高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ23 幂函数教学设计 新人教A版必修1.docx

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高中数学第二章基本初等函数Ⅰ23幂函数教学设计新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数教学设计新人教A版必修1

教学分析

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：

当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点（1,1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．

将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：

指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．

三维目标

1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生的概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．

2．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质，通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．

3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．

重点难点

教学重点：

从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．

教学难点：

根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小．

课时安排

1课时

导入新课

思路1

1．如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？

根据函数的定义可知，这里p是w的函数．

2．如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．

3．如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．

4．如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝，这里a是S的函数．

5．如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v＝t－1km/s，这里v是t的函数．

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？

（右边指数式，且底数都是变量）．

（适当引导：

从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题：

幂函数）．

思路2．我们前面学习了三类具体的初等函数：

二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：

幂函数．

推进新课

提出问题

（1）给出下列函数：

y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？

（2）根据

（1），如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？

请给出一个一般性的结论．

（3）我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？

研究幂函数的性质呢？

（4）画出y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成下列表格.

（5）通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？

哪个象限一定没有幂函数的图象？

哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？

（6）通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？

活动：

考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．

讨论结果：

（1）通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．

（2）由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

如y＝x2，y＝，y＝x3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数．

（3）我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此．

（4）学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．

列表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝

…

0

1

1.41

1.73

…

y＝x2

…

9

4

1

0

1

4

9

…

y＝x3

…

－27

－8

－1

0

1

8

27

…

y＝x－1

…

－

－

－1

1

…

描点、连线．画出以上五个函数的图象如图1.

图1

让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质．

通过观察图象，完成表格.

（5）第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断．

（6）幂函数y＝xα的性质．

①所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1,1）（原因：

1x＝1）；

②当α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞）上是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）．

特别地，当α＞1时，x∈（0,1），y＝xα的图象都在y＝x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大．

当0＜α＜1时，x∈（0,1），y＝xα的图象都在y＝x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．

③当α＜0时，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上是减函数．

思路1

例1判断下列函数哪些是幂函数．

①y＝0.2x；②y＝x－3；③y＝x－2；④y＝.

活动：

学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答．根据幂函数的定义判别，形如y＝xα的函数称为幂函数，变量x的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．

解：

①y＝0.2x的底数是0.2，因此不是幂函数；

②y＝x－3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；

③y＝x－2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；

④y＝的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数．

点评：

判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.

变式训练

判别下列函数中有几个幂函数？

①；②y＝2x2；③；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.

解：

①③的底数是变量，指数是常数，因此①③是幂函数；

②的变量x2的系数为2，因此不是幂函数；

④的变量是和的形式，因此也不是幂函数；

⑤的变量x3的系数为－1，因此不是幂函数.

例2求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．

（1）；

（2）；（3）y＝x－2.

活动：

学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法．判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法．解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：

列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域．

解：

（1）要使函数有意义，只需y＝

有意义，即x∈R.所以函数的定义域是x∈R.又f（－x）＝f（x），所以函数是偶函数，它在（－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞）上是增函数．

（2）要使函数有意义，只需y＝

有意义，即x∈R＋，所以函数的定义域是R＋，由于函数的定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，它在（0，＋∞）上是减函数．

（3）要使函数y＝x－2有意义，只需y＝

有意义，即x≠0，所以函数y＝x－2的定义域是x≠0，又f（－x）＝f（x），所以函数y＝x－2是偶函数，它在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上是减函数．

点评：

在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组．

例3证明幂函数f（x）＝

在[0，＋∞）上是增函数．

活动：

学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导．证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性．

证明：

任取x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＝

，因为x1－x2＜0，

＋

＞0，所以

＜0.所以f（x1）＜f（x2），即f（x）＝

在[0，＋∞）上是增函数．

点评：

证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小，f（x1）与f（x2）的符号要一致．

思路2

例1函数y＝的定义域是（　　）

A．{x|x≠0，或x≠2}B．（－∞，0）∪（2，＋∞）

C．（－∞，0]∪[2，＋∞）D．（0,2）

解析：

函数y＝化为y＝

，要使函数有意义需x2－2x＞0，即x＞2或x＜0，所以函数的定义域为{x|x＞2，或x＜0}．

答案：

B

变式训练

函数y＝的值域是（　　）

A．[0，＋∞）B．（0,1]C．（0,1）D．[0,1]

活动：

学生独立解题，先思考，然后上黑板板演，教师巡视指导．函数的值域要根据函数的定义域来求．函数可化为根式形式，偶次方根号的被开方数大于零，转化为等式或不等式来解，可得定义域，这是复合函数求值域问题，利用换元法．

分析：

令t＝1－x2，则y＝

，

因为函数的定义域是{x|－1≤x≤1}，所以0≤t≤1.所以0≤y≤1.

答案：

D

点评：

注意换元法在解题中的应用.

例2比较下列各组数的大小：

（1）1.10.1,1.20.1；

（2）0.24－0.2,0.25－0.2；（3）0.20.3,0.30.3,0.30.2.

活动：

学生先思考或回忆，然后讨论交流，教师适时提示点拨．比较数的大小，常借助于函数的单调性．对

（1）

（2）可直接利用幂函数的单调性．对（3）只利用幂函数的单调性是不够的，还要利用指数函数的单调性，事实上，这里0.30.3可作为中间量．

解：

（1）由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x0.1的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为1.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1.

（2）由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x－0.2的单调性，在第一象限内函数单调递减，又因为0.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2.

（3）首先比较指数相同的两个数的大小，考察函数y＝x0.3的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为0.2＜0.3，所以0.20.3＜0.30.3.

再比较同底数的两个数的大小，考察函数y＝0.3x的单调性，在定义域内函数单调递减，又因为0.2＜0.3，所以0.30.3＜0.30.2.所以0.20.3＜0.30.3＜0.30.2.

另外，本题还有图象法，计算结果等方法，留作同学们自己完成．

点评：

指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性．

1．下列函数中，是幂函数的是（　　）

A．y＝2xB．y＝2x3C．y＝

D．y＝2x

2．下列结论正确的是（　　）

A．幂函数的图象一定过原点

B．当α＜0时，幂函数y＝xα是减函数

C．当α＞0时，幂函数y＝xα是增函数

D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数

3．下列函数中，在（－∞，0）是增函数的是（　　）

A．y＝x3B．y＝x2C．y＝

D．

4．已知某幂函数的图象经过点（2，

），则这个函数的解析式为__________．

答案：

1．C　2．D　3．A　4．

分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系．

①y＝x－1，y＝x－2，y＝x－3；②，；

③y＝x，y＝x2，y＝x3；④，.

活动：

学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示．

解：

利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2、图3，图4、图5.

图2图3

图4图5

①观察图2得到：

函数y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3的图象都过点（1,1），且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间（0，＋∞）上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．

②观察图3得到：

函数、的图象都过点（1,1），且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间（0，＋∞）上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．

③观察图4得到：

函数y＝x、y＝x2、y＝x3的图象过点（1,1）、（0,0），且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞）上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，从第一象限来看，图象向上离y轴近，向下离x轴近．

④观察图5得到：

函数、的图象过点（1,1）、（0,0），且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞）上是单调增函数，指数越小图象上凸越大，从第一象限来看，图象在点（1,1）的左边离y轴近，在点（1,1）的右边离x轴近．

根据上述规律可以判断函数图象的分布情况．

1．幂函数的概念．

2．幂函数的性质．

3．幂函数的性质的应用．

课本习题2.3　1,2,3.

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解．

历史上数学计算方面的三大发明

你知道数学计算方面的三大发明吗？

这就是阿拉伯数字、十进制和对数．

研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题，我们采用的十进制是中国人的一大发明．在商代中期的甲骨文中已有十进制，其中最大的数是3万，印度最早到六世纪末才有十进制．但是，目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用，后来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲，并被欧洲人所接受．

十进制位置计数法的诞生，是自然数发展史上的一次飞跃，同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值．无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭，所有的自然数都可以方便清楚地表示出来．

16世纪前半叶，由于实际的需要，对计算技术的改进提出了前所未有的要求．这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要．为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法．苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier,1550—1617）在球面天文学的三角学研究中，首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法，对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯（H.Birggs,1561—1630）所认识，他与纳皮尔合作，并于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数．常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献，而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具．恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始，微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：

“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命．”

一直到18世纪，瑞士数学家欧拉（L.Euler,1707—1783）才发现了指数与对数的关系，他指出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们所接受．

2019-2020年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）第1节指数函数（5）教案新人教A版必修1

导入新课　　　　　

思路1.复习导入：

我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．

思路2.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：

指数函数及其性质的应用

（1）．

例1比较下列各题中的两个值的大小：

（1）1.72.5与1.73；

（2）0.8－0.1与0.8－0.2；（3）1.70.3与0.93.1.

活动：

学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．

解法一：

用数形结合的方法，如第

（1）小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.

图1

在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5<1.73，同理0.8－0.1<0.8－0.2,1.70.3>0.93.1.

解法二：

用计算器直接计算：

1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，

所以1.72.5<1.73.同理0.8－0.1<0.8－0.2,1.70.3>0.93.1.

解法三：

利用函数单调性，

（1）1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5<3，所以1.72.5<1.73；

（2）0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2；

（3）因为1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1.

点评：

在第（3）小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．

思考

在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？

活动：

学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．

变式训练

1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，按大小顺序排列a，b，c.

解：

b

2．比较a与a的大小（a＞0且a≠1）．

解：

分a＞1和0

当0a；

当a>1时，a

例2用函数单调性的定义证明指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的单调性．

活动：

教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．

证法一：

设x1，x2∈R，且x1＜x2，则

y2－y1＝ax2－ax1＝ax1（ax2－x1－1）．

因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即ax2－x1－1＞0.

又因为ax1＞0，所以y2－y1＞0，即y1

所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．

同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．

证法二：

设x1，x2∈R，且x1＜x2，则y2与y1都大于0，则

＝

＝ax2－x1.

因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即

>1，y1

所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．

同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．

变式训练

若指数函数y＝（2a－1）x是减函数，则a的取值范围是多少？

解：

由题可知0<2a－1<1，即

＜a＜1.

例3截止到xx年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）?

活动：

师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：

xx年底　人口约为13亿；

经过1年　人口约为13（1＋1%）亿；

经过2年　人口约为13（1＋1%）（1＋1%）＝13（1＋1%）2亿；

经过3年　人口约为13（1＋1%）2（1＋1%）＝13（1＋1%）3亿；

……

经过x年　人口约为13（1＋1%）x亿；

经过20年　人口约为13（1＋1%）20亿．

解：

设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则

y＝13（1＋1%）x，

当x＝20时，y＝13（1＋1%）20≈16（亿）．

答：

经过20年后，我国人口数最多为16亿．

点评：

类似此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N（1＋p）x（x∈N），像y＝N（1＋p）x等形如y＝kax（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函数称为指数型函数．

1．函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（　　）

图2

解析：

当x≥0时，y＝a|x|＝ax的图象过（0,1）点，