课时分层作业19 空间向量的基本定理.docx
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课时分层作业19空间向量的基本定理
课时分层作业19空间向量的基本定理
课时分层作业（十九）空间向量的基本定 理 （建议用时：
45分钟） [基础达标练] 1．下列命题中正确的个数是（） ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．②向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面． ③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. ④若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb（λ、μ∈R且λμ≠0），则{a，b，，c}构成空间的一个基底． A．0 B．1 C．2 D．3B[①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误； ②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③正确； ④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面．] 2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是（） A．aC．c B．bD．无法确定 11 C[∵a＝2p＋2q，∴a与p、q共面，11 ∵b＝2p－2q，∴b与p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq， 1/1 ∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.]→→→ 3．如图3-1-17所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点→→→ M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于（） 【导学号：
33242249】 图3-1-17 －3b＋2c211B.－3a＋2b＋2c＋2b－3c＋3b－2c 2→→→→1→→ B[MN＝ON－OM＝2（OB＋OC）－3OA12211 ＝2（b＋c）－3a＝－3a＋2b＋2c.所以应选B.] 4．设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG→→→→ ＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则（x，y，z）为（） ?
111?
A.?
4，4，4?
?
?
?
111?
C.?
3，3，3?
?
?
?
333?
B．?
4，4，4?
?
?
?
222?
D．?
3，3，3?
?
?
A[连接AG1交BC于E，则E为BC中点，→1→→ AE＝2（AB＋AC） 2/2 1→→→＝2（OB－2OA＋OC），→2→AG1＝3AE 1→→→＝3（OB－2OA＋OC），→→→→∵OG＝3GG1＝3（OG1－OG），3 ∴OG＝4OG1， →3→3→→∴OG＝4OG1＝4（OA＋AG1）3→1→2→1→＝4（OA＋3OB－3OA＋3OC）1→1→1→ ＝4OA＋4OB＋4OC，故选A.] →→→ 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①（A1D1－A1A）－AB；→→→→→→→→→ ②（BC＋BB1）－D1C1；③（AD－AB）－2DD1；④（B1D1＋A1A）＋DD1.其中能够化简→ 为向量BD1的是（） A．①②C．③④[答案]A 6．下列命题是真命题的是________（填序号）． →→ ①若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量；→→ ②若A，B，C，D不在一直线上，则AB与CD不是共线向量； B．②③D．①④ 3/3 →→ ③若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；→→ ④若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．→→ ①④[①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量AB，CD的方向相同→→ 或相反，因此AB与CD是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，→→→→ 则AB，CD的方向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量；③为假命题，因→→ 为AB，CD两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定→→→ 在一条直线上；④为真命题，因为AB，AC两个向量所在的直线有公共点A，且AB→ 与AC是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.] 7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________. 【导学号：
33242250】 1－1[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc， 1＝λx，?
?
于是有?
－1＝λy， ?
?
1＝λ， ?
?
x＝1， 解得?
] ?
?
y＝－1. →→→ 8．如图3-1-18，点M为OA的中点，{OA，OC，OD}为空间的一个基底，→→→→ DM＝xOA＋yOC＋zOD，则有序实数组（x，y，z）＝________. 图3-1-18 4/4 →→→1→→?
1?
?
2，0，－1?
[DM＝OM－OD＝OA－OD，所以有序实数组（x，y，z）＝ 2?
?
?
1?
?
2，0，－1?
.]?
?
→→ 9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋→→→→ e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底． →→→ [解]假设OA，OB，OC共面， →→→ 向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得OA＝xOB＋yOC成立，即e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，－3x＋y＝1，?
?
所以?
x＋y＝2， ?
?
2x－y＝－1， 此方程组无解． →→→ 即不存在实数x，y，使得OA＝xOB＋yOC成立，→→→ 所以OA，OB，OC不共面． →→→ 故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底． →→→ 10．如图3-1-19所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
5/5
图3-1-19 →→→→
（1）AP；
（2）AM；（3）AN；（4）AQ. 【导学号：
33242251】 [解]连接AC，AD′，AC′（图略）．→1→→
（1）AP＝2（AC＋AA′）1→→→＝2（AB＋AD＋AA′）1 ＝2（a＋b＋c）．→1→→
（2）AM＝（AC＋AD′） 21→→→＝2（AB＋2AD＋AA′）11＝2a＋b＋2c.→1→→（3）AN＝2（AC′＋AD′） 1→→→→→＝2[（AB＋AD＋AA′）＋（AD＋AA′）]1→→→＝2（AB＋2AD＋2AA′）1 ＝2a＋b＋c.→→→（4）AQ＝AC＋CQ→4→→＝AC＋5（AA′－AC）1→4→＝5AC＋5AA′1→1→4→＝5AB＋5AD＋5AA′ 6/6 114＝5a＋5b＋5c. [能力提升练] 1.如图3-1-20，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分→1→1→ 别为边CD，AD和BC的中点，则AG＋3BE＋2CA的化简结果为（） 图3-1-20 → → A[∵G是△BCD的重心，→1→→1→∴|GE|＝3|BE|，∴GE＝3BE.→1→又EF＝2CA， →1→→→→→→→∴AG＋3BE＝AG＋GE＝AE，AE＋EF＝AF，→1→1→→从而AG＋3BE＋2CA＝AF.] →3→1→1→ 2．A、B、C不共线，对空间任意一点O，若OP＝4OA＋8OB＋8OC，则P、A、B、C四点（） 【导学号：
33242252】 A．不共面C．不一定共面 →3→1→1→B[OP＝4OA＋8OB＋8OC3→1→→1→→＝4OA＋8（OA＋AB）＋8（OA＋AC） 7/7 →B．AH→D．CF B．共面D．无法判断 →1→1→＝OA＋8AB＋8AC，→→1→1→∴OP－OA＝8AB＋8AC，→1→1→∴AP＝8AB＋8AC， 共面的充要条件知P、A、B、C四点共面．] 3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，→→→ m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________． 0[∵A、B、C三点共线．→→ ∴存在唯一实数k使AB＝kAC，→→→→即OB－OA＝k（OC－OA），→→→ ∴（k－1）OA＋OB－kOC＝0.→→→ 又λOA＋mOB＋nOC＝0， 则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，所以λ＋m＋n＝0.] →1→→→→→ 4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AM＝2MC，A1N＝2ND.设AB＝a，AD→→ ＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN为________． 111 －3a＋3b＋3c[如图所示，连接AN，→→→则MN＝AN－AM→→1→＝AA1＋A1N－3AC 8/8 →2→1→→＝AA1＋3A1D－3（AB＋BC）1→→→2→→ ＝AA1＋3（AD－AA1）－3（AB＋AD）21 ＝c＋3（b－c）－3（a＋b）111＝－3a＋3b＋3c.] 5．如图3-1-21所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B12 和D1D上，且BE＝3BB1，DF＝3DD1.
（1）证明：
A，E，C1，F四点共面； →→→→
（2）若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值． 【导学号：
33242253】 图3-1-21 →→→→ [解]
（1）证明：
因为AC1＝AB＋AD＋AA1→→1→2→＝AB＋AD＋3AA1＋3AA1?
→1→?
?
→2→?
＝?
AB＋3AA1?
＋?
AD＋3AA1?
?
?
?
?
→→→→→→＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF，所以A、E、C1、F四点共面．→→→
（2）因为EF＝AF－AE→→→→＝AD＋DF－（AB＋BE） 9/9 ＝AD→＋2→→－1→3DD1－AB3BB1＝－AB→＋AD→＋1→3AA1.所以x＝－1，y＝1，z＝1 3.所以x＋y＋z＝1 3.10/10
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