例8如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交Ac于点E，若AD+AC=24cm，BD+BC=20cm，求△BEC的周长．
点睛：
由AD=÷AB·AB=AC，再根据AD+AC=24cm可求出AD=BD=8cm，AC
=16cm．由BD+BC=20cm，得BC=12cm．由DE垂直平分AB，得EA=EB，则BE
+EC=AC，从而可得△BEC的周长为28cm．
答案：
解∵AD=BD=
AB，AB=AC，
∴AD=
AC．
∵AD+AC=24cm．
∴AD=BD=8cm，AC=16cm，
∵BD+BC=20cm．
∴BC=12cm．
∵DE垂直平分AB，∴EA=EB．
∴BE+EC+BC=AC+BC=16+12=28（cm）．
即△EBC的周长为28cm．
例9如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部时，则∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，这个规律是（）
A．∠A=∠1+∠28．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）
点睛：
由题意知∠EAD=∠EA′D，∵∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A，
∴∠1+∠2=∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A．
∴∠EAD=∠EA′+∠DAA′，∠EA′D=∠EA′A+∠DA′A，
∴∠1+∠2=∠EAD+∠EA′D，即∠1+∠2=2∠A．故选B．
答案：
B
例11如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．
点睛：
三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法是找两边的垂直平分线的交点。
答案：
解如图，连接AB、AC、BC．
分别作AB、BC的垂直平分线交于点P．则点P就是所要确定的学校的位置．
例12如图，ABCD是矩形的桌面，黑白两球分别位于M、N两点位置上，试问：
怎样撞击黑球M，才能使黑球先碰撞桌的边缘AB，反弹后击中白球N?
点睛：
要撞击黑球M，使黑球M先碰撞桌的边缘AB上的O点，反弹后击中白球N，需∠AOM=∠BON，如图，可作点M关于AB的对称点M′，连接M′N交AB于点O，则点O即为所求的点．
答案：
解①如图。
作点M关于AB的对称点M′．
②连接肘′N交AB于点O．
则经MO撞击桌的边缘AB，必沿ON反弹击中白球N.
例13如图所示，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后，拼成标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个轴对称图形”的对应关系填空：
A与＿＿＿＿对应；B与＿＿＿＿对应；C与＿＿＿＿对应；D与＿＿＿＿对应．
点睛：
本题主要考查的是轴对称图形的性质和学生的空间想像能力．
答案：
MPQN
12．2作轴对称图形
知识点2作已知图形关于某条直线对称的图形
例3把图①补成以直线m为对称轴的轴对称图形．
点睛：
△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线m的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形．
答案：
解作法：
①如图②．过点A作悫线m的垂线，垂足为O点，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线m的对称点．
②类似地，可以作出点B、C关于直线m的对称点B′、C′．
③连接A′B′、B′C′、C′A′，得到的△A′B′C′就是所求作的图形．
知识点5直角坐标系中，关于某条直线对称的点的特征
例6作出△ABC关于直线x=1的对称图形△A′B′C′，并写出点A、B、C及其对称
点A′、B′、C′的坐标．
点睛：
要作出△ABC关于直线x=1的对称图形△A′B′C′，其关键是作出△ABC的三个顶点A、B、C关于直线x=1的对称点．
答案：
解如图，△A′B′C′即为所求作的图形．
点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（-4，-2），点C的坐标为（0，-1）；
点A′的坐标为（4，2），点B′的坐标为（6，-2），点C′的坐标为（2，-1）．
典型题解
例1如图①，画出△ABC关于直线l对称的图形．
点睛：
△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出A、B、C这三个顶点关于直线l的对称点A1、B1、C1，再连接这些对称点，就能得到要作的图形．
答案：
解如图②所示．
①过点A作直线l的垂线，垂足为O点，在垂线上截取OA1=OA，点A1就是点A关于直线l的对称点．
②类似地，可以作出点B、C关于直线l的对称点B1、C1.
③连接A1B1、B1C1、C1A1，得到的△A1B1C1就是所求图形．
例2如图，由小正方形组成的“L”形图中，请你用三种方法分别在图中画一个小正方形使它成为轴对称图形．
点睛：
这道题不同于直接作出一个图形成轴对称图形的问题，需要先找准对称轴，然后才能把轴对称图形补充完整．
答案：
解由题意，利用轴对称的知识可以得到如图所示的补充后的轴对称图形．
例6如图①，四边形ABCD中，P为BC的中点，试在CD边上找一点Q，使△APQ的周长最短．
点睛：
因为△APQ的周长=AP+AQ+PQ，而∠AP是一个固定值，故求周长的最小值，就是求AQ+PQ的最小值．问题就转化成了：
已知点A、P，要求在CD上找一点Q，使AQ+PQ的值最小．则只要找出点P关于CD对称的点P′，连接AP′与CD的交点就是Q．
答案：
解作PH⊥CD于点H，并延长到P′，使P′H=PH，连接AP′，与CD的交点就是Q
的位置，如图②。
例8点P（-1，3）关于y轴对称的点的坐标是（）
A．（-1，3）B．（1，3）C．（3，-1）D．（1，-3）
点睛：
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数，∴选B．
答案：
B
例9已知点A（2，-2），如果点A关于x轴的对称点是B，点B关于y轴的对称点是C，则点C的坐标是（）
A．（2，2）B．（-2，2）C．（-1，-1）D．（-2，-2）
点睛：
点A（2，-2）关于x轴对称的点B的坐标是（2，2），点B（2，2）关于y轴对称的点C的坐标是（-2，2）．∴选B．
答案：
B
例10设点M（x，y）在第二象限内，且|x|=2，|y|=3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（）
A．（2，3）B．（-2，3）C．（-3，2）D．（-3，-2）
点睛：
∵点M在第二象限，|x|=2，|y|=3，∴x=-2，y=3，∴M（-2，3），∴它关于y轴对称的点为（2，3）．∴选A．
答案：
A
例11已知点P（-2，A）关于x轴的对称点为Q，原点是O，若△POQ的面积为2√3，则实数A为（）
A．√3B．-√3
C．√3或-√3D．无法确定
点睛：
∵点P（-2，A）与Q关于x轴对称，∴点Q（-2，-A），∴PQ=|2A|．
∵S△POQ=2√3，∴
×|-2|×|2A|=2√3．∴A=±√3.
答案：
C
例14已知点M（3，2）、N（1，1），点P在x轴上，且PM+PN最短，则这个最短距离为（）
A．√58．√13c．4D．2
点睛：
在这个题中，关键是先确定点P的位置，然后再求点P的坐标．此题也就转化成了在x轴上找到一个点P，使PM+PN最短．我们可以先找到与M点关于x轴对称的点M′，M′N与x轴的交点就是点P的位置．构造直角三角形便可求得M′N的长，即得所求的最短距离．
如图，作出点M关于x轴对称的点M′，点M′的坐标为（3，-2），过点M′、N分别作x轴、y轴的平行线，交于点Q，则Q（1，-2）。
∴M′Q=2，NQ=3，
在Rt△M′NQ中，M′N=
=√13
答案：
B
12．3等腰三角形
知识点1等腰三角形的性质
例1如图，在△ABC中，AD=AE，BD=CE，求证：
AB=AC．
点睛：
如图，过点A作AB⊥BC，由“三线合一”知HD=HE，又∵BD=CE，可得BH=CH，∴AH是BC的垂直平分线，∴AB=AC．
答案：
证明过点A作AH⊥BC于点H
∵AD=AE．AH⊥BC．
∴HD=HE.
∵BD=CE．
∴BH=CH.
又∵AH⊥BC．
∴AB=AC．
知识点2等腰三角形的判定
例2如图，已知BC=CD，∠ABC=∠ADC，求证：
AB=AD．
点睛：
把BD连接起来构成三角形，利用等边对等角得出∠CBD=∠CDB，再根据∠ABC=∠ADC得出∠ABD=∠ADB，从而证出AB=AD．
答案：
证明连接BD．
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB．
∵∠ABC=∠ADC．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
典型题解
例1
（1）如果等腰三角形的一个角为100°，求其余两个角的度数；
（2）如果一个等腰三角形一个角为78°，求这个三角形其他两个角的度数．
点睛：
（1）这个100°的角是什么角?
是顶角还是底角?
需要作出判断．当这个100°的角是底角时，由于等腰三角形的两个底角相等，得另一个底角也是100°，这样三角形的内角和就大于180°了，不符合三角形的内角和定理，因此这个100°的角只能是顶角，则底角就很容易得到；
（2）这个78°的角可能是顶角，也可能是底角．因此解题时应该分两种情况进行讨论．
答案：
解
（1）这个100°的角为顶角，∴两个底角的度数都为
=40°．
（2）①当78°的角为顶角时，两底角的度数为
=51°；
②当78°的角为底角时，另一个底角为78°，顶角为180°-2×78°=24°．
例2某等腰三角形顶角与底角的度数比是5：
2，求这个三角形各个角的度数．
点睛：
根据比值设出未知数，然后再利用三角形的内角和定理计算出来．
答案：
解设顶角为5x，则底角为2x，
∴5x+2x+2x=180°．
∴9x=180°．
∴x=20°．
∴5x=100°．2x=40°．
∴三角形各个角的度数分别为100°、40°、40°．
例3如图，已知∠B=28°，AC=CD=BD，求∠ACE的度数．
点睛：
利用等边对等角可得∠DCB=∠B=28°，利用三角形外角的性质可得∠ADC=56°，再利用等边对等角可得∠DAC=∠ADC=56°，利用三角形外角的性质可得∠ACE=∠B+∠BAC=28°+56°=84°．
答案：
解∵DB=DC，
∵∠DCB=∠B=28°．
∴∠ADC=∠B+∠DCB=56°．
∵CD=CA．
∴∠DAC=∠ADC=56。
．
∴∠ACE=∠B+∠BAC=28°+56°=84°．
例5等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角为＿＿＿＿．
点睛：
等腰三角形一腰上的高有两种情况：
①高在三角形内（如图①），此时底角是65°；
②高在三角形外（如图②），此时底角是25°．
答案：
65°或25°
例6如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，若AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度数．
点睛：
本题主要利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质定理以及三角形的外角的性质．在这个问题中可以设两个未知数，其中一个可以不求出来，从而求出∠EDC的度数．
答案：
解设∠EDC=x，∠C=y，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=Y．
∴∠AED=∠C+∠CDE=x+Y．
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=x+y．
∴∠DAE=180°-2（x+y），
∴∠BAC=∠DAE+∠BAD=210°-2（x+y）．
又∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-2y，
∴210°-2（x+y）=180°-2y，
∴2x=30°，∴x=15°．
即∠EDC=15°．
例8等腰三角形的各边的长为27cm，一腰上的中线把这个三角形分成周长差为6cm的两个三角形，求等腰三角形各边的长．
点睛：
要求等腰三角形的周长，需分别求出等腰三角形的腰长和底边长．被一腰中线分成的两个三角形周长之差可转化为腰与底的差，由此可用方程求解．同时周长差隐含了两种差的可能，故必须分类讨论．
答案：
解如图，设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的中线，则设AB=xcm，BC=ycm，
①当x>y时，如图①，依题意得
解得
②当x解得
故所求等腰三角形的边长分别为11cm、11cm、5cm或7cm、7cm、13cm。
例10已知a、b、c为△ABC的三边且（a-b）（b-c）=0，则△ABC为（）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．无法确定
点睛：
两个因式的积等于0，则每一个因式都有可能等于0，即a-b=0或b-c=0．这里的“或”的意思是指：
①只有一个成立时也能满足（a-b）（b-c）=0，这时得到a=b或者得到c=b，这样△ABC为等腰三角形；②两个同时成立时，得到a=b=c是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．故选A．
答案：
A
例11如图，在△ABC中，DE∥AB，F是AB的中点，∠CDE=∠CED．求证：
△DEF是等腰三角形．
点睛：
要证明△DEF是等腰三角形，可以从证明CF是DE的垂直平分线入手．由∠CDE=∠CED，DE∥AB可得到∠A=∠B，从而得到CA=CB．即CF为△ABC的中线，再根据“三线合一”．由F是AB的中点，得到CF平分∠ACB，由∠CDE=∠CED得到CD=CE，根据“三线合一”得到CF是DE的垂直平分线，结论可证．
答案：
证明连接CF．
∵∠CDE=∠CED，DE∥AB，
∴∠A=∠B．
∴CA=CB．
∵F是AB的中点，即CF为△ABC的中线，
∴CF平分∠ACB．
∵∠CDE=∠CED．
∴CD=CE
∴CF是DE的垂直平分线．
∴FD=FE．
∴△DEF是等腰三角形．
例12如图，∠B=2∠C，∠CAD=∠BAD．求证：
AC=AB+BD．
点睛：
证明一条长的线段等于两条较短的线段的和，通常是在这条长线段上截取一段等于两条较短的线段中的一条，然后证明剩余的部分等于另一段．利用三角形的全等即可证明．
答案：
证明在线段AC上取一点E，使AE=AB，连接DE．
在△AED和△ABD中，
∴△AED≌△ABD．
∴DE=DB．∠DEA=∠B．
∵∠B=2∠C．
∴∠DEA=2∠C．
又∵∠DEA=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=∠C．
∴EC=ED．即EC=ED=BD．
∵AC=AE+EC．
∴AC=AB+BD．
例13如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE．求证：
BD=2CE．
点睛：
证明一条线段等于另外一条线段的两倍，可以延长较短线段并使其与较长
线段相等，即作一条线段等于短线段的两倍，然后证明两条长线段相等．
答案：
证明延长CE交BA的延长线于点F.
∵CE⊥BE．
∴∠BEC=∠BEF=90°．
又∵BE=BE，∠1=∠2，
∴△BCE≌△BFE．
∵CE=FE=
FC，即FC=2CE．
∠F+∠2=90°，∠F+∠ACF=90°，
∴∠ACF=∠2．
又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴△BAD≌△CA.
∴BD=FC，∴BD=2CE．
例14如图，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC、∠OCB的平分线交于
点P．求证：
OP⊥BC．
点睛：
证明OP⊥BC，可以分别证明O、P在BC的垂直平分线上．利用线段的垂直平分线，以及等腰三角形的性质就可以证明出来．
答案：
证明∵OE垂直平分AB，
∴OA=OB．
同理OA=OC，
∴OA=OB=OC．
∴∠OBC=∠OCB．
∴点O在BC的垂直平分线上．
∵∠OBC、∠OCB的平分线交于点P，
∴∠PBC=∠PCB．
∴PB=PC．
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴OP⊥BC．
例15如图，CE⊥AB于点E，∠1=∠2，AE=
（AD+AB）．求证：
∠ABC+∠D=180°．
点睛：
∠ABC与它的邻补角之和是180°，要证∠ABC+∠D=180°，可证∠ABC的邻补角与∠D相等．通过证明三角形全等即可．
答案：
证明作A点关于CE的对称点A′（即延长AB到A′，使A′E=AE），连接CA′，则A′C=AC．∠A′=∠2．
∵∠1=∠2，∴∠A′=∠1．
又∵AE=
（AD+AB），
∴A′B=AD．
∴△A′BC≌△ADC．
∴∠A′BC=∠D．
∵∠ABC+∠A′BC=180°．
∴∠ABC+∠D=180°．
例16如图，C为线段AB上一点，△ACD、△CBE是等边三角形，AE与CD交于点M，BD与CE交于点N，AE交BD于点O．求证：
（1）AE=BD；
（2）∠AOB=120°；
（3）△CMN是等边三角形．
点睛：
（1）要证AE=BD，则只需将AE和BD分别放在两个全等三角形：
△AEC和
△DCB中即可；
（2）要证明∠AOB=120°，则只需把∠AOB看作△AOD的一个外角
故只要证明∠DAO与∠ADO的和为120°；（3）要证明△CMN是等边三角形，只需
用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”证明即可．
答案：
证明
（1）∵△ACD与△CBE是等边三角形，
∴AC=CD．BC=CE．∠ACD=∠BCE=60°．
又∵点C为线段AB上一点，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠ECB=60°.
即∠ACE=∠DCB=120°，
∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB．
（2）由
（1）知△ACE≌△DCB，
∴∠EAC=∠BDC．
∴∠AOB=∠DAO+∠ADO=60°-∠EAC+60°+∠BDC=120°．
（3）∵∠MAC=∠NDC，∠ACM=∠DCN=60°，AC=CD，
∴△ACM≌△DCN，∴CM=CN，
又∵∠MCN=60°，∴△CMN是等边三角形．
例17如图，在△ABC中，∠B=15°，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点N，BM=12cm，求AC的长．
点睛：
本题中有一个15°的角，不是特殊角，通过添加适当的辅助线，可以构造出含30°的角的直角三角形．
答案：
解连接AM．
∵MN是AB的垂直平分线，∴BM=AM，
∴∠B=∠MAB．
∴∠B=15°．
∴∠AMC=∠B+∠MAB=30°．
又∠C=90°，
∴AC=
AM=
BM=6cm．
例19如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，
求证：
BP=2PQ．
点睛：
要证BP=2PQ，PQ、BP分别是Rt△PBQ的直角边和斜边，则只须求出
∠PBQ=30°，由已知条件可证△ACD与△BAE全等，进而得出∠BPQ=60°，也就
得到∠PBQ=30°，结论可证．
答案：
证明∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB．∠C=∠BAC=60°．
在△ACD和△BAE中，
∴△ACE≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE．
∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．
∴∠ABE+∠BAP=60°．
∴∠BPQ=60°．
∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°．
∴∠PBQ=90°-60°=30°．
∴BP=2PO．
例20如图，已知等边三角形ABC和点P，设P到△ABC三边AB、AC，BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
若点P在边BC上，如图①，此时h3=0，则可得结论：
h1+h2+h3=h.
（1）应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内部（如图②）或点P在△ABC外部（如图③）时，上述结论是否还成立?
若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系?
请写出你的猜想，不用证明；
（2）若不应用上述信息，请探究其他的方法来证明你猜想的结论．
点睛：
（1）已知信息的实质是等边三角形一边上的一点到其他两边的距离之和等
于一边上的高，类比可知，过
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