正方体的截面问题研究报告.docx

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正方体的截面问题研究报告

研究性学习报告

体的截面形状

【课题】体的截面形状

【作者】可歆岳新茹

【摘要】探究体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。

【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法

证明猜想是否正确。

再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。

【研究过程】

探究1:

当截面为三角形

根据一定角度过体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下

由上图可知，体可以截得三角形截面。

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形,图示如下:

====》

探究2:

当截面是四边形

1.形：

正三棱锥

因为该立体几何图形是体，所以用从任意位置与该体上下底面平行的平面

进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明:

》》》

由图示可知，水平方向截取体，得到的截面为形

====》》》

由图示可知，竖直方向截取体，得到的截面为形

2.矩形:

因为形也属于矩形，所以对形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的

矩形截面的图示如下：

由上图所示可知，按不同角度截取体可以得到矩形

3.平行四边形：

当平面与体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下:

==》

由上图所示可知，当截面不与体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形

4.菱形：

如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：

5.梯形:

如图所示，当按一定角度使截面在体的上下底面上所存在的线段长短有

异时，所得截面可能是梯形:

==》》》

探究3:

当截面是五边形

6.五边形：

如图所示，可以截得五边形截面:

探究3:

当截面是六边形

7.六边形:

如图所示，可以截得六边形截面:

特别的，当平面与体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示:

【拓展探究】

1.体最大面积的截面三角形:

如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形

2.体最大面积的截面四边形：

通过猜想及查询资料可知，体截面可能得到的四边形有：

形、矩形、梯形、平行四边形。

根据四边形的面积公式：

面积=长*宽联系体图形:

得到：

当由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形的长最大，又因

为在各个情况下的宽不变。

则由猜想得到：

“最大面积的截面四边形：

由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形。

”

3.最大面积的截面形状：

体的截面可以分为：

三角形、形、梯形、矩形、平行四边形、五边形、六边形、正六边形。

其中三角形还分为锐角三角型、等边、等腰三角形。

梯形分为

非等腰梯形和等腰梯形。

首先比较三角形与五边形和六边形，所得这三种截面的情况有一共同特点：

不能完整在该截面所在平面在体所截的围的最大值，有部分空间空出。

因此可以得到：

最大面积一定是四边形。

所以最大面积的截面形状：

即最大截面四边形（猜想）。

初步推断为如图

所示的矩形：

【小结】体的截面图

可能出现的截面形状：

锐角三角型、等边、等腰三角形，形、矩形、

非矩形的平行四边形、非等腰梯形等腰梯形、

五边形、六边形、正六边形

不可能出现的截面形状：

钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、

七边形或更多边形

《体的截面形状》研究性学习小组

2014212

选择是难，更何况是心灵选择。

高渐离为了荆轲，他选择了死；马本斋母亲为了革命，她选择了牺牲；祝英台为了真挚爱情，她

选择了化蝶。

在这友情、亲情与爱情之间选择，他们是这样做