正方体长方体表面积变化问题完整.docx
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正方体长方体表面积变化问题完整
正方体、长方体表面积变化
例题一一根长方体木料，长2米，宽和高都是0.1米
（1）如何把它锯成两个相等的小长方体，两个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了还是减少了多少平方米？
图1
图2
（2）如何把它锯成三个不相等的长方体，三个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方米？
图3
图4
思考：
如何把它锯成十个不相等的长方体，这十个小长方体表面积之和与原来的长方体的表面积有什么变化？
例题二一个正方体木块，长、宽、高都是0.1米
（1）如何将两个这样的正方体木块拼成一个长方体木块，那么拼接后的长方体的表面积和原来两个正方体的表面积之和有什么变化？
图5
（2）三个正方体木块拼成一个长方体木块呢？
图6
思考练习：
（3）八个正方体呢？
总结:
对于这种长方体和正方体拼接或截取导致表面积产生变化的问题，我们要弄清楚一下问题：
1.在这个演变过程中，我们能看到的立方体的表面有什么变化？
2.变化过程中，表面积的改变和这些新增或消失的面有什么关系
3.新增或消失的面和原来长方体或正方体哪些面的面积相等以及个数有什么变化？
正方体、长方体表面积变化
例题用两个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体可以拼成几种不同的长方体？
怎么拼表面积最大？
怎么拼表面积最小？
方法一：
出新长方体的长、宽、高，然后再求长方体表面积
方法二：
拼接之后长方体的表面积
=拼接之前两个长方体表面积之和-拼接中减少的表面积
第一种：
上下底面相拼
第二种：
前后面相拼
第三种：
左右侧面相拼
总结：
本题有三种拼接方法，我们都可以算出拼接后的长方体的表面积，我们发现表面积的大小和减少的面积的大小有什么关系？
减少的表面积越小，拼成后的大长方体的表面积就越大
典型例题：
【例题1】有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？
练习2：
1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？
2.有一个长方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？
【例题2】一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少平方厘米？
练习1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？
2.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个棱长是2厘米的正方体，至少需要多少个小正方体？
如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？
3.有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？
【例题4】一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：
（1）三个面涂有红色的有几个？
（2）二个面涂有红色的有几个？
（3）一个面涂有红色的有几个？
（4）六个面都没有涂色的有几个
练习4：
1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？
巩固练习题
一．填空题。
1．102m=（）cm476cm=（）dm64dm=（）cm
1067cm=（）m4.85dm=（）cm6.55cm=（）m
1dm2=（）cm245cm2=（）dm21506cm2=（）m2
66m2=（）cm2781dm2=（）m219m2=（）cm2
2.一个长方体它的长是15cm，截面是一个边长为5cm的正方形，这个长方体的表面积为（）cm2.
3.用铁丝焊接一个长为10cm，宽为5cm，高为3cm的长方体，需要用（）cm铁丝。
4.一个长方体的棱总和为36cm，已知长4cm，宽3cm，它的高是（）cm。
5.一个长方体相交于一个顶点的三条棱分别是5cm，3cm，4cm，这个长方体的所有棱长之和是（）厘米，表面积是（）。
6.已知一个长方体长为40cm，宽10cm，高5cm，把这个长方体分割成两个长为20的长方体，表面积会增加（）cm2.
7、把一个棱长为8厘米的正方体切成两个长方体，切成的这两个长方体的表面积的总和是多少？
8.将3个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体后，长方体的表面积比原来三个正方体的表面积之和减少了多少？
9、将5个棱长是4厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来5个正方体的表面积之和少多少？
《长方体和正方体的表面积》教学反思
设计思想
“长方体和正方体的表面积”是在学生已经掌握了一些简单的平面图形知识的基础上，过渡到初步的立体图形上学习的。
本节课的学习目标是让学生进一步认识长方体和正方体的特征，掌握长方体和正方体表面积的计算，体现“立体——平面——立体”螺旋上升、循序渐进的教学思想，并通过平面图形和立体图形的联系沟通，培养和发展学生初步的空间想象能力。
课堂教学是素质教育的主渠道，素质教育是以全面提高全体学生的基本素质为根本目的，以弘扬学生的主体性和主动精神为主要特征，注重开发学生的智慧潜能，注重形成人的健全个性。
因此在小学数学课堂教学中，引导学生主动参与，自主探索，锤炼思维，培养能力，发展智力，浸润情感态度是素质教育的应有之义，“长方体和正方体和表面积”一课，正是从这一思路出发预设、生成教学过程的。
1、从生活实际引入新课
创设一个能够吸引学生的、源于生活的、有趣的、有用的、可操作的、可探索的情景，有利于激发学生的学习兴趣和愿望，使学生处于积极主动的学习状态，有利于学生自主探索。
新课标强调“要让学生在现实情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识”“要提供丰实的现实背景”任何知识源于生活又服务于生活。
生活中处处有数学，让现实的生活数学走进学生视野，使生活数学与数学问题有机地结合起来，使学生体会在生活中做数学的乐趣。
设计时应从生活实际出发，引导学生明确学习求长方体、正方体表面积的必要性，以激发学生的求知欲。
2、按知识形成发展过程展开新课
知识的形成发展是有层次的，且与旧知识紧密相连。
新课展开必须以学生原有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。
为此，新课的组织展开以有利于教材结构与学生的认知结构产生同化，有利于学生主动建构为目的。
3、运用现代化教育手段，显现知识结构
学生计算长方体、正方体表面积必须具有较强的空间观念，这是教学的难点。
为此，借助于实物投影、模型、多媒体课件，让学生观察、触摸、拼拆、抽拉、展示，全方位感知，培养空间观念，寻找知识的结合点，让各种现代化教学手段协同互补在提高课堂教学效率与质量上发挥更好的媒介作用，实现信息技术与数学教学的整合。
“长方体和正方体的表面积”教学案例与反思
案例：
一、创设情境，激发兴趣，理解表面积的意义。
师：
（出示一个长方体纸盒和一个正方体纸盒）猜一猜，这两个纸盒那个用的纸板多？
生：
我觉得这个长方体用的纸板多。
因为它比这个正方体长。
生：
我觉得这个正方体用的纸板多。
因为它比这个长方体高。
生：
我觉得这两个纸盒用的纸板同样多。
因为这个长方体比这个正方体长，而这个正方体又比这个长方体高。
中和一下就同样多了。
师：
如果只靠我们这样空口无凭地去猜，能否得出正确结果？
生：
不能。
师：
那我们应该怎么办？
生：
我们应该分别计算出它们的六个面的总面积。
师：
你的想法真不错。
长方体或正方体6个面的总面积就叫做他的表面积。
摸一摸、说说长方体的表面积都包括哪儿？
生：
边指边说，包括上下、左右和前后六个面。
二、动手操作，探究长方体的表面积的计算方法。
师：
老师给每个小组都准备了8个长方形，要求：
从给出的8个长方形中选出6个长方形围成一个长方体，同时思考：
（出示）①长方体的6个面之间有什么关系？
②长方体每个面的两条边分别与相邻两个面的边长有什么关系？
通过量一量、剪一剪、拼一拼、摆一摆等方法求出长方体的表面积，并把讨论结果写在之上。
生：
小组活动。
生：
反馈交流
第一种方法：
我们先求出每个面的面积，再把这六个面的面积相加，就能算楚这个长方体的表面积了。
第二种方法：
我们先把长方体的六个面剪开，把相对的面摆在一起组成三大部分，再用长×宽×2+高×宽×2+长×高×2，就能算楚这个长方体的表面积了。
师：
你们的想法很好，还有其它想法吗？
生：
还可以用乘法分配律把第二种方法写成（长×宽+高×宽+长×高）×2，也就是把长方体纸盒剪成面积相等的两大部分上面、左面、前面和下面、右面、后面。
师：
你能够运用过去所学知识来解决新的问题，很会学习。
在这些方法中，你认为哪种方法好？
为什么？
生：
我认为第三种方法好，因为这种方法最简便。
师：
我们今天学的这种类型的题当然用第三种方法比较简便，但在实际生活中还会遇到很多实际情况，我们要根据实际情况灵活运用计算表面积的方法。
三、精心设计练习，逐步优化求长、正方体表面积的方法。
1、用你喜欢的方法计算纸盒的表面积。
（单位：
厘米）
23
5
2、选择求上、下地面是正方形的长方体表面积的最优方法。
①（5×3+5×3+3×3）×2
②5×3×4+5×3×3×2
53
3
3、选择求长、宽、高相同的长方体表面积的最优方法。
①3×3×6
33②（3×3+3×3+3×3）×2
3
四、联系实际，灵活应用，培养学生创新的精神。
1、讲下列物体的表面积所包括的面进行分类。
（1）无盖的长方体木箱
（2）正方体纸盒（3）在一个长方体游泳池四壁和底面抹水泥（4）长方体包装箱（5）手提袋（6）灯管的包装盒（7）字典的封皮（8）火柴盒，
2、一间教室，长8米，宽5米，高4.5米，要粉刷屋顶和四壁，除去门窗面积20平方米，粉刷面积是多少平方米？
反思：
《长方体和正方体的表面积》是在学生认识并掌握了长方体、正方体特征的基础上教学的，也是学生学习几何知识由平面计算扩展到立体计算的开始，是本单元的重要内容。
学生对旧知识已经有了一定的积累，但空间思维还没有真正形成。
为了使学生更好地建立表面积的概念和计算方法，应加强动手操作和直观演示，按照创设情境——实践操作——自主探究——掌握规律的教学流程进行设计教学方案。
本节课教学本着“让学生自主探究活动贯穿于课的始终”的原则，让学生充分自主学习、研究、讨论、操作，从而得出结论，激发了学生的学习兴趣，培养了学生思维能力和实践操作能力。
一、创设情境，以“争”激思
新课伊始，创设让学生“猜一猜”做一个长方体纸盒和正方体纸盒，哪个用的纸板较多这一情境，引发学生思考，“用什么方法才能比较出来呢？
”学生通过思考与交流，认识到“必须分别计算出六个面的总面积”，这时教师因势利导指出：
“长方体或正方体六个面的总面积叫做表面积”，然后再让学生摸一摸、说一说长方体的表面积包括哪儿？
这样设计能刺激学生产生好奇心，进而唤醒学生强烈的参与意识，产生学习的需要，使学生在自主的观察与思考中理解了表面积的意义，为探索长方体和正方体表面积的计算打下了良好的基础。
二、实践操作，以“动”激思
数学知识具有高度的抽象性，我们要多引导学生在操作中思考加工，培养技能技巧，促进思维发展，因此，在教学长方体表面积计算方法时，先让学生动手操作，以长方体的特征为依据，从给出的8个长方形中选取相应的面拼成长方体，同时让学生思考：
①长方体六个面之间的关系？
（相对的两个面是完全相同的。
）②长方体每个面的两条边分别与相邻的两个面边长之间的关系？
（每个面的两条边一定分别与相邻的两个面的一条边相等。
）学生在动手拼的过程中，通过比较分析深刻地认识了长方体的特征，抓住了推导长方体表面积计算方法的关键，然后让学生在小组活动中通过量一量、剪一剪、拼一拼、摆一摆等方法，共同探索出长方体表面积的计算方法。
在这里鼓励学生有不同方法，培养了学生的求异思维。
三、巧编习题，以“练”促思。
在学生掌握了长方体表面积的计算方法后，不单独安排时间推导正方体表面积的计算方法，而是设计了一道综合练习，（图略，选择求长、宽、高都是3厘米的长方体的表面积的最优方法。
①3×3×6②（3×3+3×3+3×3）×2③3×3×4+3×3×2）。
以选择题的形式出现，学生在说算式意义的过程中很自然地发现了正方体表面积的计算方法，这一设计，改变了以往将正方体的表面积独立用一单位时间教学的方法，这样既节省了时间，又培养了学生优化思维和求异思维的能力，促进课堂效益的提高，也使学生在愉快的气氛中，在师生共同参与和评价中，达到优化思维，推陈出新的效果，并从中感受到学习的乐趣。
四、联系实际，以“用”促思。
数学来源于生活，同时又服务于生活。
应用学到的知识解决实际生活中的问题，不但能使学生感受数学与实际生活是密切联系的，而且能培养学生的创新精神。
为此，我先出示了以下几种情况，
（1）无盖的长方体木箱
（2）正方体纸盒（3）在一个长方体游泳池四壁和底面抹水泥（4）长方体包装箱（5）手提袋（6）灯管的包装盒（7）字典的封皮（8）火柴盒，让学生从各种物体的表面积所包括的面进行分类。
从中使学生认识到长、正方体的表面积也会遇到许多特殊情况，我们在求表面积是不可以千篇一律，死套公式，要根据实际情况具体问题具体分析。
在此基础上，我又及时拓宽学生的思路，让学生举出在日常生活中，做哪些事与求长方体或正方体的部分面积有关，培养了学生的空间想象力和求异思维的能力。
再有，与实际生活联系，学生乐学、愿学。
本节课教学也存在一定的不足，例如，优生在课堂上仍是主角，学困生由于动手能力差，思维跟不上，大部分时间只能充当观众与听众，从课堂练习可以看出他们对所学的知识一知半解，课堂如果让他们充分动手操作与表达，又会花费大量的时间，如何解决这样的矛盾，仍是我今后的重要研究内容。
《长方体正方体的体积》教学反思
案例片断：
教师拿出准备好的量杯，注入半杯红色的水，又拿出一节电池、一个方铁块，一个石块。
师：
现在请一位同学上来，把电池放进量杯里，再取出来，再把铁块、石块也分别放进量杯里，再取出来，量杯里的水会发生怎样的变化呢？
为什么？
生：
把电池、铁块、石块放入量杯时，水上升了，取出后，水又回到了原来的位置。
师：
把三个物体分别放进量杯的水中，水上升的高度一样吗？
（教师重复一次实验）为什么？
生：
三次都不一样，因为三个物体的大小不同。
电池的个最大，水上升的也最高。
师：
同学们观察得很细，说得也对，老师再补充一点。
从刚才的实验中，我们看到了电池、铁块、石块这些物体都占有空间，由于这些物体的大小不同，所以他们所占的空间大小也不同。
我们把“物体所占空间的大小叫做物体的体积”。
这就是我们今天要研究的内容。
课后反思：
在教学认识体积的意义时，我用一个量杯盛半杯红色水，让学生想象要在量杯中放入一些物体，会出现什么情况。
然后通过试验，观察在盛有水的容器中，分三次放入电池、铁块、石块三个大小不同的物体时所发生的情况，水面上升的高度有什么变化？
（上升的高度不同），说明每个物体都是占有一定的空间的，从而概括出体积的概念，使学生明白知道物体所占空间的大小叫做物体的体积。
在教学中我十分重视直观因素的作用，目的是吸引学生，激发学生的求知欲，如当学生看到老师拿着电池、铁块、石块、量杯走进教室时，大感疑惑，这是上自然课吗？
老师要给我们教什么呢？
学生产生了好奇心，随着教学的开展，由好奇心转化为求知欲，让其在迫切的要求下，在积极实验的进程中，获取知识，培养能力，发展智力，这样安排比较符合学生的知识基础和认知特点，能够较好的激起学生的求知欲望，使学生处在一种欲罢不能的境地，为学生进入新的学习奠定了良好的基础。
《长方体与正方体的体积计算》教学反思
一、联系实际生活，解决实际问题。
长方体和正方体体积的计算,是在理解了体积的概念和体积的单位以后教学的,教师通过切开一个长4厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体,看看它含有多少个1立方厘米的体积单位,引入计量体积的方法.但是在很多情况下,是不能用切开的方法来计量物体的体积的.教师采用了让学生用棱长1厘米的正方体拼摆长方体的实验,引导学生找出计算长方体体积的方法。
教师考虑到学习数学是为了解决实际生活中的数学问题，要让学生认识数学知识与实际生活的关系，考虑到解决问题的实际情况，（如，不是所有物体都能切开，）怎样才能更好更快的解决问题，（如，找到计算长方体体积的公式，）从而从实践上升到理论，找到解决问题的一般规律。
二、加强实际操作，发展空间观念。
体积对学生来说是一个新概念,由认识平面图形到认识立体图形,是学生空间观念的一次重大的发展。
然而此时,学生对立体的空间观念还很模糊,教师特别注意到加强实物或教具的演示和学生的动手操作,以发展学生的空间观念,加深对长方体计算公式的理解。
在教学时,教师给了学生12个1立方厘米的小正方体,让学生摆放出不同的长方体,并把长、宽、高的数据填入表格中，启发学生思考，根据记录的长、宽、高，摆这个长方体一排要摆几个小正方体，要摆几排，摆几层，一共是多少个小正方体。
再引导学生进一步思考，这个长方体所含小正方体的个数，与它的长、宽、高有什么关系。
最后，通过学生自己比较、发现长方体体积的计算公式，并用字母表示。
在教学完长方体的计算公式后，教师继续启发学生根据正方体与长方体的关系，联系长方体体积的计算公式，引导学生自己推导出正方体体积的计算公式。
正是教师正确把握了本册教材的重点，发展学生的空间观念，加强实际操作。
通过实际观察、制作、拆拼等活动，学生清楚地理解长方体体积计算公式的来源，并能够根据所给的已知条件正确地计算有关图形的体积。
学生的动手能力也得到了提高。
三、小组合作交流、培养自主学习能力。
传统的教学观念阻碍了学生主动性的发挥和创造力的培养,要改变传统观念就要实现三个转变：
教学目标，由以知识传授为主改为增长经验、发展能力；教学方法，由以教师为中心改为以学生为中心；课堂气氛，由以严格遵守常规改为生动活泼、主动探索。
在新的教育观念的指导下，教师在本节课中大胆地实践，采用小组合作交流，给学生最大限度参与学习的机会，通过教师的引导，学生自主参与数学实践活动，经历了数学知识的发生、形成过程，掌握了数学建模方法。
学生在活动中表现出主动参与、积极活动的热情让每个听课老师都能感受到，本节课的教学目标也就达到了，因为它不仅仅让学生学会了一种知识，还让学生培养了主动参与的意识，增进了师生、同伴之间的情感交流，提高了实际操作能力，……
《数的整除复习课》
【教学目的】
1、归纳整理“数的整除”的有关概念，让学生理解每个概念并能够掌握概念间的内在联系，形成完整的认知结构。
2、尝试针对自己知识上的不足进行有选择的练习。
3、渗透一些学习数学的方法。
【教学重点】
本单元知识的整理与回顾；及对易混淆概念的理解。
【教具准备】
写好概念名称的卡片。
【教学过程】
一、猜数游戏
我们先轻松一下，玩一个猜数游戏吧。
抢答：
如一个两位数，十位上的数既不是质数也不是合数，个位上的数最大约数是8。
问：
刚才我们在猜数时用到了数的整除中的一些知识，今天我们就一起来复习“数的整除”（出示课题）。
对于课题中的数你是怎样理解的？
二、沟通联系，形成网络。
1、通过预先复习，你觉得这部分内容有哪些知识点？
（随意贴出）
2、看到这些纸条这样贴在黑板上你有什么感觉？
怎么办？
（板书：
整理）
3、根据它们之间的联系，你能把它们串联在一张网络图吗？
（网络图的设计在课前进行，上课时重点进行展示交流）
4、哪个小组愿意第一个为大家介绍你们的网络图？
问：
为什么会有这样的联系？
这个图还要补充什么吗？
师生共同整理完善知识结构。
指出：
这些知识之间是有密切联系的。
这张图可以使这部分知识更加条理化、系统化。
三、逐一梳理，辨析概念
1、在这些知识中，你认为哪个最重要？
谁知道什么叫整除？
（多请几位说说）
A、口答：
下面哪些式子里的被除数能被除数整除？
哪些不能？
⑴16÷8=2；⑵32÷4=8⑶21÷5=4……1；
⑷13÷5=2.6；⑸18÷30=0.6；⑹9÷3=3
B、问：
象算式3、4、5叫被除数被除数怎么样？
那整除和除尽之间有什么关系？
（出示集合图）
2、你认为最难理解的概念是什么？
互质数、质因数
3、你认为比较容易混淆的概念有哪些？
板书：
（1）奇数、偶数、质数、合数；
（2）约数、公约数、最大公约数；
（3）倍数、公倍数、最小公倍数；
（4）互质数、质因数
4、对每个概念的意义我们要掌握，容易混淆的我们格外要注意，把它们弄清楚，这是我们复习的一个重要任务，我们班的同学语文功底特棒，接下来就请大家在这节数学课上展现一下你们的造句水平，从每组中选一个或几个说一句话。
5、谁自告奋勇选择你最感兴趣的说说。
男女生打擂
每组概念安排几道相关的题目
四、应用知识
反馈练习：
（一）填空
1、在1、2、3、9、24、41和51中，奇数是（），偶数是（），质数是（），合数是（），（）是奇数但不是质数，（）是偶数但不是合数。
2、一个数的最小倍数是12，这个数有（0个约数。
3、21的所有约数是（0，21的全部质因数有（0。
4、a=2×3×5，b=2×3×3，a、b两数的最大公约数是（0，最小公倍数是（）。
5、a、与b是互质数，它们的最大公约数是（），它们的最小公倍数是（）。
（二）判断
1任何自然数都有两个公约数。
2、所有偶数的公约数是2。
3、因为8和13的公约数只有1，所以8和13是互质数。
4、因为21÷7=3，所以21是倍数，7是约数。
5、因为60=3×4×5，所以3、4、5、都是60的质因数。
（三）选择
1、已知a能整除23，那么a是：
①46；②23；③1或23（）
2、把210分解质因数是：
①210=2×7×3×5×1；②210=2×5×21；③210=3×5×2×7×。
（）
3、两个奇数的和是：
①是奇数；②是偶数；③可能是奇数，也可能是偶数。
4、如果a、b都是自然数，并且a÷b=4，那么数a和数b的最大公约数是：
①4；②a；③b。
（）
5、一个正方形的边长是一个奇数，这个正方形的周长一定是：
①质数；②奇数；③偶数。
（）
“约数和倍数”一课的反思
我上了“约数和倍数”一课，感触颇深。
一、关于目标定位
在设计这节课时，首先确定了以理解“整除”、“约数”和“倍数”的意义及相互间的关系、整除中“1”和“0”两个特殊的数的情况作为知识目标；判断是否是整除、正确叙述整除、约数和倍数关系及在概括整除的意义环节中培养观察、类推等能力作为技能目标。
这仅仅是在设计教案之初设定的目标，是完整教案中的一部分，它的定位准确仅是上好这节课的前提，而非保证。
而更重要的是在具体教学过程设计中体现出的目标定位，这是备好一节课的基本条件。
最重要的，则是教学实施过程中体现的目标定位，这才真正是评定一节课的目标定位的依据。
我在这一节课的设计中，即上述前两个方面，目标定位是比较明确的，但最关键的第三个方面即实施过程中所体现出的目标定位相对来说就没有足够的重视，因此也就使得原先设定的目标没有得到最好的落实。
这使我感觉到，目标的定位并非在教学设计时设定好了就可以“一劳永逸”，而是一定要贯穿到整个教学流程的始终。
二、关于教学设计
我在设计这节课时，在设定目标之后就在目标的指引下按“一般流程”来设计教学过程，并参照了一些
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