小学数学竞赛三十四 奇妙的圆.docx

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小学数学竞赛三十四奇妙的圆

三十四奇妙的圆

　　如果留心我们周围的世界，就会发现许多物体都呈圆形，小到球糖、玻璃弹子、钟面、生日蛋糕……，大到游泳圈、车轮子等等，连我们赖以生存的地球、太阳乃至宇宙中的绝大多数星体都呈圆状．这里面有天工所赐，也有人工造成．

　　关于圆，它有许多奇妙的性质，我们不可能在这里作完全的讨论．下面仅就圆的基本性质和问题作些讨论．

问题34．1如图34—1，A是圆上的一个定点，

（1）若一个人由A点出发，沿圆周行走，最后回到A点．问有几种走法？

（2）若B是圆周上任意一点，那么沿圆周从A到B只有一条最短路线．这种说法对吗？

　　图34-1

分析

（1）如果我们不动脑筋思考就会得到“只有一种走法”的错误结论．事实上，这一结论是没有考虑行走方向的结果．也就是说我们可以沿顺时针方

　　图34-2

　　向行走，也可以沿逆时针方向行走，共有两种走法，如图34—2所示．

（2）答案是“不一定”．因为B点虽在圆周上，但它有任意性．过A点作圆的一条直径，若B点正好在直径的另一端，则按顺、逆时针方向绕圆行走的路线一样长，即最短路线有两条，如图34—3

（1），因此也有两种走法．当B点不在直径的另一端时，从A到B的最短路线只有一条，如图34—3

（2）所示．

　　注意：

解问题34．1的关键是考虑行走的方向性．

问题34．2“上帝”要求阿凡提分别给地球和篮球的腰上打一道箍，使这两个箍正好紧紧套住这两个“球”（图34—4）．但阿凡提不小心把两个箍都打长了1米（即把两个圆的周长都增加了1米）．试问：

当把这两道打长了的箍再套到这两个球上去的时候，它们和“球”的间隙哪一个大？

即：

是地球上的间隙大，还是篮球上的间隙大？

分析1篮球上的间隙大，这是显而易见的．因为地球那么大，赤道的周长那么长，增加1米相对于这个长度来说像没有增加一样，对于半径来说几乎没有影响．可是一个小小的篮球，周长还不到1米，再加1米做成箍，肯定要比篮球的“腰围”大得多，篮球在里面肯定是晃晃荡荡的．

　　同学们：

你认为上面的分析对吗？

　　下面我们给出一个使你大吃一惊的答案．

分析2两球的间隙一样大．事实上，我们可以通过计算来精确地解决这个问题：

　　假定地球和篮球上的“腰周长”分别是L和l，那么它们的直径就分别

箍的直径和“球”的直径之差就是所谓的间隙．我们算算看：

　　你看，这不是完全一样吗？

　　同学们：

此题给了你什么启示？

　　自然界有许多真理都被假象掩盖着，使我们人类经常地受骗、上当．比如本问题“分析1”就是凭感觉、凭印象定性地作结论，结果就受了骗．“分析2”则运用了计算的科学方法，这样得到的结论才万无一失．这再一次告诉我们，我们看问题切勿看表象，在没有弄清问题的实质之前切勿轻易地作结论，否则就会掉进“陷阱”之中．

问题34．3一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图34—5）．这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，连同大圆在内每相邻的两个圆都相切．

　　l图34-5

　　已知大圆的周长是10厘米，求这三个小圆的周长之和．

分析按照常规思路（即易想到的思路）我们会这样想：

　　既然要求三个小圆的周长之和，只要求出每个小圆的周长即可．要求每个小圆的周长，必先求出每个小圆的直径．要求直径，必在题目的条件中去找．但是题目只说“大小不等的三个小圆”，它们究竟有多大是无法知道的．因此，照这样想下去什么结果也得不到，只会徒劳．但是否本问题无解呢？

千万别灰心，让我们另起一个思路来分析一下：

　　题目要求的是三个小圆的周长之和，并不是求各个小圆的周长，这一点值得注意．说不定它就是解决本问题的突破口．

　　再看看已知条件，立即就会发现：

虽然三个小圆的直径不得而知，但是它们的和作为一个整体正好等于大圆的直径．

　　通过这样一分析，我们不但找到了条件与结论的联系，而且自然地产生了解题思路——从整体考虑．

　　设三个小圆和大圆的直径分别是a、b、c、d，又已知条件隐含着a＋b＋c＝d，πd＝10．

　　故三个小圆的周长之和为：

　　πa＋πb＋πc＝π（a＋b＋c）＝πd＝10．

　　即三个小圆的周长之和就等于大圆的周长．

　　其实，我们还可思考一下，本题的结论是否还可以扩展？

通过考察不难发现：

小圆的个数“三”这一条件并不重要．关键的条件是：

小圆的直径之和等于大圆的直径．到此不难猜想到：

无论有多少个小圆，也无论它们怎么排列，只要这些小圆的直径之和等于大圆的直径，就必然有小圆的周长之和等于大圆的周长．

问题34．4

（1）若在问题34．3中小圆的个数不是三个，而是n个［图34—6

（1）］，其它条件不变，那么这些小圆的周长之和是多少？

（2）若小圆的个数是无穷多个呢？

［图34—6

（2）］

　　图34-6

解

（1）设小圆的直径分别为d1，d2，…，dn．则有：

d1＋d2＋…＋dn＝d，故小圆的周长之和为：

　　πd1＋πd2＋…＋πdn＝π（d1＋d2＋…＋dn）＝πd＝10．

（2）这是英国著名的科学家牛顿出的一道题，我们现在所学的知识还不能解决它．因为我们还不会求无穷多个数（小圆直径）的和．请同学们先记住它．等到你们将来长大了，学了足够的知识再去解决它．但是你们能猜出本题的答案吗？

问题34．5在图34—7中左右两个正方形一样大小，且图34—7

（2）中四个小圆一样大．试问是图

（1）中的大圆面积大，还是图

（2）中四个小圆的面积之和大？

　　图34-7

解法1设小圆半径为r，则大圆的半径为2r．大圆的面积为π（2r）2=4πr2，而4个小圆的面积之和为4×πr2，故大圆的面积等于四个小圆的面积之和．

解法2因为图

（2）中两个圆一排，所以图

（1）中圆的半径是图

（2）中圆的2倍，因此大圆的面积是小圆的4倍（为什么？

）．但大圆的个数恰

问题34．6如果把图34-7

（2）中的4个圆拿出来，再把每排放n个圆，并放n排，问这n2个圆的面积之和与图

（1）中大圆面积的关系如何？

问题34．7如图34-8所示，两个大小相等的正方形内分别紧挨着排放9个等圆和16个等圆．试比较两个正方形内空隙的大小．

　　图34-8

分析按常规思路，要分别直接求出正方形

（1）和正方形

（2）中空隙的面积，再比较大小．但是这样做不仅麻烦而且根本就不可能，因为那些空隙呈我们根本就不会求这两种形状图形的面积．

　　我们换一个方向来思考这个问题：

由于空隙面积难以直接求得，可转过去求圆的面积之和．因为两正方形是一样大小，它们的面积也是一定的，若求出了圆的面积之和，用正方形的面积减去圆的面积之和就得到空隙的面积了．

解由问题34．6的结论知道，把正方形内挨紧排放n2个等圆时，它们的面积之和与其内放一个大圆的面积S相等．本题图

（1），

（2）正是n=3和n=4的特例，故它们的面积和也都是S，从而它们的空隙面积也相等．

　　注意：

解决本问题的思想比较特殊．我们不是去求所需比较的图形的面积，而是去求与它们互相补充的那一部分的面积．应用这一思想方法的条件是正方形面积是一个定值．

问题34．8在一个边长为10厘米的正方形中，最多可排多少个不相交的直径为1厘米的圆？

　　在讲下一个问题之前，请同学们先作一个实验．用几根等长的绳索把两端连接起来，放到方格网纸片上去作成圆、长方形、正方形和任意一个闭曲线的形状，如图34-9，然后再用数小方格的方法去分别大致地计算一下它们的面积，看哪个大．

　　通过计算我们就会发现下述结论：

结论1在平面封闭图形中，周长为一定值时，圆的面积最大．

　　图34-9

结论2在平面封闭图形中，面积为一定值时，圆的周长最小．

　　显然有了结论1成立必然有结论2成立．但上面结论1是由实验观察得出的，还必须进行严格的科学证明，这个工作要等到同学们上了中学后才能完成．现在请大家记住这两个结论，并学会应用它们解题．

问题34．9图34-10是一幅军事地图．ABCD是一个正方形，A丙C为一段圆弧线．现有一支部队要从司令部A出发到达前沿阵地C执行作战任务．图中有四条路线，如果由你当司令员，你会指挥部队走哪一条道路？

　　图34-10

分析显然路线A甲C与AJC是等长的．对于路线A乙C，我们无法知道每一小线段的长度，因此全长也难以知道，但是只要我们有整体观念事情就好办了．事实上，路线A乙C中每一条水平线段的长虽不知道，但总长与AD相等；同理竖直线段的总长与DC相等，故上述三条路线的长都一样．现在问题转向把路线A丙C的长与前三条相比．

　　线路A丙C是一段圆弧，假如它是一个整圆就好分析了．这一假设使我们获得了启示：

能否把这段圆弧扩展成整个圆呢？

　　如图34-11先把正方形ABCD以AB为轴作一个对称图，再把整个图沿CC′为轴作一个对称图，即得到一个整圆．

图34-11

　　显然由折线组成的闭曲线与大正方形DEFG的周长完全相同．只要能证明圆的周长小于正方形DEFG的周长，就证明了线路A丙C比A丁C短．事实上它们都是原来周长的1/4．

　　为了证明正方形DEFG的周长大于圆的周长，设想我们先作一个与圆面积相等的正方形MNOP，则正方形DEFG的面积大于正方形MNOP的面积，故正方形DEFG的周长必大于正方形MNOP的周长．但又由于正方形MNOP的面积与圆的面积相等，由结论2知正方形MNOP的周长又大于圆的周长，则正方形DEFG的周长就更大于圆的周长，于是问题得证．

　　关于圆还有许多奇妙的特性，比如：

圆关于它的任意一条直径是对称的，这一性质就特别有用．但是，由于篇幅所限我们就不能在这里介绍了．

　　最后值得一提的是圆周率π（它是圆的周长与直径之比，是一个常数，也就是说无论大圆或小圆这一比值都是一样的），这个值究竟是多大呢？

为了求它，古往今来不知有多少数学家绞尽脑汁，但唯有我国数学家对它的贡献最大．魏晋时，我国数学家刘徽就用割圆术求得了π=3.1416．最辉煌的成就，要数南北朝时的科学家祖冲之，他精确地推算出π值在3.1415926和3.1415927之间，这一成果比法国的奥托和荷兰的安托尼兹早了1000多年，这真是祖国的光荣！

现在人们已经知道π是一个无限小数．

练习34

　　1．有两个圆C1、C2，它们的直径分别为1米和3753米．现在分别把两直径都加长4米，问：

（1）哪一个圆的周长增加的多些？

（2）哪一个圆的面积增加的多些？

　　2．有一个圆的直径是10米，在它的一条直径上排满了10个大小不等、相邻两圆都相切的圆．我们不知道这10个圆的直径分别是多少，你能求出它们的周长之和吗？

　　3．用怎样的最短线可以把一个正三角形分成等面积的两个部分？

　　4．把一个生日蛋糕切n刀（不许折叠），最多可以切多少块？

　　5．

（1）在平面上画两两相交的三个圆，把平面分成了8块区域．试将1、2、3、4、5、6、7分别填入圆中的7块区域，使得每个圆内所填的数字之和相等．

　　图34-12

（2）平面上放20个呼啦圈，它们最多可以把平面分成多少部分？

　　6．古代几何学家梁拉多达维奇采用下面的方法，仅用圆规和直尺就巧妙地化圆为长方形．如图34-13，他先作一个直圆柱，它的底半径等于圆的半径，高等于圆半径的一半．再把它沿AB剪开展在平面上，即得一与圆面积相等的长方形．

　　同学们你能用圆规和直尺作出与圆等面积的正方形吗？

　图34-13

练习34答案

问题34．6仍相等．

问题34．8最多可排107个

　　圆（见图）．

（问题34-8图）

　　1．

（1）一样多．

（2）C2增加的多些．

　　2．它们的周长之和为10π米．

　　3．仿“问题34．9”去做．如图可知所求最短线段是以下顶点为圆心的一段圆弧．

　　“退”的思想方法）

　　5．

（1）填法见图．

（2）分成2+20×（20-1）=382个区域．

　　本题可用“退”的思想，也可用“以进求退”的思想：

一般地：

　　n个圆把平面最多分成2+n（n-1）个区域．

（第5题图）

　　6．不可能．这是世界著名的平面几何作图“三大不能”问题之一（即圆不能化方）．