小学数学竞赛三十四 奇妙的圆.docx

1、小学数学竞赛三十四 奇妙的圆三十四 奇妙的圆如果留心我们周围的世界，就会发现许多物体都呈圆形，小到球糖、玻璃弹子、钟面、生日蛋糕，大到游泳圈、车轮子等等，连我们赖以生存的地球、太阳乃至宇宙中的绝大多数星体都呈圆状这里面有天工所赐，也有人工造成关于圆，它有许多奇妙的性质，我们不可能在这里作完全的讨论下面仅就圆的基本性质和问题作些讨论问题341如图341，A是圆上的一个定点，（1）若一个人由A点出发，沿圆周行走，最后回到A点问有几种走法？（2）若B是圆周上任意一点，那么沿圆周从A到B只有一条最短路线这种说法对吗？图34-1分析（1）如果我们不动脑筋思考就会得到“只有一种走法”的错误结论事实上，这一

2、结论是没有考虑行走方向的结果也就是说我们可以沿顺时针方图34-2向行走，也可以沿逆时针方向行走，共有两种走法，如图342所示（2）答案是“不一定”因为B点虽在圆周上，但它有任意性过A点作圆的一条直径，若B点正好在直径的另一端，则按顺、逆时针方向绕圆行走的路线一样长，即最短路线有两条，如图343（1），因此也有两种走法当B点不在直径的另一端时，从A到B的最短路线只有一条，如图343（2）所示注意：解问题341的关键是考虑行走的方向性问题342“上帝”要求阿凡提分别给地球和篮球的腰上打一道箍，使这两个箍正好紧紧套住这两个“球”（图344）但阿凡提不小心把两个箍都打长了1米（即把两个圆的周长都增加了

3、1米）试问：当把这两道打长了的箍再套到这两个球上去的时候，它们和“球”的间隙哪一个大？即：是地球上的间隙大，还是篮球上的间隙大？分析1篮球上的间隙大，这是显而易见的因为地球那么大，赤道的周长那么长，增加1米相对于这个长度来说像没有增加一样，对于半径来说几乎没有影响可是一个小小的篮球，周长还不到1米，再加1米做成箍，肯定要比篮球的“腰围”大得多，篮球在里面肯定是晃晃荡荡的同学们：你认为上面的分析对吗？下面我们给出一个使你大吃一惊的答案分析2 两球的间隙一样大事实上，我们可以通过计算来精确地解决这个问题：假定地球和篮球上的“腰周长”分别是L和l，那么它们的直径就分别箍的直径和“球”的直径之差就是所

4、谓的间隙我们算算看：你看，这不是完全一样吗？同学们：此题给了你什么启示？自然界有许多真理都被假象掩盖着，使我们人类经常地受骗、上当比如本问题“分析1”就是凭感觉、凭印象定性地作结论，结果就受了骗“分析2”则运用了计算的科学方法，这样得到的结论才万无一失这再一次告诉我们，我们看问题切勿看表象，在没有弄清问题的实质之前切勿轻易地作结论，否则就会掉进“陷阱”之中问题343一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图345）这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，连同大圆在内每相邻的两个圆都相切l图34-5已知大圆的周长是10厘米，求这三个小圆的周长之和分析按照常规思路（即易想到的思路）我们会这样想：既然要求三个

5、小圆的周长之和，只要求出每个小圆的周长即可要求每个小圆的周长，必先求出每个小圆的直径要求直径，必在题目的条件中去找但是题目只说“大小不等的三个小圆”，它们究竟有多大是无法知道的因此，照这样想下去什么结果也得不到，只会徒劳但是否本问题无解呢？千万别灰心，让我们另起一个思路来分析一下：题目要求的是三个小圆的周长之和，并不是求各个小圆的周长，这一点值得注意说不定它就是解决本问题的突破口再看看已知条件，立即就会发现：虽然三个小圆的直径不得而知，但是它们的和作为一个整体正好等于大圆的直径通过这样一分析，我们不但找到了条件与结论的联系，而且自然地产生了解题思路从整体考虑设三个小圆和大圆的直径分别是a、b、

6、c、d，又已知条件隐含着abcd，d10故三个小圆的周长之和为：abc（abc）d10即三个小圆的周长之和就等于大圆的周长其实，我们还可思考一下，本题的结论是否还可以扩展？通过考察不难发现：小圆的个数“三”这一条件并不重要关键的条件是：小圆的直径之和等于大圆的直径到此不难猜想到：无论有多少个小圆，也无论它们怎么排列，只要这些小圆的直径之和等于大圆的直径，就必然有小圆的周长之和等于大圆的周长问题344 （1）若在问题343中小圆的个数不是三个，而是n个图346（1），其它条件不变，那么这些小圆的周长之和是多少？（2）若小圆的个数是无穷多个呢？图346（2）图34-6解 （1）设小圆的直径分别为d

7、1，d2，dn则有：d1d2dnd，故小圆的周长之和为：d1d2dn（d1d2dn）d10（2）这是英国著名的科学家牛顿出的一道题，我们现在所学的知识还不能解决它因为我们还不会求无穷多个数（小圆直径）的和请同学们先记住它等到你们将来长大了，学了足够的知识再去解决它但是你们能猜出本题的答案吗？问题345在图347中左右两个正方形一样大小，且图347（2）中四个小圆一样大试问是图（1）中的大圆面积大，还是图（2）中四个小圆的面积之和大？图34-7解法1 设小圆半径为r，则大圆的半径为2r大圆的面积为（2r）2=4r2，而4个小圆的面积之和为4r2，故大圆的面积等于四个小圆的面积之和解法2 因为图（

8、2）中两个圆一排，所以图（1）中圆的半径是图（2）中圆的2倍，因此大圆的面积是小圆的4倍（为什么？）但大圆的个数恰问题346如果把图34-7（2）中的4个圆拿出来，再把每排放n个圆，并放n排，问这n2个圆的面积之和与图（1）中大圆面积的关系如何？问题347如图34-8所示，两个大小相等的正方形内分别紧挨着排放9个等圆和16个等圆试比较两个正方形内空隙的大小图34-8分析按常规思路，要分别直接求出正方形（1）和正方形（2）中空隙的面积，再比较大小但是这样做不仅麻烦而且根本就不可能，因为那些空隙呈我们根本就不会求这两种形状图形的面积我们换一个方向来思考这个问题：由于空隙面积难以直接求得，可转过去求

9、圆的面积之和因为两正方形是一样大小，它们的面积也是一定的，若求出了圆的面积之和，用正方形的面积减去圆的面积之和就得到空隙的面积了解由问题346的结论知道，把正方形内挨紧排放n2个等圆时，它们的面积之和与其内放一个大圆的面积S相等本题图（1），（2）正是n=3和n=4的特例，故它们的面积和也都是S，从而它们的空隙面积也相等注意：解决本问题的思想比较特殊我们不是去求所需比较的图形的面积，而是去求与它们互相补充的那一部分的面积应用这一思想方法的条件是正方形面积是一个定值问题348 在一个边长为10厘米的正方形中，最多可排多少个不相交的直径为1厘米的圆？在讲下一个问题之前，请同学们先作一个实验用几根等

10、长的绳索把两端连接起来，放到方格网纸片上去作成圆、长方形、正方形和任意一个闭曲线的形状，如图34-9，然后再用数小方格的方法去分别大致地计算一下它们的面积，看哪个大通过计算我们就会发现下述结论：结论1在平面封闭图形中，周长为一定值时，圆的面积最大图34-9结论2在平面封闭图形中，面积为一定值时，圆的周长最小显然有了结论1成立必然有结论2成立但上面结论1是由实验观察得出的，还必须进行严格的科学证明，这个工作要等到同学们上了中学后才能完成现在请大家记住这两个结论，并学会应用它们解题问题349图34-10是一幅军事地图ABCD是一个正方形，A丙C为一段圆弧线现有一支部队要从司令部A出发到达前沿阵地C

11、执行作战任务图中有四条路线，如果由你当司令员，你会指挥部队走哪一条道路？图34-10分析显然路线A甲C与AJC是等长的对于路线A乙C，我们无法知道每一小线段的长度，因此全长也难以知道，但是只要我们有整体观念事情就好办了事实上，路线A乙C中每一条水平线段的长虽不知道，但总长与AD相等；同理竖直线段的总长与DC相等，故上述三条路线的长都一样现在问题转向把路线A丙C的长与前三条相比线路A丙C是一段圆弧，假如它是一个整圆就好分析了这一假设使我们获得了启示：能否把这段圆弧扩展成整个圆呢？如图34-11先把正方形ABCD以AB为轴作一个对称图，再把整个图沿CC为轴作一个对称图，即得到一个整圆图34-11显

12、然由折线组成的闭曲线与大正方形DEFG的周长完全相同只要能证明圆的周长小于正方形DEFG的周长，就证明了线路A丙C比A丁C短事实上它们都是原来周长的1/4为了证明正方形DEFG的周长大于圆的周长，设想我们先作一个与圆面积相等的正方形MNOP，则正方形DEFG的面积大于正方形MNOP的面积，故正方形DEFG的周长必大于正方形MNOP的周长但又由于正方形MNOP的面积与圆的面积相等，由结论2知正方形MNOP的周长又大于圆的周长，则正方形DEFG的周长就更大于圆的周长，于是问题得证关于圆还有许多奇妙的特性，比如：圆关于它的任意一条直径是对称的，这一性质就特别有用但是，由于篇幅所限我们就不能在这里介绍

13、了最后值得一提的是圆周率（它是圆的周长与直径之比，是一个常数，也就是说无论大圆或小圆这一比值都是一样的），这个值究竟是多大呢？为了求它，古往今来不知有多少数学家绞尽脑汁，但唯有我国数学家对它的贡献最大魏晋时，我国数学家刘徽就用割圆术求得了=3.1416最辉煌的成就，要数南北朝时的科学家祖冲之，他精确地推算出值在3.1415926和3.1415927之间，这一成果比法国的奥托和荷兰的安托尼兹早了1000多年，这真是祖国的光荣！现在人们已经知道是一个无限小数练习341有两个圆C1、C2，它们的直径分别为1米和3753米现在分别把两直径都加长4米，问：（1）哪一个圆的周长增加的多些？（2）哪一个圆的

14、面积增加的多些？2有一个圆的直径是10米，在它的一条直径上排满了10个大小不等、相邻两圆都相切的圆我们不知道这10个圆的直径分别是多少，你能求出它们的周长之和吗？3用怎样的最短线可以把一个正三角形分成等面积的两个部分？4把一个生日蛋糕切n刀（不许折叠），最多可以切多少块？5（1）在平面上画两两相交的三个圆，把平面分成了8块区域试将1、2、3、4、5、6、7分别填入圆中的7块区域，使得每个圆内所填的数字之和相等图34-12（2）平面上放20个呼啦圈，它们最多可以把平面分成多少部分？6古代几何学家梁拉多达维奇采用下面的方法，仅用圆规和直尺就巧妙地化圆为长方形如图34-13，他先作一个直圆柱，它的底

15、半径等于圆的半径，高等于圆半径的一半再把它沿AB剪开展在平面上，即得一与圆面积相等的长方形同学们你能用圆规和直尺作出与圆等面积的正方形吗？图34-13练习34答案问题346仍相等问题348最多可排107个圆（见图）（问题34-8图）1（1）一样多（2）C2增加的多些2它们的周长之和为10米3仿“问题349”去做如图可知所求最短线段是以下顶点为圆心的一段圆弧“退”的思想方法）5（1）填法见图（2）分成2+20（20-1）=382个区域本题可用“退”的思想，也可用“以进求退”的思想：一般地：n个圆把平面最多分成2+n（n-1）个区域（第5题图）6不可能这是世界著名的平面几何作图“三大不能”问题之一（即圆不能化方）