高届高级步步高苏教版一轮复习第四章 第1节 任意角弧度制及任意角的三角函数.docx
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高届高级步步高苏教版一轮复习第四章第1节任意角弧度制及任意角的三角函数
第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念;2.能进行弧度与角度的互化;
3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
知识梳理
1.角的概念的推广
（1）定义:
角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
（2）分类
（3）终边相同的角:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
（1）定义:
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
（2）公式
角α的弧度数公式
|α|＝
（弧长用l表示）
角度与弧度的换算
1°＝
rad;1rad＝
°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝
lr＝
|α|r2
3.任意角的三角函数
（1）定义:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么sinα＝y,cosα＝x,tanα＝
（x≠0）.
（2）几何表示:
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是（1,0）.如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线和正切线.
[微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律:
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.若α∈
则tanα>α>sinα.
3.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.
4.象限角的集合
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）小于90°的角是锐角.（ ）
（2）锐角是第一象限角,反之亦然.（ ）
（3）将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30°.（ ）
（4）相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.（ ）
解析
（1）锐角的取值范围是
.
（2）第一象限角不一定是锐角.
（3）顺时针旋转得到的角是负角.
（4）终边相同的角不一定相等.
答案
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2.（必修4P12例2改编）已知角α的终边过点P（8m,3）,且cosα＝－
则m的值为（ ）
A.－
B.
C.－
D.
解析 由题意得m<0且
＝－
解得m＝－
.
答案 A
3.（必修4P4例1改编）在－720°～0°范围内,所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
解析 所有与角α终边相同的角可表示为:
β＝45°＋k×360°（k∈Z）,则令－720°≤45°＋k×360°<0°（k∈Z）,得－765°≤k×360°<－45°（k∈Z）.
解得k＝－2或k＝－1,∴β＝－675°或β＝－315°.
答案 {－675°,－315°}
4.（2019·衡水模拟）若sinθ·cosθ<0,
>0,则角θ是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析 由
>0,得
>0,故cosθ>0.又sinθ·cosθ<0,所以sinθ<0,所以θ为第四象限角.
答案 D
5.（2018·日照一中质检）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α∈（0,π）的弧度数为________.
解析 设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为
r,所以
r＝α·r,所以α＝
.
答案
6.（2019·武汉模拟）已知角α的终边在直线y＝－x上,且cosα<0,则tanα＝________.
解析 如图,由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P（x,y）,则y＝－x,由三角函数的定义得tanα＝
＝
＝－1.
答案 －1
考点一 角的概念及其集合表示
【例1】
（1）若角α是第二象限角,则
是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
（2）终边在直线y＝
x上,且在[－2π,2π）内的角α的集合为________.
解析
（1）∵α是第二象限角,∴
＋2kπ＜α＜π＋2kπ,k∈Z,
∴
＋kπ＜
＜
＋kπ,k∈Z.
当k为偶数时,
是第一象限角;
当k为奇数时,
是第三象限角.
（2）如图,在坐标系中画出直线y＝
x,可以发现它与x轴的夹角是
在[0,2π）内,终边在直线y＝
x上的角有两个:
π;在[－2π,0）内满足条件的角有两个:
－
π,－
π,故满足条件的角α构成的集合为
.
答案
（1）C
（2）
规律方法 1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角:
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限,一般是先将角化为2kπ＋α（0≤α<2π）（k∈Z）的形式,然后再根据α所在的象限予以判断.
【训练1】
（1）设集合M＝
N＝
那么（ ）
A.M＝NB.M⊆N
C.N⊆MD.M∩N＝∅
（2）已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界）,则角α用集合可表示为________.
解析
（1）由于M中,x＝
·180°＋45°＝k·90°＋45°＝（2k＋1）·45°,2k＋1是奇数;而N中,x＝
·180°＋45°＝k·45°＋45°＝（k＋1）·45°,k＋1是整数,因此必有M⊆N.
（2）在[0,2π）内,终边落在阴影部分角的集合为
所以,所求角的集合为
.
答案
（1）B
（2）{α|2kπ＋
<α<2kπ＋
k∈Z}
考点二 弧度制及其应用
典例迁移
【例2】（经典母题）已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.若α＝
R＝10cm,求扇形的面积.
解 由已知得α＝
R＝10,
∴S扇形＝
α·R2＝
×
×102＝
（cm2）.
【迁移探究1】若例题条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l＝α·R＝
×10＝
（cm）,
S弓形＝S扇形－S三角形
＝
·l·R－
·R2·sin
＝
×
×10－
×102×
＝
（cm2）.
【迁移探究2】若例题条件改为:
“若扇形周长为20cm”,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大？
解 由已知得,l＋2R＝20,即l＝20－2R（0所以S＝
lR＝
（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25,
所以当R＝5cm时,S取得最大值25cm2,此时l＝10cm,α＝2rad.
规律方法 1.应用弧度制解决问题的方法:
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;
（2）求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
【训练2】（一题多解）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:
弧田面积＝
（弦×矢＋矢2）,弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆
心角为
半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A.6平方米B.9平方米
C.12平方米D.15平方米
解析 法一 如图,由题意可得∠AOB＝
OA＝4,在Rt△AOD中,可得∠AOD＝
∠DAO＝
OD＝
AO＝
×4＝2,于是矢＝4－2＝2.
由AD＝AO·sin
＝4×
＝2
得弦AB＝2AD＝4
.
所以弧田面积＝
（弦×矢＋矢2）＝
×（4
×2＋22）＝4
＋2≈9（平方米）.
法二 由已知,可得扇形的面积S1＝
r2θ＝
×42×
＝
△AOB的面积S2＝
×OA×OB×sin∠AOB＝
×4×4×sin
＝4
.
故弧田的面积S＝S1－S2＝
－4
≈9（平方米）.
答案 B
考点三 三角函数的概念
【例3】
（1）（2018·合肥质检）在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P
则sin（π＋α）＝（ ）
A.－
B.－
C.
D.
（2）若sinαtanα<0,且
<0,则角α是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析
（1）易知sin
＝
cos
＝
则P
.
由三角函数的定义可得sinα＝
＝
则sin（π＋α）＝－sinα＝－
.
（2）由sinαtanα<0可知sinα,tanα异号,则α为第二或第三象限角;由
<0可知cosα,tanα异号,则α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.
答案
（1）B
（2）C
规律方法 1.三角函数定义的应用
（1）直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标,及这点到原点的距离,确定这个角的三角函数值.
（2）已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列出含参数的方程,求参数的值.
2.三角函数线的应用问题的求解思路
确定单位圆与角的终边的交点,作出所需要的三角函数线,然后求解.
【训练3】
（1）（2019·西安一中月考）如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标分别为
和
则cos（α＋β）的值为（ ）
A.－
B.－
C.0D.
（2）满足cosα≤－
的角α的集合为________.
解析
（1）由三角函数的定义可得cosα＝
sinα＝
cosβ＝－
sinβ＝
.
所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－
.
（2）作直线x＝－
交单位圆于C,D两点,
连接OC,OD,则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为
.
答案
（1）A
（2）
[思维升华]
1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.
2.在解决简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.
[易错防范]
1.注意易混概念的区别:
象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区间角.
2.相等的角终边相同,但终边相同的角不一定相等.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
基础巩固题组
（建议用时:
30分钟）
一、选择题
1.给出下列四个命题:
①－
是第二象限角;②
是第三象限角;③－400°是第四象限角;④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 －
是第三象限角,故①错误.
＝π＋
从而
是第三象限角,②正确.－400°＝－360°－40°,从而③正确.－315°＝－360°＋45°,从而④正确.
答案 C
2.下列与
的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
A.2kπ＋45°（k∈Z）B.k·360°＋
π（k∈Z）
C.k·360°－315°（k∈Z）D.kπ＋
（k∈Z）
解析 与
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