第三单元圆周运动
一、描述圆周运动的几个物理量
1．线速度
（1）物理意义：
描述质点沿圆周运动的快慢。
（2）方向：
质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向。
（3）大小：
v＝
（s是t时间内通过的弧长）
2．角速度
（1）物理意义：
描述质点绕圆心转动的快慢。
（2）大小：
ω＝
（rad/s），φ是连结质点和圆心的半径在t时间内转过的角度。
3．周期T、频率f
做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期。
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。
4．v、ω、f、T的关系
T＝
，ω＝
，v＝
＝2πfr＝ωr
二、向心力
1．向心力的作用效果：
产生向心加速度以不断改变物体的线速度方向，维持物体做圆周运动。
2．向心力的来源：
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要达到维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力。
向心力是按力的作用效果来命名的。
对各种情况下向心力的来源应明确。
如：
水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体（如图a）和水平地面上匀速转弯的汽车，其摩擦力是向心力；圆锥摆（如图b）和以规定速度转弯的火车，向心力是重力与弹力的合力。
3．圆周运动中向心力的分析
（1）匀速圆周运动：
物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件。
（2）变速圆周运动：
在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心。
合外力沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力的矢量和）提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。
4．圆周运动中的动力学方程：
无论是匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心力和向心加速度关系仍符合牛顿第二定律即：
Fn＝man＝m
＝mω2r＝4mπ2f2r＝m
。
三、离心现象及其应用
1．定义：
做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，叫做离心运动。
2．离心运动的应用和危害：
利用离心运动制成离心机械，如：
离心干燥器、洗衣机的脱水筒等。
汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力。
3．物体做离心运动的条件：
（1）做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图中B情形所示。
（2）当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示。
（3）当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力F′＝mrω2，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中C所示。
【典例剖析】
1．对描述匀速圆周运动的各物理量的理解
【例8】如图为某一传动带传动装置。
主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。
已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中传动带不打滑。
下列说法正确的是（）
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为
nD．从动轮的转速为
n
2．水平面内的圆周运动
【例9】如图所示，质量M＝0.64kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m＝0.3kg的物体相连。
假定M与轴O的距离r＝0.2m，与平台的最大静摩擦力为2N。
为使m保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围？
（g＝10m/s2）
3．竖直面内的圆周运动
【例10】水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一小球以初速度v0沿直轨道ab向右运动，如图所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过c点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则（）
A．小球到达c点的速度为
B．小球到达b点时对轨道的压力为5mg
C．小球在直轨道上的落点d与b点距离为2R
D．小球从c点落到d点所需时间为2
4．圆周运动的实际应用
【例11】铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的。
弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道处的行驶速率。
下面表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨道的高度差h。
（g取10m/s2）
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h/mm
50
100
150
200
250
300
（1）根据表中数据，试导出h和r的关系表达式，并求出当r＝440m时，h的设计值；
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v（以km/h为单位，结果取整数）。
（设轨道倾角θ很小时，tanθ≈sinθ）
5．圆周运动中的多解问题
【例12】如图所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来。
转筒的底面半径为R，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向。
现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔（小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g），求：
（1）小球从圆弧轨道上释放时的高度H；
（2）转筒转动的角速度ω。
6．圆周运动中的临界问题
【例13】如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的物体A、B的质量均为m，它们到转动轴的距离分别为rA＝20cm，rB＝30cm。
A、B与盘面间的最大静摩擦力均为自身重力的0.4倍，试求：
（g取10m/s2）（保留三位有效数字）
（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度。
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度。
（3）当A即将滑动时，烧断细线，A、B状态将如何？
7．圆周运动与图象问题的结合
【例14】如图甲所示，在同一竖直平面内的两条正对着的相同半圆形的光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图象如图乙所示，g取10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？
[总结评述]随着高考改革的深入，新高考更加突出对考生应用能力及创新能力的考查，本题就是构建了新的情景：
将常见的竖直平面内的圆周变换成两正对着的相同半圆光滑轨道，同时将环内圆周运动和机械能综合，并结合了利用传感器所得的图象，考查了识别图象、分析小球在各位置的状态（特别是特殊点处，如最高点与最低点）等重要知识内容．在本题中既考查了中学阶段很重要的受力分析能力，又对圆周运动的相关知识进行考查，更重要的是考查了同学们在新情景下构建模型、从图象获取信息进行解题的能力．
【小综合】
1．（2013年上海高考）如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。
已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出（ABC）
A．轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
2．（2012年浙江高考）由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。
一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上，下列说法正确的是（BC）※【本资料来源：
全品高考网、全品中考网；全品教学网为您提供最新最全的教学资源。
】※
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin=
R
3．（2013年安徽高考）由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m3/min，水离开喷口时的速度大小为
，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g取10m/s2）（）
A．28.8m1.12×10-2m3B．28.8m0.672m3
C．38.4m1.29×10-2m3D．38.4m0.776m3
4．（2013年浙江高考）山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下。
图中A、B、C、D均为石头的边缘点，O为青藤的固定点，h1=1.8m，h2=4.0m，x1=4.8m，x2=8.0m。
开始时，质量分别为M=10kg和m=2kg的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头A点起水平跳到中间石头，大猴抱起小猴跑到C点，抓住青藤下端荡到右边石头上的D点，此时速度恰好为零。
运动过程中猴子均看成质点，空气阻力不计，重力加速度g=10m/s2。
求：
（1）大猴从A点水平跳离时速度的最小值；
（2）猴子抓住青藤荡起时的速度大小；
（3）猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小。
5．如图，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，T端系一质量m=1.0kg的小球。
现将小球拉到A点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点。
地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L=1.0m，B点离地高度H=1.0m，A、B两点的高度差h=0.5m，重力加速度g取10m/s2，不计空气影响，求：
（1）地面上DC两点间的距离s；
（2）轻绳所受的最大拉力大小。
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