第1章 14 绝对值的三角不等式.docx

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第1章14绝对值的三角不等式

1.4　绝对值的三角不等式

1.理解绝对值不等式的性质定理.

2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式；会求简单绝对值不等式的最值.

[基础·初探]

教材整理　绝对值的三角不等式

1.定理1

若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.

2.定理2

设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔（a－b）（b－c）≥0，即b落在a，c之间.

若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有（　　）

A.ab<0　B.ab>0

C.ab≥0D.以上都不对

【解析】　由定理1易知答案选C.

【答案】　C

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

绝对值不等式的理解与应用

　已知|a|≠|b|，m＝

，n＝

，则m，n之间的大小关系是________.

【精彩点拨】　利用绝对值三角不等式定理分别判定m，n与1的大小.

【自主解答】　因为|a|－|b|≤|a－b|，

所以

≤1，

即m≤1.

又因为|a＋b|≤|a|＋|b|，

所以

≥1，即n≥1.

所以m≤1≤n.

【答案】　m≤n

1.本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a＋b|≤|a|＋|b|的理解和应用.

2.在定理1中，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以a－b代替实数a，可得到|a|－|b|≤|a－b|.

[再练一题]

1.若将“本例的条件”改为“n＝

”，则n与1之间的大小关系是________.

【解析】　∵|a＋b|≤|a|＋|b|，

∴

≤1，∴n≤1.

【答案】　n≤1

运用绝对值不等式求最值与

范围

　对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围.

【精彩点拨】　令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.

【自主解答】　法一：

对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|

≥|（x＋1）－（x＋2）|＝1，

当且仅当（x＋1）（x＋2）≤0时，

即－2≤x≤－1时取等号.

∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.

∴实数m的取值范围是（－∞，1].

法二：

t＝|x＋1|＋|x＋2|＝

∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.

因此实数m的取值范围是（－∞，1].

1.本题也可利用绝对值的几何意义求解.

2.对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值.

[再练一题]

2.若|x＋1|＋|x－3|＞k对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为________.

【导学号：

38000013】

【解析】　设f（x）＝|x＋1|＋|x－3|，则有f（x）＝

当x≤－1时，f（x）有最小值为4；

当－1≤x≤3时，f（x）有最小值为4；

当x≥3时，f（x）有最小值为4.

综上所述，f（x）有最小值为4，所以k＜4.

【答案】　（－∞，4）

含绝对值不等式的证明

　设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：

<2.

【精彩点拨】　不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明.

【自主解答】　依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1，

又|x|>m，

∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x|2>|b|.

因此

≤

＋

＝

＋

<

＋

＝2，

即

<2.

1.将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键.

2.运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度.

[再练一题]

3.若f（x）＝x2－x＋c（为常数），且|x－a|<1，求证：

|f（x）－f（a）|<2（|a|＋1）.

【证明】　|f（x）－f（a）|

＝|（x2－x＋c）－（a2－a＋c）|

＝|x2－x－a2＋a|

＝|（x－a）（x＋a－1）|

＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|

＝|（x－a）＋（2a－1）|≤|x－a|＋|2a－1|.

又|x－a|<1，

∴|f（x）－f（a）|≤|x－a|＋|2a－1|

≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1

＝2（|a|＋1）.

[探究共研型]

绝对值的三角不等式

探究1　绝对值的三角不等式|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是什么？

【提示】　绝对值的三角不等式：

|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边.

探究2　绝对值的三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的结构特点是什么？

【提示】　对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：

定理的构

成部分

特征

大小

关系

等号成立的条件

左端

|a|－|b|

可能是

负的

≤中间

部分

中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立.

中间部分

|a±b|

肯定是

非负的

≥左端

≤右端

用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号.

右端

|a|＋|b|

是非

负的

≥中间

部分

中间部分为|a＋b|时，ab≥0，等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，等号成立.

探究3　含绝对值不等式的证明思路是什么？

【提示】　含绝对值不等式的证明题主要分两类：

一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：

||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，进而特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.

　设a，b∈R，求证：

＋

≥

.

【精彩点拨】　利用绝对值不等式性质或构造函数证明.

【自主解答】　法一：

①若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立.

②若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，

∴

＝

≥

＝

（*）

又

＞

，

＞

，

∴

＋

＞

.

又由（*）式可知

＋

＞

.

综上①②可知

＋

＞

.

法二：

若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立.

若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，

∴0＜1＋

≤1＋

.

即0＜

≤

.

取倒数得

≥

，

又由法一知，原不等式成立.

法三：

∵|a|＋|b|≥|a＋b|，

∴|a|＋|b|＋（|a|＋|b|）·|a＋b|≥|a＋b|＋（|a|＋|b|）·|a＋b|，

即（|a|＋|b|）（1＋|a＋b|）≥|a＋b|（1＋|a|＋|b|）.

两边同除以（1＋|a＋b|）（1＋|a|＋|b|）得

≥

.又由法一知，原不等式成立.

法四：

构造函数f（x）＝

，

任取x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，有f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＜0.

∴f（x）在[0，＋∞）上为增函数.

又|a|＋|b|≥|a＋b|，∴f（|a|＋|b|）≥f（|a＋b|），

即

≥

.

又由法一知，所证不等式成立.

[构建·体系]

1.已知实数a，b满足ab<0，那么有（　　）

A.|a－b|<|a|＋|b|B.|a＋b|>|a|－|b|

C.|a＋b|<|a－b|D.|a－b|<||a|－|b||

【解析】　∵ab<0，

∴|a－b|>|a＋b|成立，|a－b|

＝|a|＋|b|，|a＋b|≥|a|－|b|也成立.

【答案】　C

2.若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件（　　）

【导学号：

38000014】

A.|a|≥

且|b|≥

B.|a＋b|≥1

C.|a|≥1D.b<－1

【解析】　当b<－1时，|b|>1，

∴|a|＋|b|>1，

但|a|＋|b|>1⇒/b<－1（如a＝2，b＝0），

∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件.

【答案】　D

3.若|a－c|

A.|a|<|b|＋|c|B.|c|<|a|＋|b|

C.b>||c|－|a||D.b<|a|－|c|

【解析】　由|a－c|0，∴b＝|b|.

∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|

则|a|

同理，由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|

∴|c|<|a|＋b＝|a|＋|b|，故选项B成立.

而由选项A成立，得|c|－|a|>－|b|，

由选项B成立，得|c|－|a|<|b|.

∴－|b|<|c|－|a|<|b|，

即||c|－|a||<|b|＝b.故选项C成立.

由选项A成立知选项D不成立.故选D.

【答案】　D

4.已知α，β是实数，给出三个论断：

①|α＋β|＝|α|＋|β|；

②|α＋β|>5；

③|α|>2

，|β|>2

.

以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，下列正确的命题是（　　）

A.①③⇒②B.①②⇒③

C.②③⇒①D.都不正确

【解析】　当①，③成立时，

则|α＋β|＝|α|＋|β|>4

>5.

【答案】　A

5.已知f（x）＝|x－10|＋|x－20|（x∈R），求f（x）的最小值，并求当f（x）有最小值时，实数x的取值范围.

【解】　∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|

≥|（x－10）＋（20－x）|＝10.

当且仅当（x－10）（20－x）≥0时取等号.

由（x－10）（20－x）≥0，得10≤x≤20，

因此f（x）的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20].

我还有这些不足：

（1）

（2）

我的课下提升方案：

（1）

（2）