对应边是CF,∠B的对应角是∠F,
∴BC=FC=3cm,∠B=∠F=36°.
故填3,36.
考点:
全等三角形的性质.
点评:
本题考查了全等三角形的性质及对应关系的找法;全等三角形书写时各对应顶点应在同一位置,找准对应关系是解决本题的关键.
17.
【解析】
试题分析:
根据图形得出当有1点D时,有1对全等三角形;当有2点D、E时,有3对全等三角形;当有3点D、E、F时,有6对全等三角形;根据以上结果得出当有n个点时,图中有
个全等三角形即可.
解:
当有1点D时,有1对全等三角形;
当有2点D、E时,有3对全等三角形;
当有3点D、E、F时,有6对全等三角形;
当有4点时,有10个全等三角形;
…
当有n个点时,图中有
个全等三角形.
故答案为:
.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查了对全等三角形的应用,关键是根据已知图形得出规律,题目比较典型,但有一定的难度.
18.MNQP
【解析】
试题分析:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查.
解:
由全等形的概念可知:
A是三个三角形,与M对应;
B是一个三角形和两个直角梯形,与N对应;
C是一个三角形和两个四边形,与Q对应;
D是两个三角形和一个四边形,与P对应
故分别填入M,N,Q,P.
考点:
全等图形.
点评:
本题考查的是全等形的识别,注意辩别组成图形的基础图形的形状.
19.①②③
【解析】
试题分析:
由已知条件,可直接得到三角形全等,得到结论,采用排除法,对各个选项进行验证从而确定正确的结论.
解:
∵∠B+∠BAE=90°,∠C+∠CAF=90°,∠B=∠C
∴∠1=∠2(①正确)
∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF
∴△ABE≌△ACF(ASA)
∴AB=AC,BE=CF(②正确)
∵∠CAN=∠BAM,∠B=∠C,AB=AC
∴△ACN≌△ABM(③正确)
∴CN=BM(④不正确).
所以正确结论有①②③.
故填①②③.
考点:
全等三角形的判定.
点评:
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、SSA、HL.得到三角形全等是正确解决本题的关键.
20.4
【解析】
试题分析:
根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段,然后猜想可能全等的三角形,然后一一进行验证.
解:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,且AO平分∠BAC,
∴△ODA≌△OEA,
∴∠B=∠C,AD=AE,
∴△ADC≌△AEB,