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7整式的概念
整式的概念
知识总结归纳
一.提出问题：
在下列各代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式？
哪些是整式？
解：
单项式有：
多项式有：
整式有：
我们从上面指出的整式的意义，可得到下面的关系：
有了用字母表示数之后，就出现了形形色色的代数式。
为了便于研究，我们往往把代数式分成类，然后归类去讨论它的特征和运算。
二.梳理知识：
1.单项式：
单项式指的是数与字母的积的形式的代数式，即对字母而言只含乘法运算。
单项式的分母不含字母，分子不含加减运算；形如的代数式是单项式，而形加的代数式就不是单项式了，因为它分母中含有字母，所以也就不是整式，故判断单项式的方法主要从两个角度出发，一是看运算中是否只含乘除法运算；二是看分母中含不含字母。
特别要注意的是，单独的一个数或一个字母也是单项式。
如－8，a，y也都是单项式。
在单项式中，有两个重要概念：
（1）系数：
单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数。
单项式－12xy的系数是－12
单项式的系数是
单项式ab的系数是1，但省略不写，单项式－xy3的系数是－1，只保留一个“－”号，1字省略不写
（2）次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如
单项式5x2y3中，x的指数是2，y的指数是3，所以5x2y3的次数就是5，同样
单项式的次数是4
单项式的次数是8
单项式ab的次数是2
学习单项式应注意的几点：
单项式是初一代数中一个重要的基本概念，同学们在学习这一概念时，应注意以下几点。
1.单项式是数与字母的积，数与字母之间没有加减运算。
如就不是单项式。
特别要强调的是：
单独的一个数或一个字母也是单项式，如m，x，－2，0等都是单项式。
2.单项式的系数是指单项式中的数字因数（包括前面的符号）。
如的系数是。
当一个单项式的系数是1或－1时，1通常省略不写。
如：
mn2，－x3y4的系数分别是1与－1，而不是没有系数。
有的单项式含有多个字母，有时为了需要，往往把其中一个或几个字母作为主要字母，这时单项式中的数字因数和其它字母因数都被称为这个单项式的系数。
例如：
单项式3mx2y，一般情况下，其系数是3，若以x2y为主要字母，则系数就是3m；若以y为主要字母，则其系数就是3mx2。
3.单项式的次数是指这个单项式所有字母的指数的和，而且只与字母有关。
例如a4b3c2的字母a，b，c的指数的和是4＋3＋2＝9，所以a4b3c2是一个九次单项式。
单独一个非零的数，例如：
3，－7都叫做零次单项式。
因数零与任何一个或几个字母的乘积还是零，所以可以把零看作与任何一个或几个字母的乘积，故零也可以看成是次数不能确定的单项式。
4.单项式的次数与所指的字母有关。
例如：
a2b3c，对于字母a，b，c来讲是六次单项式；对于字母a来讲是二次单项式；对于字母b来讲是三次单项式；对于字母c来讲是一次单项式。
5.只含一个字母的单项式或者单独的一个常数的指数才与次数相等，否则它们是不等的。
例如，可以说x3的次数是3，或x的指数是3，但对单项式x3y3却不能笼统地说它的指数是多少，而只能说它的次数是多少。
因此不能认为指数就是次数。
6.进行运算时，要注意把单项式的次数与系数从意义上区分清楚，如3x中的3是x的系数，3x表示x＋x＋x。
而x3中的3是x的指数，即单项式的次数，x3表示x·x·x。
例1.填空：
（1）代数式中的单项式是_________。
（2）单项式的系数是________，次数是________
分析：
单项式的分母不含字母，分子不含加减运算，像形式的代数式就不是整式，因为它的分母中含有字母，所以它也就不是单项式了。
如果单项式的系数是1或－1时，则1省略不写；a1记作a，指数1也省略不写。
解：
（1）
（2）
说明：
单项式的系数是指单项式中的数字因数，只含有字母因数的单项式的系数是1或－1、除特殊单项式外，每个单项式都有系数。
单项式的系数是针对式中的字母来说的，有数字系数与字母系数的不同。
单项式的次数是式中所有字母的指数的和，次数仅仅与字母有关，与所指的字母有关。
例如3ax2，对字母a、x是3次单项式，它的系数是3，而对字母x是关于x的2次单项式，它的系数是3a，而对于字母a，是关于a的1次单项式，系数是3x2。
一般情况下，如没有特殊说明关于哪个字母，通常是对所有字母而言。
例2.若单项式的次数是5，且m是质数，求m、n的值。
解：
∵的次数是5
∴m＋n＋1＝5
即m＋n＝4
∴m=2，n＝2，或m＝3，n＝1。
2.多项式
多项式的定义：
“几个单项式的和叫做多项式”
这里要特别注意“和”的真实含义。
这儿的“和”应理解为“代数和”。
讲通俗点，就是给定的任意一个多项式中的每一项之间都省去了运算符号“＋”号，而每项前的符号实际上是这项前面系数的性质符号。
例如：
多项式6x2－2x＋7中，有三项，它们依次为6x2、－2x、7，往往有人将中间一个单项式－2x误为2x，这样就偏离了定义的原意，形成错误。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
例如9x2－6xy－8x－15就是一个多项式，它有四项，即9x2，－6xy，－8x，－15，所以叫它四项式，其中－15是常数项。
多项式的次数是这样规定的：
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如：
3x2－y的次数是2，称为二次二项式；
5a2－7ab+8b2是二次三项式；
x－12y＋8xy2－xy＋1是三次五项式；
m－n＋m2n2－m3－n2＋2是四次六项式。
还要注意区别单项式与多项式的关键就是看除了含有数与字母积的运算外，是否还含有加减运算关系，若还含有加减运算，则为多项式。
例3.判断题
（1）都是单项式。
（）
（2）单项式－3xy5的系数是3，次数是五次。
（）
（3）数的运算律对代数式都适用。
（）
分析：
（1）只有数与字母的积的运算的代数式叫做单项式，其中包括单独一个数或一个字母。
而的分母中含有字母，是数与字母的商，所以它不是单项式。
（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，－3xy5中数字因数是－3，而不是3。
就是说系数包括前面的符号。
单项式的次数是单项式中所有字母的指数的和。
所以－3xy5的次数是1＋5即六次而不是五次。
－3xy5就是－3xyyyyy它有六个字母因数，是六次。
（3）数的运算律对代数式都适用。
解：
（1）×
（2）×（3）√
例4.已知多项式，，
（1）求多项式中各项的系数和次数。
（2）若多项式是八次三项式，求m的值。
分析：
（1）多项式中第一项的系数是4。
次数应为所有字母指数的和，所以是2m＋1＋1＝2m＋2。
第二项－5x2y2的系数是－5，次数为2＋2＝4。
第三项－31x5y的系数是－31，次数是5＋1＝6。
（2）因为多项式中第二项是4次的，第三项是6次的，均已确定，所以只能第一项是八次的。
由
（1）知2m＋2＝8，∴m＝3。
解：
（1）y的系数是4，次数是2m＋2。
－5x2y2的系数是－5，次数是4。
－31x5y的系数是－31，次数是6。
（2）由
（1）中2m＋2＝8，解得m＝3。
说明：
对于第一个单项式的次数是2m＋2可能感到并不习惯，通过多次练习，这样对于字母表示数、次数会有较深的认识。
在
（2）问中由于多项式是八次三项式，而第二项、第三项的次数分别是4次、6次，故只有第一项应是8次，可得方程，求出m的值。
例5.
代数式是多项式吗？
分析：
判断一个代数式是不是单项式，是不是多项式，要根据单项式、多项式的意义去判断。
因为几个单项式的和叫做多项式，所以要判断代数式是不是多项式，只需判断与是不是单项式。
是数与字母a的积，由单项式的意义可知，是单项式，而是数2与字母a的商，所以不是单项式。
因此代数式不是多项式。
解：
不是多项式。
3.整式：
在学习了单项式和多项式以后，我们把单项式和多项式统称整式。
例6.
（1）两个单项式的和一定是二项式吗？
试举例说明。
（2）在只含一个字母的n次多项式里，最多有几种不同类的项？
分析：
（1）因为两个单项式可能是同类项，也可能不是同类项，所以，它们的和也应该有两种情况：
（2）我们采用“从个别到一般”的方法进行分析：
设多项式里所含的一个字母为a，
当n=1时，（一次）多项式里必然有含a的项，此外，还可能有常数项。
此时，多项式里最多有两种不同类的项；
当n=2时，（二次）多项式里必然有含a2的项，此外，还可能有含a的项和常数项。
此时，多项式里最多有三种不同的项；
……
依此类推，不难发现这个问题的规律性。
解：
（1）不一定。
两个单项式的和可能是二项式。
例如x2与4都是单项式，它们的和是二项式。
但也可能不是二项式，例如单项式3x与单项式5x的和8x还是单项式，而不是二项式。
（2）在只含有一个字母的几次多项里，最多有n＋1种不同的项。
说明：
此例题
（2）的分析方法是由特殊到一般。
先分析n＝1时，最多有两种不同的项，再分析n=2时，最多有三种不同的项，……从而找出规律，项数比n多1。
进而可以考虑为什么比n多1呢？
因为在含有一字母的n次多项式里，可能含有这个字母的从一次幂到n次幕的各种项，共有n项，还可能含有常数项，所以最多可能有n＋1种不同的项。
4.升、降幂排列
由于多项式是几个单项式的和，我们可以根据加法交换律与结合律，交换多项式中各项的位置，按某种规律来排列多项式的各项。
（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
例如，多项式3x－5x4－x3＋10－x2按x的降幂排列为－5x4－x3－x2＋3x＋10
多项式2y＋x3y4－5xy2＋4x2－9按x的降幂排列为x3y4＋4x2－5xy2＋2y－9
按y的降幂排列为x3y4－5xy2＋2y＋4x2－9
（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
例如
多项式按x的升幂排列为
多项式8xy2－3x3y5－5x2y3－x－4y－9按y的升幂排列为－9－x－4y＋8xy2－5x2y3－3x3y5
按x的升幂排列为－9－4y－x＋8xy2－5x2y2－3x3y5
在排列时，要注意原来各项的符号，不要在移动过程中弄错符号，对于含有两个以上字母的多项式，一般可按其中的某一个字母，进行降幂排列或升幂排列。
例.对于多项式重新排列：
（1）按x的升幂排列
（2）按x的降幂排列
（3）按y的升幂排列
（4）按y的降幂排列
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
例7.给出多项式6a2b2－3ab＋4a4b－8b5＋7a3，分别回答下列问题：
（1）是几项式？
（2）是几次式？
（3）字母a的最高次数是多少？
（4）字母b的最高次数是多少？
（5）把多项式按a的降幂重新排列；
（6）把多项式按b的降幂重新排列。
分析：
只要把多项式的项数和次数概念弄清楚，
（1）
（2）是不难回答的。
对于（3）和（4）回答时注意只看题目所要求的字母的次数，而不管其它字母。
例如（3）因为多项式6a2b2－3ab＋4a4b－8b5＋7a3中含有字母a的各项中。
a的指数最大的是4，所以字母a的最高次数是4。
同样道理可知字母b的最高次数是5。
解：
（1）五项式；
（2）五次式；
（3）a的最高次数是4；
（4）b的最高次数是5；
（5）4a4b＋7a3＋6a2b2－3ab3－8b5；
（6）－8b5－3ab3＋6a2b2＋4a4b＋7a3。
说明：
按某一个字母把多项式写成降幂排列（或升幂排列）实际是把这个字母看成主要字母、找出它的次数的大小，利用加法交换律按顺序写出来。
此时与其它字母无关。
例8.补入下列各多项式的缺项，并按x的升幂排列：
（1）－x3＋x－2
（2）x4－5－x2
（3）x3－1
（4）1－x4
分析：
补缺项，要先确定现在有哪些项，再观察缺哪些项。
因为不能改变多项式的值，所以只能让补入的项系数为0，例如
（1）x3＋x－2是三次多项式，按x的升幂排列，把
（1）－x3＋x－2中的各项填入相应的位置，观察发现缺二次项，于是把0x2填入二次项的位置。
常数项一次项二次项三次项
－2＋x0x2－x3
同样道理
（2）x4－5－x2是4次多项式，应有5项，把x4－5－x2中各项填入相应的位置，观察发现缺一次项和三次项，于是把0x和0x3填入相应的位置。
常数项一次项二次项三次项四次项
－50x－x20x3x4
同样方法可知（3）缺一次项和二次项，（4）缺一次项，二次项，三次项。
解：
（1）－2＋x＋0x2－x3
（2）－5＋0x－x2＋0x3＋x4
（3）－1＋0x＋0x2＋x3
（4）1＋0x＋0x2＋0x3－x4
说明：
补上多项式所缺的项，今后学习中会用到。
有时按升幂排列，也有时需要按降幂排列，方法是类似的。
重新排列时注意各项要连同它前面的符号一起移动。
三.知识结构图：
四.思考：
试比较下列两个单项式的异同：
12a2b2c；8a3xy。
参考答案：
（1）两式的相同点有：
①都是单项式；
②都有三个字母；
③系数都是正整数；
④都含有字母a；
⑤都是5次齐次式；
⑥最高公因式为4a2；
（2）它们的不同点有：
①所含的字母不全相同；
②系数不同；
③它们不是同类项；
④尽管都含有字母a，但字母a的次数不同；
等等。
五.小结：
整式就是代数式的一种，把整式分作单项式和多项式两类。
单项式依其系数和次数为特征；多项式是单项式的和，依其次数和项的多少为特征。
但是单项式和多项式也不是一成不变的，因为这种分类是从形式上来划分的。
所以有时根据问题的需要，也可以把单项式视作多项式的特例，这就是它们之间存在着的辩证关系。
从形式上看，有时一个式子既不是单项式也不是多项式，如x（y＋1）是整式，但不能说它是单项式，也不能说它是多项式，只有将它变形为xy+x后，才能说它是多项式。
整式和整数是两个不同的概念，要注意，整式的值不一定是整数。
作为问题研究的需要，我们还可把单项式按其次数分类，即非零单项式和零单项式。
数零叫零单项式，它是唯一次数不定的单项式，除它之外，都是非零单项式；而非零单项式又可分为零次单项式和非零次单项式两类。
非零的数叫零次单项式；除它们之外，都叫非零次单项式。
单项式的系数也不是一成不变的，一般来说，单项式的数字因数叫单项式的系数，有时也可以根据不同的需要，把一个单项式中相乘各因子分成两组，这一组叫那一组的系数。
如3abx2，可以称3ab为x2的系数，即含字母的系数。
1.填表
单项式
15a2b
xy
a2b3
－0.11m
81a2c2
系数
次数
2.下列各式中哪些是单项式？
哪些是多项式？
哪些不是整式？
3.在下面的单项式中，哪些单项式的系数相同？
哪些系数相反？
哪些次数相同？
4.把多项式分别按x和y的降幂排列。
5.选择题
（1）下列式子中属于二次三项式的是（）
A.2x2+3B.－x2+3x－1C.x3+2x2+3D.x4－x2+1
（2）多项式是按（）排列。
A.x的升幂B.x的降幂C.y的升幂D.y的降幂
6.对于多项式，分别回答下列问题：
（1）是几项式；
（2）写出它的各项；
（3）写出它的最高次项；
（4）写出最高次项的次数；
（5）写出多项式的次数；
（6）写出常数项。
【试题答案】
1.略
2.分析：
解决本题的思路是清楚的，即用单项式、多项式、整式的定义去判断各个式子的归属。
所以首先应明确整式、单项式、多项式的有关概念。
解：
原式题中单项式有：
多项式有：
不是整式的有：
说明：
在思考这类检查概念的题目时需注意几点：
带分母的整式易和分式混淆，例如误认为为分式，认为这些式子中含有除法运算就是分式，主要原因是对单项式概念理解不深刻。
单项式中的系数可以是整数也可以是分数、小数、正数、负数，所以分别是数与字母x5y的积及数与字母m的积，所以它们应是单项式，而是两个单项式的和，是多项式。
所以它们不是分式而是整式，还可从式子形式特征上区别整式与分式，其关键是看分母中是否含有字母。
另外还有误认为不是单项式，错误地认为a中没有数字，中没有字母，0表示没有。
这是忽视了单独一个数字或一个字母也叫单项式的概念，都是数，a是一个字母，所以它们都是单项式。
3.分析：
系数相同只需观察系数的值相等，不管它们是以分数形式还是小数形式出现，所以－0.5mn2与的系数相同；而单项式abc与－ab2c的系数分别是1和－1，所以系数互为相反数；单项式abc、－0.5mn2、都是三次的，它们次数相同。
解：
单项式－0.5mn2与的系数相同。
单项式abc与－ab2c的系数相反。
单项式abc、－0.5mn2、的次数相同。
说明：
本题给出的单项式的系数有整数、小数、分数，有的系数是正数，有的系数是负数。
解答时要认真审题。
4.分析：
①多项式中的项，是包括它前面的性质符号的。
如果原来的第一项省略性质符号“＋”，移到后面时就应补上“＋”号，如果原来的中间项移到第一项而性质符号是“＋”号，也可省略“＋”号，但性质符号“－”不能省略。
②含有两个（或多个）字母的多项式，按某一字母排列时，只按这个字母的指数排列，没有这个字母的项，若按降幂排列，则排在最后一项，若按升幂排列，则排在最前面一项。
解：
按x的降幂排列：
原式=－6x3＋3x2y2－xy＋y4－5
按y的降幂排列：
原式=y4＋3x2y2－xy－6x3－5
说明：
利用加法交换律，可将一个多项式按某一个字母的降幂或升幂排列，不能同时按两个字母的降幂或升幂排列，若按x的降幂排列，只考虑x的指数按从大到小的顺序排列，不考虑其他字母的排列顺序。
注意将“＋”“－”都看作是性质符号，重新排列多项式，各项都要带着性质符号移动，位置在第一项时，性质符号“＋”可省略不写，但第一项要移动位置时，一定要添上“＋”号。
5.分析：
（1）首先必须是三项式，所以（A）排除；在（B）、（C）、（D）中最高次数是二次的只有（B）。
或者先考虑“二次”，应该最高次数为二次，所以只有（A）和（B）其中三项式是（B）
（2）因为每种排列只能按某一个字母的指数从大到小或从小到大的顺序中的一种顺序排列，所以我们只能按一个字母来观察它的指数大小顺序。
例如先按字母x观察，第一项不含x，可看成关于x的常数项，第二项是关于x的一次项，第三项是二次，第四项是三次，所以是关于x的升幂排列。
特别注意的是，有同学认为它也是关于y的降幂排列，第一项是关于y的三次，第二项是二次，最后一项是一次。
但第三项不含y，应看成关于y的常数项。
如果按y的降幂排列，第三项－x2应排在第四项3x3y的后面。
解：
（1）B
（2）A
6.分析：
一定要认真审题，搞清题目问的是什么，把多项式的“最高次项”，“最高次项的次数”“多项式的次数”“多项式的项数”这些概念分清楚，此题并不难解答。
解：
（1）四项式；
（2）
（3）
（4）5次；
（5）5次；
（6）－1.3。
说明：
此题涉及的是关于多项式的一些基本概念，也是容易混淆的概念。
看似不难，但容易出错。
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