传感器与传感器技术课后答案.docx
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传感器与传感器技术课后答案
《传感器与传感器技术》计算题答案
第1章传感器的一般特性
1—5某传感器给定精度为2%F·S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差（以mV计）。
当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。
由你的计算结果能得出什么结论
解：
满量程（F▪S）为50﹣10=40（mV）
可能出现的最大误差为：
m＝402%=（mV）
当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：
1—6有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数和静态灵敏度K。
（1）
式中,y——输出电压，V；T——输入温度，℃。
（2）
式中，y——输出电压，V；x——输入压力，Pa。
解：
根据题给传感器微分方程，得
（1）τ=30/3=10（s），
K=105/3=105（V/℃）；
（2）τ==1/3（s），
K==（V/Pa）。
1—7已知一热电偶的时间常数=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。
试求该热电偶输出的最大值和最小值。
以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解：
依题意，炉内温度变化规律可表示为
x（t）=520+20sin（t）℃
由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率=2f=2/80=/40；
温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y（t）为
y（t）=520+Bsin（t+）℃
热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为
因此，热电偶输出信号波动幅值为
B=20A（）==15.7℃
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y（t）|=520+B=520+=535.7℃
y（t）|=520﹣B==504.3℃
输出信号的相位差为
（ω）=arctan（ω）=arctan（2/8010）=
相应的时间滞后为
t=
1—8一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即
式中，y——输出电荷量，pC；x——输入加速度，m/s2。
试求其固有振荡频率n和阻尼比。
解:
由题给微分方程可得
1—9某压力传感器的校准数据如下表所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。
校准数据表
压力
（MPa）
输出值（mV）
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
解校验数据处理（求校验平均值）：
压力
（MPa）
（设为x）
输出值（mV）
第一次循环
第二次循环
第三次循环
校验平均值
（设为y）
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
（1）端点连线法
设直线方程为
y=a0+kx，
取端点（x1，y1）=（0，）和（x6，y6）=（，）。
则a0由x=0时的y0值确定，即
a0=y0kx=y1=（mV）
k由直线的斜率确定，即
（mV/MPa）
拟合直线方程为
y=+
求非线性误差：
压力
（MPa）
校验平均值
（mV）
直线拟合值
（mV）
非线性误差
（mV）
最大非线性误差
（mV）
0
0
0
所以，压力传感器的非线性误差为
求重复性误差：
压力
（MPa）
输出值（mV）
正行程
反行程
1
2
3
不重复误差
1
2
3
不重复误差
0
最大不重复误差为mV，则重复性误差为
求迟滞误差：
压力
（MPa）
输出值（mV）
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
0
0
最大迟滞为，所以迟滞误差为
（2）最小二乘法
设直线方程为
y=a0+kx
数据处理如下表所示。
序号
1
2
3
4
5
6
∑
x
0
y
x2
0
xy
0
根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：
所以，最小二乘法线性回归方程为
y=+
求非线性误差：
压力
（MPa）
校验平均值
（mV）
直线拟合值
（mV）
非线性误差
（mV）
最大非线性误差
（mV）
0
所以，压力传感器的非线性误差为
可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差R和迟滞误差H是一致的。
1—10用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少若用该系统测试50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多
解:
根据题意
（取等号计算）
解出
ωτ=
所以
=
当用该系统测试50Hz的正弦信号时，其幅值误差为
相位差为
=﹣arctan（）=﹣arctan（2π×50××103）=﹣°
1—11一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f0=800Hz，阻尼比=，现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时，其幅值比A（）和相位角（）各为多少；若该传感器的阻尼比=时，其A（）和（）又将如何变化
解:
所以，当ξ=时
当ξ=时
1—12用一只时间常数=的一阶传感器去测量周期分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少
解：
由一阶传感器的动态误差公式
=
1—13已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz，阻尼比=，若要求传感器的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。
解：
由f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有
将=代入，整理得
1—14设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz和，阻尼比均为。
今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力，应选用哪一只并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。
解：
由题意知
则其动态误差
=%
相位差
=（rad）=°
第2章电阻应变式传感器
2—5一应变片的电阻R0=120Ω，K=，用作应变为800µm/m的传感元件。
（1）求△R与△R/R；
（2）若电源电压Ui=3V，求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压U0。
解：
由K=，得
则
ΔR=×103×R=×103×120Ω=Ω
其输出电压为
=（mV）
2—6一试件的轴向应变εx=，表示多大的微应变（µε）该试件的轴向相对伸长率为百分之几
解：
εx==1500×10-6=1500（ε）
由于
εx=Δl/l
所以
Δl/l=εx==%
2—7某120Ω电阻应变片的额定功耗为40mW，如接人等臂直流电桥中，试确定所用的激励电压。
解：
由电阻应变片R=120，额定功率P=40mW，则其额定端电压为
U=
当其接入等臂电桥中时，电桥的激励电压为
Ui=2U=2×=≈4V
2—8如果将120Ω的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截面积S=×10-4m2，材料弹性模量E=2×101lN/m2。
若由5×104N的拉力引起应变片电阻变化为Ω，求该应变片的灵敏系数K。
解：
应变片电阻的相对变化为
柱形弹性试件的应变为
应变片的灵敏系数为
2—10以阻值R=120Ω，灵敏系数K=的电阻应变片与阻值120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2µε和2000µε时，分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。
解：
依题意
单臂：
差动：
灵敏度：
可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。
2—11在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Ω的金属应变片R1和R2，把这两应变片接人差动电桥（参看习题图2—11）。
若钢的泊松比µ=，应变片的灵敏系数K=2，电桥的电源电压Ui=2V，当试件受轴向拉伸时，测得应变片R1的电阻变化值△R=Ω，试求电桥的输出电压U0；若柱体直径d=10mm，材料的弹性模量E=2×1011N/m2，求其所受拉力大小。
习题图2-11差动电桥电路
解：
由R1/R1=K1，则
2=1==
所以电桥输出电压为
当柱体直径d=10mm时，由，得
2—12一台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片，做成称重传感器，如习题图2—12所示。
已知l=10mm，b0=llmm，h=3mm，E=×104N/mm2，K=2，接入直流四臂差动电桥，供桥电压6V，求其电压灵敏度（Ku=Uo/F）。
当称重0.5kg时，电桥的输出电压Uo为多大
（a）（b）
习题图2-12悬臂粱式力传感器
解：
等强度梁受力F时的应变为
当上下各贴两片应变片，并接入四臂差动电桥中时，其输出电压：
则其电压灵敏度为
=×10-3（V/N）=（mV/N）
当称重F==×=时，输出电压为
U0=KuF=×=（mV）
2—13现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片，欲测钢构件频率为10kHz的动态应力，若要求应变波幅测量的相对误差小于％，试问应选用哪一种为什么
解：
=v/f=5000/（10103）=（m）
l0=10mm时
l0=20mm时
由此可见，应选用基长l0=10mm的应变片.
2—14有四个性能完全相同的应变片（K=，将其贴在习题图2—14所示的压力传感器圆板形感压膜片上。
已知膜片的半径R=20mm，厚度h=0.3mm，材料的泊松比µ=，弹性模量E=×1011N/m2。
现将四个应变片组成全桥测量电路，供桥电压Ui=6V。
求：
（1）确定应变片在感压膜片上的位置，并画出位置示意图；
（2）画出相应的全桥测量电路图；
（3）当被测压力为时，求各应变片的应变值及测量桥路输出电压U0；
（4）该压力传感器是否具有温度补偿作用为什么
（5）桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系
习题图2-14膜片式压力传感器
解：
（1）四个应变片中，R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向；R1、R4粘贴在圆形感压膜片之外沿径向，并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。
如下图（a）所示。
（2）测量电桥电路如上图（b）所示。
（a）（b）
题解2-14图
（a）应变片粘贴示意图；（b）测量电桥电路
（3）根据
（1）的粘贴方式，知
ε1=ε4=εtmax=×103
则测量桥路的输出电压为
（4）具有温度补偿作用；
（5）输出电压与被测力之间存在线性关系，因此，由（3）知
2—17线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ，电刷最大行程4mm，若允许最大消耗功率为40mW，传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。
试求当输入位移量为1.2mm时，输出电压是多少
解：
最大激励电压
当线位移x=时，其输出电压
2—18一测量线位移的电位器式传感器，测量范围为0~10mm，分辨力为0.05mm，灵敏度为mm，电位器绕线骨架外径d=5mm，电阻丝材料为铂铱合金，其电阻率为ρ=×10-4Ω·mm。
当负载电阻RL=10kΩ时，求传感器的最大负载误差。
解：
由题知，电位器的导线匝数为
N=10/=200
则导线长度为
l=Nd=200d，（d为骨架外径）
电阻丝直径与其分辨力相当，即d丝=0.05mm
故电阻丝的电阻值
δLm≈15m%=15×%=%
第3章电感式传感器
3—15某差动螺管式电感传感器（参见习题图3-15）的结构参数为单个线圈匝数W=800匝，l=10mm，lc=6mm，r=5mm，rc=1mm，设实际应用中铁芯的相对磁导率µr=3000，试求：
（1）在平衡状态下单个线圈的电感量L0=及其电感灵敏度足KL=
（2）若将其接人变压器电桥，电源频率为1000Hz，电压E=，设电感线圈有效电阻可忽略，求该传感器灵敏度K。
（3）若要控制理论线性度在1％以内，最大量程为多少
解：
（1）根椐螺管式电感传感器电感量计算公式，得
习题图3-15差动螺管式电感传感器
差动工作灵敏度：
（2）当f=1000Hz时，单线圈的感抗为
XL=ωL0=2πfL0=2π×1000×=2890（Ω）
显然XL>线圈电阻R0，则输出电压为
测量电路的电压灵敏度为
而线圈差动时的电感灵敏度为KL=mm，则该螺管式电感传感器及其测量电路的总灵敏度为
=mm
3—16有一只差动电感位移传感器，已知电源电Usr=4V，f=400Hz，传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω，L=30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如习题图3—16所示，试求：
（1）匹配电阻R3和R4的值；
（2）当△Z=10时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值；
（3）用相量图表明输出电压与输入电压之间的相位差。
习题图3-16
解：
（1）线圈感抗
XL=L=2fL=240030103=（）
线圈的阻抗
故其电桥的匹配电阻（见习题图3-16）
R3=R4=Z=（）
（2）当ΔZ=10时，电桥的输出电压分别为
单臂工作：
双臂差动工作：
（3）
3—17如习题图3—17所示气隙型电感传感器，衔铁截面积S=4×4mm2，气隙总长度δ=0.8mm，衔铁最大位移△δ=±0.08mm，激励线圈匝数W=2500匝，导线直径d=0.06mm，电阻率ρ=×10-6.cm，当激励电源频率f=4000Hz时，忽略漏磁及铁损，求：
（1）线圈电感值；
（2）电感的最大变化量；
（3）线圈的直流电阻值；
（4）线圈的品质因数；
（5）当线圈存在200pF分布电容与之并联后其等效电感值。
习题图3-17气隙型电感式传感器（变隙式）
解：
（1）线圈电感值
（2）衔铁位移Δδ=+时，其电感值
=×10-1（H）=131mH
衔铁位移Δδ=﹣时，其电感值
=×10-1（H）=196（mH）
故位移=±0.08mm时，电感的最大变化量为
ΔL=L﹣L=196﹣131=65（mH）
（3）线圈的直流电阻
设为每匝线圈的平均长度，则
（4）线圈的品质因数
（5）当存在分布电容200PF时，其等效电感值
3—18如图3—4（b）所示差动螺管式电感传感器，其结构参数如下：
l=160mm，r=4mm，rc=2.5mm，lc=96mm，导线直径d=0.25mm，电阻率ρ=×10-6Ω·cm，线圈匝数W1=W2=3000匝，铁芯相对磁导率µr=30，激励电源频率f=3000Hz。
要求：
（1）估算单个线圈的电感值L=直流电阻R=品质因数Q=
（2）当铁芯移动±5mm时，线圈的电感的变化量△L=
（3）当采用交流电桥检测时，其桥路电源电压有效值E=6V，要求设计电路具有最大输出电压值，画出相应桥路原理图，并求输出电压值。
解：
（1）单位线圈电感值
电阻值（lcp=2r，每匝导线长度）
则品质因数
（2）铁芯位移Δlc=±5mm时，单个线圈电感的变化
（3）要使电桥输出最大，须使电桥为等臂电桥，则相邻桥臂阻抗比值a=1；且将电感线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧，则=±（π/2），这时电桥的灵敏度|K|=，差动工作时为其2倍，故其输出电压
=（V）=544mV
其电桥电路如下图所示，其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。
题3-18题解图
第4章电容式传感器
4—2试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。
（a）（b）（c）
习题图4-2
解：
由习题图4-2可见
（1）图（a）等效为三个平板电容器串联
，，
总电容量为
故
（2）图（ba）等效为两个平板电容器并联
（3）图（c）等效为两柱形电容器并联，总电容量为
4—3在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥测量电路，如习题4—3图所示。
已知：
δ0=0.25mm；D=38.2mm；R=Ω；Usr=60V（交流），频率f=400Hz。
试求：
（1）该电容传感器的电压灵敏度Ku（V/µm）；
（2）当电容传感器的动极板位移△δ=10µm时，输出电压Usc值。
习题图4—3
解：
由传感器结构及其测量电路可知
（1）初始电容
由于
则
从而得
（2）U0=KuΔd=m×10m=
4—4有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm，假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。
试求：
（1）如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10µm，电容变化量为多少
（2）如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF，则在△d=±1µm时的输出电压为多少
解：
由题意可求
（1）初始电容：
由，则当Δd=±10um时
如果考虑d1=0.3mm+10µm与d2=0.3mm﹣10µm之间的电容变化量ΔC′，则应为
ΔC′=2|ΔC|=2×=
（2）当Δd=±1µm时
由Ku=100mV/pF=U0/ΔC，则
U0=KuΔC=100mV/pF×（±=±
4—5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。
选用变压器交流电桥作测量电路。
差动电容器参数：
r=12mm；d1=d2=d0=0.6mm；空气介质，即ε=ε0=×10-12F/m。
测量电路参数：
usr=u==3sinωt（V）。
试求当动极板上输入位移（向上位移）△x=0.05mm时，电桥输出端电压Usc
习题图4-5
解：
由习题图4-5可求
初始电容
C1=C2=C0=S/d=0r2/d0
变压器输出电压
其中Z1,Z2分别为差动电容传感器C1,C2的阻抗.在ΔX<（V）
4—6如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用二极管双厂网络测量电路。
差动电容器参数为：
a=40mm，b=20mm，dl=d2=d0=1mm；起始时动极板处于中间位置，Cl=C2=C0，介质为空气，ε=ε0=×10-12F/m。
测量电路参数：
D1、D2为理想二极管；及R1=R2=R=10KΩ；Rf=1MΩ，激励电压Ui=36V，变化频率f=1MHz。
试求当动极板向右位移△x=10mm时，电桥输出端电压Usc
习题图4-6
解：
由习题图4-6可求
传感器初始电容
=×1012（F）=
当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为
（或
）
则C1=C0+ΔC，C2=C0∆C，由双T二极管网络知其输出电压
USC=2kUifΔC
4—7一只电容位移传感器如习题图4-7所示，由四块置于空气中的平行平板组成。
板A、C和D是固定极板；板B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为d。
B、C和D极板的长度均为a，A板的长度为2a，各板宽度为b。
忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式（x=0时为对称位置）。
习题图4-7
解：
参见习题图4-7知
CAC是CAB与CBC串联，CAD是CAB与CBD串联。
当动极板向左位移a/2时，完全与C极板相对（见题解4-7图），此时
CAB=CBC=ε0ab/d
则
CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d；
CAD=ε0ab/（2d+t）。
题解4-7图
同理，当动极板向右移a/2时，与上相仿（见题解4-7图），有
CAC=ε0ab/（2d+t）；CAD=ε0ab/2d
4—8已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=（22）cm2，间隙d0=0.1mm。
求：
传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d0，而另一侧间隙为d0+b（b=0.01mm），此时传感器的电容值。
解：
初始电容
当装配不平衡时（见题解4-8图（a）），可取其平均间隙计算（见题解4-8图（b））
=+2=（mm）
则其电容为
=×10-12（F）=
（a）（b）（c）
题解4-8图
或利用积分法计算传感器的电容，（见题解4-8图（c）），在位置x处，取宽度为dx、长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为
所以，总电容为
两种计算方法结果接近，但积分法更为严密。
4-14习题图4-14（a）所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆筒外经d=9.8mm，固定电极外圆筒内经D=10mm，初始平衡时，上、下电容器电极覆盖长度L1=L2=L0=2mm，电极间为空气介质。
试求：
（1）初始状态时电容器C1、C2的值；
（2）当将其接入习题图4-14（b）所示差动变压器电桥电路，供桥电压E=10V（交流），若传感器工作时可动电极筒最大位移x=0.2mm，电桥输出电压的最大变化范围为多少
（a）（b）
习题图4-14
解
（1）初始状态时
（2）当动电极筒位移x=+0.2mm（向上）时，L1=2+=2.2mm，L2=2=1.8mm，则
差动变压器电桥输出为
同理，当动电极筒位移x=0.2mm（向下）时，L1=2=1.8mm，L2=2+=2.2mm，则
差动变压器电桥输出为
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