又AD是整数,则AD=5
思路点拨：
三角形中有中线，延长中线等中线。
2.已知：
BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：
∠1=∠2
2.证明：
连接BF和EF.
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF（边角边）.
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF.连接BE.
在△BEF中,BF=EF，∴∠EBF=∠BEF又∵∠ABC=∠AED，∴∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE
在△ABF和△AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF.
∴△ABF≌△AEF∴∠1=∠2.
思路点拨：
解答本题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB、AE在同一个△ABE中，可利用∠ABE=∠AEB来证明.同一三角形中线段等，可用等角对等边
3.已知：
∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：
EF=AC
证明：
过E点，作EG//AC，交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2
又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE（AAS）∴EG=AC
∵EF∥AB∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC
思路点拨：
角平分线平行线，等腰三角形来添。
4.已知：
AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：
∠B=2∠C
证明：
延长AC到E使CE=CD，连接ED，则∠CDE=∠E
∵AB=AC+CD∴AB=AC+CE=AE
又∵∠BAD=∠EAD，AD=AD∴△BAD≌△EAD∴∠B=∠E
∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠ACB=2∠B
方法二
在AC上截取AE=AB，连接ED
∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）
∴∠AED=∠B，DE=DB
∵AC=AB+BD，AC=AE+CE
∴CE=DE∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C
思路点拨：
线段等于线段和，理应截长或补短
5.已知：
AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE
证明：
过C作CF⊥AD交AD的延长线于F.在△CFA和△CEA中
∴∠CFA＝∠CEA＝90°又∵∠CAF＝∠CAE，AC=AC
∴△CFA≌△CEA，∴AE＝AF＝AD＋DF，CE=CF
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠FDC＋∠ADC＝180°
∴∠B＝∠FDCE
在△CEB和△CFD中，
CE=CF,∠CEB＝∠CFD＝90°,∠B＝∠FDCE
∴△CEB≌△CFD
∴BE＝DF∴AE＝AD＋BE
思路点拨：
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现
6.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,
∴⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,
∠EFB=∠A;
∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°;
又∵∠EFB+∠EFC=180°,
∴∠EFC=∠D;
又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE,∴⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.
∴BC=BF+FC=AB+CD.
思路点拨：
线段等于线段和，理应截长或补短
法二：
延长BE交CD的延长线于点F，易证BC=FC=FD+DC
又∵∠BCE=∠FCE∴BE=FE;易证⊿ABE≌ΔDFE∴AB=FD
∴BC=AB+DC
法三：
易证∠BEC=90°,取BC中点F，连接EF,则
；
∴∠FEB=∠FBE=∠ABE∴AB∥EF同理DC∥EF
又∵F为BC中点∴E为BC中点∴
∴BC=AB+DC
思路点拨：
三角形两边有中点，连接可得中位线。
梯形一腰有中点，亦可尝试中位线
法四：
过E作EF//AB交BC于点F,则∠FEB=∠ABE=∠FBE
∴EF=BF,同理EF=CF,∴BF=CF,EF=
又∵EF//AB//DC∴AE=ED∴
∴BC=AB+DC
思路点拨：
角平分线平行线，等腰三角形来添。
7.已知：
AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：
∠F=∠C
证明：
连接BE
∵AB∥ED,
∴∠ABE=∠DEB
又∵∠EAB=∠BDE,BE=EB
∴△ABE≌△DEB，
∴AE=DB
又∵AF=CD,EF=BC
∴△AFE≌△DCB，
∴∠C=∠F
8．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
证明：
延长AD至H交BC于H;
∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB
∵∠1=∠2，∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;
即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC
∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD
∴AD⊥BC
思路点拨：
中线、垂线、角平分线，三线合一试试看。
9．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：
∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ，
MA⊥OP,MB⊥OQ
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OAM=∠OBM=90度
∴∠OAB=90-∠MAB，
∠OBA=90-∠MBA
∴∠OAB=∠OBA
思路点拨：
同一三角形中角相等，可用等边对等角
10已知：
BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：
AF⊥CD
证明：
同2先证出AB=AE,然后连接AC、AD,再证明
△ABC≌△AED，从而AC=AD,又∵F是CD的中点，∴AF⊥CD
11.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠1=∠2，求证：
BD=DC．
证明：
∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB
又∵∠1=∠2∴∠DBC=∠DCB∴BD=DC．
12（改编）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠ADB=∠ADC，求证：
BD=DC．
提示：
将△ADB绕点A逆时针旋转∠BAC得△AEC，连接DE,可证出∠CDE=∠CED
从而CD=CE=BD
思路点拨：
当题中出现等腰三角形时，可以考虑用旋转的方法打开思路，添加辅助线。
特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形时，更是如此
13．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：
MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）证明：
连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）解：
上述结论仍然成立证明如下：
连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．
本题也可以用证明两次三角形全等的方法
14．已知：
如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：
△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
（1）证明：
∵DC∥AE，且DC=AE，∴四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE，
∴△AED≌△EBC。
（2）解：
△AEC、△ACD、△ECD都与△AED面积相等。
15．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：
BD=2CE．
证明：
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC（ASA）
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
∴BD=2CE
思路点拨：
如何发现哪两个三角形全等？
可以通过旋转来发现
16、如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE∥CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
17、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
证明：
在△ABD与△ACD中
AB=AC，BD=CD，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠BAD=∠CAD
∴∠BDF=∠FDC
在△ABF与△ACF中
AB=AC,∠BAD=∠CAD,AF=AF
△ABF≌△ACF,∴BF=CF
本题也可利用线段的垂直平分线定理来证，该证法更简洁
18、如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
证明：
∵AB=DCAE=DFCE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE≌△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
∴△ABF≌△CDE
∴AF=DE
本题亦可用平行四边形的知识来证明
19..公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：
∵AB平行CD（已知）
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵M在BC的中点（已知）
∴BM=CM（中点定义）
在△BME和△CMF中
BE=CF（已知）
∠B=∠C（已证）
BM=CM（已证）
∴△BME≌△CMF（SAS）
∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）
∴E，M，F在同一直线上
思路点拨：
要证明E、M、F三点在同一条直线上，只需证明∠EMF=180°
20．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．
求证：
△ABE≌△CDF．
证明：
∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
∴AE=CF
∵BE//DF
∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
21．已知：
如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
求证：
BE=CD．
证明：
连接BC
∵AB=AC，∴∠EBC=∠DCB
∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BEC=∠CDB
∵BC=CB（公共边）
∴△EBC≌△DCB
∴BE＝CD
也可证△CEA≌△BDA，从而AE=AD,又AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD，∴BE＝CD
22.已知：
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE．若AB=5,
求AD的长？
解：
∵∠C=∠E=90度
∠B=∠EAD=90度-∠BAC
BC=AE
∴△ABC≌△DAE
∴AD=AB=5
23．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：
MB=MC
证明∵AB=AC,∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC∴∠MEB=∠MFC=90°
又∵ME=MF，
∴△BEM≌△CFM
∴MB=MC
24．在△ABC中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，求证：
①
≌
；②
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
25．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据
（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴EC⊥BF．
26．如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NCA
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC，∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°∴AM⊥AN
也可先证明△BFM≌△CFA得BF=CF,FM=FA又∵CN=AB∴AB-BF=CN-CF∴FA=FN,
∴FM=FA=FN,又∵∠AFM=∠AFN=90°∴AM=AN,∠3=∠4=45°∴AM⊥AN
27．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
证明：
在△ABF和△CDE中,AB=DE，∠A=∠D，AF=CD
∴△ABF≡△CDE（边角边），∴FB=CE
在四边形BCEF中，FB=CE，BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC‖EF
29、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:
BE∥CF．
证明：
∵AD是△ABC的中线∴BD=CD
∵DF=DE（已知），∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC∴∠EBD=∠FCD∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）
28、已知：
如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
．
求证：
．
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴∠C=∠A，∴AB∥CD．
29、如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明
30、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：
AE＝DE.
证明：
∵AB=DC,AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE，AB=DC∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
*31如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
证明：
作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90°
∴∠ACG=∠DCG=45°
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵AC=CB∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠BCD=BD
∴△CDG≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE
32、已知：
D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
延长CD与P，使D为CP中点。
连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
33.已知：
AB=CD，∠A=∠D，求证：
∠B=∠C
证明：
设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。
则：
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE（等量加等量，或等量减等量）
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
34.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：
PC-PB在AC上取点E，
使AE＝AB。
∵AE＝AB
AP＝AP
∠EAP＝∠BAE，
∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE
∴PC＜（AC－AE）＋PB
∴PC－PB＜AC－AB。
35.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
证明：
在AC上取一点D，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上，
在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
36.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
37.（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：
BD=2CE．
证明：
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而：
∠ECA=∠GBA（同弧上的圆周角相等）
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而：
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
38、如图：
DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：
△AED≌△BFC。
证明：
∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）
39、（10分）如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
40.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
连接BD；
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF；
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
41．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
证明：
在△ADC，△ABC中
∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC（两角加一边）
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD
∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）
∴∠DEC=∠BEC
42．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF．
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）
43.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：
DE=DF．
证明：
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
44.如图，给出五个等量关系：
①
②
③
④
⑤
．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：
①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
求证：
△DAB≌△CBA
证明：
∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
45、（10分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：
AB=CD
∵,∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB
在△ACB和△DBC中
AC=DB
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