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专题讲座

专题讲座:

高中数学总复习研究

谷丹北京四中

一、对高中数学总复习任务的理解

高中数学总复习阶段，教师们通常需要完成两类既相互关联又有所区别的任务：

指导、帮助学生进行数学知识内容的复习、训练工作，我们可简称为“学习任务”；根据不同学生的学业水平与心理特点，帮助、指导学生调整心理状态，提高在高考正常发挥水平的可能性，我们可简称为“心理辅导任务”.

我们可以通过对“学习任务”、“心理辅导任务”更为具体、细致的分析，更为深入地理解这两项任务，进而选择、确定实现这两项任务的策略.

（一）对学习任务的理解

与高中数学新内容的学习过程相比，高中数学总复习阶段的数学学习，既有与前者一致的共性，也有其独有的个性.

1、从数学知识与思想方法看：

高中数学总复习的教学目标有“新”有“旧”.所谓“旧”，主要是指总复习中所涉及的知识与方法，大部分皆为前期已经学习与应用过的，所谓“新”，则主要是指我们的复习过程并不是将以往的学习过程再简单的重复一遍，而是要指导学生更为关心数学具体知识与方法在数学体系中的地位与联系，更为深入、深刻地体验这些知识与方法的价值，在综合性更强、能力要求更高的问题情境中准确、灵活地应用这些知识与方法.

2、从学生的认知特点看：

高中数学总复习与以前的数学学习相比，可以类同于认知过程信息处理的“提取”与“录入”过程.前期的数学学习，学生主要的学习任务，可类同于信息的“录入”过程，学生逐个循序渐进地学习新知识、新方法，将这些知识方法嵌进认知结构中，即使在平时的练习与测试中需要将其“提取”出来加以应用，也往往是在相对明确、狭小的指定范围内实行.高中数学总复习，学生主要的学习任务，更类同于能核验、校正、完善先期“录入”于认知结构中的信息，同时建立与优化信息的检索方式与系统，以便在综合性、灵活性更强的问题情境准确、快捷地“提取”出来，解决问题.

3、从高考应试要求看：

以准确、敏捷“再现”复习内容为主，灵活创新为辅.“再现”为主，使得我们有可能在对考察内容有针对性、有效率的重复训练中，指导学生不断提高自我审视、优化、校正自己分析问题、解决问题的过程的意识与能力，从而有效提高数学学业水平与应试成绩.

基于上述认识，我们将高中数学总复习任务概括为“程序”、“系统”、“自检”.在高中数学总复习过程中，我们将带领、指导学生逐个梳理高中阶段习得的知识方法，特别应注意指导学生按照一定的思考与表达程序完成应用这些知识方法解决问题的过程.同时，要通过帮助学生理解、把握具体知识方法之间的关联，指导学生逐渐建立、优化分析问题、解决问题的知识与方法系统，使学生在解决具体问题时，能识别需解决问题的类型，能在系统中选择比较适当的解决问题的办法.我们还要帮助学生提高在解决问题过程中自我检查的意识与能力，以提高解题过程的准确性与简捷性.

（二）对应试心理辅导任务的理解

与以前相比，高中数学总复习阶段学生的心理环境、学习过程中对心理素质的要求，也有同有异，这也就决定了我们的心理辅导任务与前期学习阶段相比，也有同有异.其中最基本也是最重要的差别可以从下列三个角度概括分析.

1、复习过程：

高中数学总复习阶段学习内容，特别是大部分数学基础知识与基本方法，都是“旧”的，每天的学习时间和持续的复习日期均相当长，且主要内容需要反反复复“打磨”，这对学生的耐久性与意志力都有很高的要求.

2、应试状态：

高中数学总复习阶段，各种各样的测验、考试大量增加，学生也往往希望通过考试分数来判断自己学业水平提高的程度，特别是到高中数学总复习阶段的后期，各类比较重要的检测成绩，也是学生确定升学目标的基本依据.因此，高中数学总复习阶段对学生的耐挫能力要求比较高，也对学生自我评价、自我调控能力要求很高.

3、高考心态：

对大多数高中数学总复习阶段考生而言，高考成绩都有着“一锤定音”的效果，无论是升学、复读还是其他的发展路径，高考成绩都是做出选择的重要依据.大多数学生总会期待经过长时间的高中数学总复习阶段，能够在高考那两三天内正常发挥，考出理想的成绩.因此，高考阶段，对学生心理上的应激能力是个考验，同时，也要求我们在平时要能够帮助与指导学生有效提高学生的应激能力.

基于上述认识，我们对高中数学总复习阶段的心理辅导任务概括为“目标”、“策略”、“训练”.在高中数学总复习阶段，我们要帮助、指导学生分阶段确定复习与应试目标，选择适合于自己的学业水平与心理特点的应试策略，并通过有效的自我训练，将这些应试策略应用到考试中去.

二、落实学习任务的教学策略

我们在高中数学总复习阶段落实学习任务的教学策略，可概括为优化“程序”、完善“系统”与强化“自检”.

（一）优化“程序”

在高中数学总复习时，经常会遇到学生对以前习得的知识、方法记忆不完整，理解不准确，表达不规范的情况，我们应该通过复习，帮助学生建立、掌握准确、规范、全面地思考与表达应用数学知识方法的规定途径，即建立与掌握解决具体数学问题的思考与表达的程序.

1．程序的构建

程序的构建，要能体现对数学知识方法的准确、完整的理解和对数学思想方法的有效应用.

比如，遇“函数”问题，基本思考的程序为：

“考虑两个要素、比较两种工具”，“两个要素”即定义域与对应法则，“两种工具”即数学符号语言与数学图像（形）语言.这样的程序，能比较有效地帮助学生克服只关注函数解析式、忽视定义域的思维缺憾，也有利于帮助学生增强应用数形结合的方法解决问题的意识与能力.

再如，遇函数最值问题时，表达的程序一般是先说明自变量的取值，再写出因变量的取值，这样的要求，体现了函数概念中自变量通过函数对应法则确定唯一的因变量取值的基本思想.

2．程序的内容

程序的内容，应尽可能突出共性，不要太琐碎、零散，以便更有利于学生记忆、把握和有效应用.

比如，我们可以将对（含字母系数的）二次函数、三角函数等常见初等函数在有限区间上的单调性讨论问题，和利用导数对有限区间上函数的单调性讨论问题的程序统一为：

（1）确定（在自然定义域上）函数的单调性改变点，

（2）分类讨论这些单调性改变点与指定定义域的关系，（3）在各类情况中，指出在指定定义域内函数的单调区间.当然，在

（1）、

（2）的讨论中，可进一步按照不同类型函数单调性讨论的程序，思考并规范表达解决问题的具体过程.

再如，函数图像变换问题，对学生而言，记忆、掌握单一的图像变换并不是很困难，但在对函数图像连续施行变换（如对图像进行平移、伸缩、对称等复合变换）时，却常常会出错，这主要是缘于学生将单一变换的结论误用于复合函数所致，为帮助学生避免出现此类错误，我们要求学生在遇到复合变换问题时，思考与表达的程序为，逐一写出每一步变换与前一步（变换后）函数表达式之间的变量变换关系、函数解析式，必要的时候，还应画出变换前后相邻两个函数的图像.例如，由变换为的过程，可以程序化地表达为

亦可表示为

这样的程序，既可以帮助学生认清每一步变换的类型，又能够帮助学生准确、明晰地看清每一步变换前后函数解析式的变化，从而准确快捷地完成复合变换过程.

（二）完善“系统”

在高中数学总复习时，遇到综合性比较强的题目，学生往往会出现学过的方法想不起来用，或者同时想起多种方法，却无法判定哪个方法对解决当下的具体问题最简捷有效的情况.我们应该在逐一指导学生把握解决具体问题的程序的同时，将各种程序按一定秩序和内在联系组合成具有明晰特征和特定功能的整体，即将数学知识方法思考与表达的程序整合成解决问题的方法系统，以帮助学生更好地识别具体问题的类型，比较解决此问题各种可能方法的优劣，选择较简捷、易操作的方法解决问题.

1.要以问题为线索构建系统.

一般来说，学生遇到问题，往往比较容易根据题目的主要信息判断这是哪一知识板块的问题，如该问题主要是函数、解析几何还是数列等等问题；也比较容易根据题目的要求判断是该板块哪一类型的问题，如在确定了题目为解析几何问题后，可根据题目要求确定是求轨迹、求已知曲线的系数，还是求指定变量或参数的取值范围问题等等.将解决问题的方法体系按“问题”构建系统，更有利于学生根据题目信息“检索”与“提取”认知结构中解决问题的知识方法程序.

2.要以有效思考为基础刻画系统的结构.

所谓“有效思考”，就是希望我们方法系统的结构，能够按照比较有利于检索到解决问题的最佳或较佳方案来建立.

比如，遇到计数问题，我们可以考虑是否可用

（1）排列组合中的特殊方法，如“相邻问题”的整元法，“不相邻”问题的插空法等等，

（2）排列组合的一般方法，如直接法中的特元法或特位法，间接法中的排除法，（3）枚举法，如树状图，列举归纳等等.其中，

（1）、

（2）、（3）为依次顺序考虑，可称之为串联系统，

（1）、

（2）、（3）中每个具体方法，则要根据题目的信息并列考虑，选择最佳解决问题的办法，可称之为并联（子）系统.

再如，遇到函数求值域问题，我们可以顺序判断是否

（1）常见初等函数，如：

可变形转化为一次函数、反比例函数、二次函数、幂指对函数、三角函数与三角型函数等等初、高中课程中研究过的函数，我们可以直接利用这些函数的代数或图像性质解决问题；

（2）通过换元的办法，将函数转化为

（1）中列举的常见初等函数；（3）用导数讨论函数值域；（4）其他（如数形结合等）研究方法处理.

由上述实例可知，方法系统的结构，可以包涵多个串联或并联子系统，亦可以包涵循环子结构，无论如何刻画方法的系统，最主要的考虑就是要有利于学生全面检索到最佳解决问题的办法.在指导学生理解、应用方法系统时，要帮助学生理解、把握系统中各部分的数学特征和相互关系，提高识别各部分在系统中位置的能力，在感到选择方法比较困难的具体问题时，增强按串联（子）系统检索解决问题办法的意识，提高根据数学特征比较并联（子）系统中选择适当方法解决问题的能力，提高对循环（子）结构的识别能力和应用循环子结构变形转化问题的能力.

3.要基于对数学内容与思想方法不断深入的理解与提炼，不断优化系统中方法的筛选与表达.

从上述构建系统的实例可知，系统构建方法不是唯一的，随着教育教学改革的不断推进和教学内容的不断变化更新，随着我们对数学基本思想方法越来越深入的理解把握，我们的方法系统也必然是一个动态的、不断优化完善着的开放的系统.“优化完善”的过程中，我们将不断选用更有指导性的语言刻画系统中的每一个部分，不断结合对解决数学问题的思维过程的认识规律调整系统中各部分的关联，不断根据教学要求、教学内容与方法重点、难点的变化增删系统中的内容，使之更有利于学生检索、提取、使用.

比如，解析几何中求指定变量或参数的取值方法非常繁多，我们可以将解决问题的方法系统归结为：

（1）根据题目中信息，考虑是否可直接利用各类曲线定义解决问题，

（2）分析题目中图形位置关系与数量关系，考虑是否用平面几何知识与数形结合方法解决问题，（3）考虑用多参法解决问题，基本原则为n个未知数，布列n个独立方程；在布列方程时，比较翻译已知条件的各种公式与方法，选择简便办法.这个系统中，

（1）、

（2）、（3）为串联顺序结构，这样的顺序排定，主要基于两个方面的考虑，首先，解析几何的基本问题，就是几何问题代数化和代数问题几何化，解决问题的办法，也就必然涵盖了几何方法（如

（1）、

（2））和代数方法（如（3）），其次，将几何方法置于代数方法之前考虑，主要是因为几何方法与代数方法相比，往往更为直观简捷，计算量小.在

（1）、

（2）、（3）内部，特别是在

（2）与（3）中，有各种并联结构，取决于题目的条件与哪些数学内容相关联.

我们可以用两个具体实例来说明应用这一系统的具体方法.

例如，北京市2010年高考理科数学第19题第3问：

点在椭圆上，椭圆上是否存在点P，使？

（其中点N、M分别为AP、BP的延长线与直线L：

的交点.）

以前述方法系统解决问题，比较容易判断，方法

（1）不适应.

考虑方法

（2），如右图示，如果意识到点A、B的横坐标为-1、1，AB延长线与直线x=3的交点T的横坐标为3，则比较容易发现，点B为线段AT的中点，NB为△ATN的中线，结合三角形的相关知识可知，满足条件的点P必为△ATN的重心.这种方法虽然非常简便，但对学生分析、处理图形中的数量关系与几何关系的能力要求较高，不易为学生发现与使用.

大部分学生可以考虑方法（3），主要问题将取决于如何“翻译”等式，至少有两种常用的三角形面积公式，（*），（为底边BC上的高）（**），注意到，所以可以用公式（*）将条件翻译为

进而推得点P应满足条件，将斜线段投影至x轴，易得P点横坐标应满足，即，结合点P在椭圆上的条件，易求点P的坐标.

如果学生未比较两种三角形面积公式使用时的繁简程度，则将考虑利用公式（**）结合多参法布列方程组，可设点P，M，N，有四个未知数，，可根据点P在椭圆上、三角形面积相等、点M、N分别在直线AP、BP上布列四个独立方程.公式（**）比较简便的表示方式为

即

注意到我们将由“点M、N分别在直线AP、BP上”得到用表达的关系式，所以在用点斜式翻译“点在直线上”这组条件时，可将点斜式中的“点”选为点P，即

、：

，

、：

，

可以预知，选点P为点斜式中的“点”，比选点A或B时的计算量会小一些.（解题过程下略.）

再如，已知函数高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

设函数高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

上至少存在一点高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

，使得高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

成立，求实数高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

的取值范围.（答:

.）

我们常用的方法主要有三类：

第一类，将函数“合二为一”，即：

方法1，令:

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讨论单调性,要求高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

最大值大于0；注意到中含有参数，我们也可以用第二类方法，即方法2，分离变量得高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

讨论的单调性,要求参数大于函数高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

的最小值；注意到含有参数的部分高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

是一个比较熟悉的函数，特别的，参数对函数图象的影响比较明确，可以考虑第三类，即方法3，将问题转化为:

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，要求在在上有解，特别地，可以考虑是否可以用数形结合的方法来解决问题.

将解决此类问题的（准）方法系统归结为三类，源于对研究此类函数问题的依据（函数与方程、不等式的关系、介值定理等等）、方法（分离变量、数形结合等等）与工具（已知函数的图象与性质、求导等等）.上述三类方法，应该为并联关系，选用哪种方法解决问题，要靠进一步分析解决问题的具体过程来定.

方法1：

由，通过换元可将问题转化为讨论的符号问题，如果注意到的开口方向与对称轴位置很容易确定，所以，容易确定在给定区间上为增函数，因而在指定区间为减函数，所以解为.能够顺畅应用这种方法解决问题，也取决于学生对解决这类问题的方法系统有比较熟练的把握：

解不等式问题，可先辨析是否常见不等式；若是，该类常见不等式代数或数形结合的解法为何；若否，是否可通过简单换元将问题转化为常见不等式……如果学生对这样的系统使用不熟练或是识别能力不强，则可能很机械化地令，解方程后再将根与比较……，可能一些学生就会因为预估解题过程运算量太大而放弃这种做法.

方法2：

将问题转化为求关于的不等式高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

在上有解.在求得后，由易知，所以，可令.这种方法要求学生能够比较灵活地结合自变量的取值范围分析的符号，但不少学生往往会因为预估的形式过于复杂而过早放弃这种解法，或者会因机械化地试图求解方程而误判这种方法行不通.

方法3：

将问题转化为关于的不等式高考资源网（），中国最大的高考网站，您身边的高考专家。

当时有解.易知当时；结合，由的图象知，时无解，而当时，当时，为单增函数，所以只需可得问题的解.这种方法，运算简单，但对学生对于常见具体函数的认识与把握要求比较高.

从上面的具体实例也可以看到，方法系统不是或不仅仅是一种静态的表述，而应该是在指导学生应用的过程中，师生共同不断提高对解决问题具体方法的识别能力、有效比较各种可行方法繁简程度的选择能力，是一个实践性非常强的将数学知识方法内化为使用者认知结构一部分的动态过程.

（三）强化“自检”

在高中数学总复习阶段每次重要测试甚至高考中，绝大部分学生都会出现“会的做不对”的情况，少则丢几分，多则丢几十分.这就需要我们不断提高学生对自己应用方法系统、解题程序的过程审视、调整、校正、核验结果的元认知能力，我们将这种能力称为自我检查能力.我们可以从培养与提高自检意识、了解自检重点与掌握有效的自检方法等方面入手培养和提高学生的自检能力.

1．培养与提高自检意识.

有些学生，没有自我关注解决问题的过程的思维习惯，自检意识当然也就无从谈起.我们要引导学生从分析那些“会做的做不对”的题目的失分原因入手，充分认识比较好的自检意识和自检方法可以有效减少这部分失分，从而有效提高自检意识.

2．了解自检重点.

有些学生，虽然知道自检的必要性，但由于对自己什么地方会出现错误缺乏认识，只能谨小慎微，处处小心，反复检查，且往往因为过于谨慎紧张，检查效果未必好.我们应该引导学生从数学知识方法与认知规律出发，正面准确、严谨把握知识方法的系统与程序，同时，了解出现错误常见的知识或认知原因，从而确认检查重点，提高检查效率.

比如，审题时，易将相近、相关概念混淆（如：

多面体的全面积与侧面积，圆锥曲线的轴长与半轴长等等），易漏审关于变量或参数取值范围说明等等，这往往是因为在概念学习过程，过于关注概念的主体内容（如方程、解析式等等），对概念不同的表示方法或概念中的约束条件关注不够，造成概念记忆的盲点.

再如，不等式两端乘除含变量的代数式时，不考虑代数式的符号，解方程时，随意约去方程两边含变量的代数式等等，这往往是因为常用运算性质负迁移至新情境中（如等式运算性质用得很熟练，以至于在不等式运算时也“照方抓药”），或者是因过于关注得出“答数”，忽略了运算过程的严谨、合理，造成运算过程的盲点.

又如，在对复合函数求导时，“忘记”对内层函数求导，在处理函数问题时，“忘记”考虑定义域的影响等等，这往往是因为对知识方法理解不够准确，对解决问题的思考或表达程序掌握不够完整，造成方法应用的盲点.

知道了上述种种“盲点”，往往也就确定了自检的重点，对“盲点”处重点自检，往往可以有效提高解题过程的准确性.

3．掌握有效的自检方法.

有些学生，尽管有一定的自检意识，但缺乏有效的自检方法，往往只能将第一遍解题过程再重新操作一遍，这种自检方法，既费时费力，也往往因为思维惯性，在后继重复的解题过程中，往往再一次重复错误，而非校正错误.我们需要指导学生发现、积累、掌握快速有效的自检方法，提高自检的效率.

比如，有些学生应试过程中过于紧张，导致看错、看漏题目条件或解题要求，这样的学生就要养成在基本解决问题以后，逐一检查题目条件是否用尽，题目要求的结论是否逐一解决的自检习惯.

再如，有些学生，在解题过程中，计算错误频发，这些学生除了应指导其锻炼提高自己专注能力以外，也要注意指导其根据自己出现错误的规律，找到快速验算的办法，如，利用自变量特殊值代入变形前后的函数表达式所得函数值应相等来检验函数变形过程是否基本正确，又如，用不同的运算顺序计算多项式函数的导数（先逐项求导，再先看导函数各项指数再看各项系数）等等.

又如，在做选择题时，我们应该指导学生将各选项也视为解决问题的有效信息，并利用这些信息验证自己的解题结果、确定正确答案.

例如：

函数的单调递减区间是（C）

A．B．

C．D．

此题的难度不大，做法也比较多，从“自检”的角度看，四个选项提醒我们注意，要一一确定函数的周期是还是、考察的是单调区间还是单增区间，特别地，可以通过将等特殊值代入原式的办法，判断出正确选项为C.

总之，有效的自检方法的积累与掌握，还是要基于师生对数学知识方法更为深入的理解和更为灵活的应用，也要基于师生对解题过程中认知特点与规律的了解与把握.

（四）完成复习任务的策略与方法

从我们对高中数学总复习任务——程序、系统、自检的表述可知，这三者不是界线分明的相互递进关系，而是交织在一起既密切相关又互有区别的.我们希望每一堂复习课、每一个复习单元的教学目标与教学内容都要兼顾这三项内容.但根据学生的认知特点，在不同的复习阶段，我们将分层次有所侧重地讲解、梳理三者的内容，有所侧重地指导学生通过思考、应用、自我训练将三项内容内化为自身的认知方式与思维习惯.

我们可将高中数学总复习初分为三个阶段.

1．梳理阶段

一般来说，高中数学总复习伊始，学生们会在教师的指导与带领下，将高考需考察的数学知识、方法重新复习、整理一遍，这个阶段的主要任务是带领学生全面梳理“程序”、“系统”、“自检”的内容.

我们可以这样来规划这一阶段的复习方法.

高三前的暑假，为“梳理”前期.我们将高中数学总复习阶段需要复习的（部分）内容编制成复习册，主要包含两大内容：

（1）按章节整理的数学知识方法表格，表格的编制方式力求展现知识与方法的结构，所有需复习的知识与方法，皆只写概念、定义、定理、公式、具体方法等等的名称，内容留白，学生需在假期内逐项填写.

（2）每一个表格后面配有一定量的习题，习题的选配，要能够比较完整的体现对表格内容理解与基本应用.学生可以参照表格内容和所附的习题答案基本完成解题过程.填写表格与做习题的过程，亦即最基本、最简单的对知识方法的理解与应用的梳理过程.

高三阶段第一学期，（新授课讲完后）为“梳理”后期.教师将以复习册为主要蓝本，根据需要补充一些综合性更强、难度更大的例题、习题，指导、带领学生逐一梳理思考与表达的程序，通过难度适当的练习，提高学生掌握与应用程序的水平，了解、认识使用这些程序时自检的重点，同时不断指导、带领学生整合程序，初步建立解决问题的方法系统.

2．提高阶段

全面复习完一遍以后，到一模考试之前，可称之为提高阶段.这个阶段的复习任务主要是帮助学生提高应用“程序”、“系统”、“自检”的能力.

我们可以这样来规划这一阶段的复习方法.

高三寒假为“提高”前期，可以为学生指定或编纂多套综合训练的练习卷，要求、指导学生对第一学期复习的过程再做回顾，并通过完成综合训练卷巩固对“程序”的理解与把握，提高准确、熟练应用“程序”的能力，加深对“系统”在应用过程中的体验，通过对训练卷完成情况的总结与反思，进一步提高“自检”的意识与能力.

高三第二学期开学至一模前，为“提高”后期.教师课堂教学的重点，主要是指导学生通过对难度较大、灵活性较强的例题、习题解题方法的思考、分析，指导、帮助学生补充、完善“系统”，逐渐形成、巩固根据串联（子）系统或循环（子）系统检索解决问题方法的思维习惯，有效提高对并联（子）系统中各种方法的识别能力与比较选择能力.同时，要关注前期学习过程中，对“程序”的理解、掌握尚有欠缺的学生，通过个别辅导等方式帮助他们提高对“程序”的理解和应用能力.这一阶段的综合训练时间较前一阶段会有所增加，我们要帮助学生在解决问题的过程中逐步增强“自检”的意识、提高“自检”的能力.

3．应试阶段

从一模到高考，这个阶段可称之为应试阶段.这个阶段的复习任务主要是指导学生在连续不断的重要考试中，有效提高“程序”、“系统”、“自检”在应试状态中的应用能力.

与前面各阶段相比，学生对这一阶段的测验、考试会更为重视，应试心