高考文科数学全国2卷试题与答案Word版.docx
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高考文科数学全国2卷试题与答案Word版
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
注意事项：
一、选择题：
本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
2
（1）已知集合A{1，2，3}，
B{x|x9}，则AB
（A）{2，1，0，1，2，3}（B）{2，1，0，1，2}（C）{1，2，3}（D）{1，2}
（2）设复数z满足zi3i，则z=
（A）12i（B）12i（C）32i（D）32i
（3）函数y=Asin（x）的部分图像如图所示，则
（A）y2sin（2x）（B）y2sin（2x）
63
（C）y2sin（2x+）（D）y2sin（2x+）
63
（4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A）12（B）
32
3
（C）（D）
（5）设F为抛物线C：
y2=4x的焦点，曲线y=
2=4x的焦点，曲线y=
k
x
（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=
（A）1
2
（B）1（C）3
2
（D）2
2
2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（6）圆x+y
（A）-
4
3
（B）-
3
4
（C）3（D）2
（7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
（8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一
名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
（A）
7
10
（B）
5
8
（C）
3
8
（D）
3
10
（9）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输
入的a为2，2，5，则输出的s=
（A）7（B）12（C）17（D）34
lgx的定义域和值域相同的是（10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10
（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2
x（D）y1
x
（11）函数
π
f（x）cos2x6cos（x）的最大值为
2
（A）4（B）5（C）6（D）7
（12）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x
2-2x-3|与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），⋯，
m
（xm,ym），则
x
i
=
i1
（A）0（B）m（C）2m（D）4m
二．填空题：
共4小题，每小题5分.
（13）已知向量a=（m,4），b=（3,-2），且a∥b，则m=___________.
xy10
xy30
，则z=x-2y的最小值为__________（14）若x，y满足约束条件
x30
（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
cos
45
A，cosC，a=1，则b=____________.
513
（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后
说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙
说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
等差数列{an}中，a3a44,a5a76
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn=[
a
n
]，求数列{
b
n
}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
（18）（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年
度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
求P（A）的估计值；
（II）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.
求P（B）的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值.
（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于
点H，将DEF沿EF折到D'EF的位置.
（I）证明：
ACHD'；
（II）若
5
AB5,AC6,AE,OD'22,求五棱锥D'ABCEF体
4
积.
（20）（本小题满分12分）
已知函数f（x）（x1）lnxa（x1）.
（I）当a4时，求曲线yf（x）在1,f
（1）处的切线方程；
（II）若当x1,时，f（x）＞0，求a的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
22
xy
已知A是椭圆E：
43
的左顶点，斜率为kk＞0的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.
1
（I）当AMAN时，求AMN的面积
（II）当2AMAN时，证明：
3k2.
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF
⊥CE，垂足为F.
（Ⅰ）证明：
B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为
22
（x+6）+y=25.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是
?
ìx=tcosα,
?
（t为参数），l与C交于A，B两点，AB=10,求l的斜率.
í
?
y=tsinα,
?
（24）（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数
11
f（x）=x-+x+，M为不等式f（x）<2的解集.
22
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：
当a，b?
M时，a+b<1+ab.
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案
第Ⅰ卷
一.选择题
（1）【答案】D
（2）【答案】C（3）【答案】A（4）【答案】A
（5）【答案】D（6）【答案】A（7）【答案】C（8）【答案】B
（9）【答案】C（10）【答案】D（11）【答案】B（12）【答案】B
二．填空题
（13）【答案】6（14）【答案】5（15）【答案】
21
13
（16）【答案】1和3
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）
2n3
a；（Ⅱ）24.
n
5
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据等差数列的性质求a1，d，从而求得an；（Ⅱ）根据已知条件求bn，再求数列bn的
前10项和.
试题解析：
（Ⅰ）设数列
2
a的公差为d，由题意有2a15d4,a15d3，解得a11,d，
n
5
所以an的通项公式为
2n3
a.
n
5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
2n3
b，
n
5
当n=1,2,3时，
2n3
12,b1；
n
5
当n=4,5时，2233,2
n
b；
n
5
当n=6,7,8时，
2n3
34,b3；
n
5
当n=9,10时，
2n3
45,b4，
n
5
所以数列
b的前10项和为1322334224.
n
考点：
等茶数列的性质，数列的求和.
【结束】
（18）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）由
6050
200
求P（A）的估计值；（Ⅱ）由
3030
200
求P（B）的估计值；（错误！
未找到引用源。
）
根据平均值得计算公式求解.
【解析】
试题分析：
试题解析：
（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为
6050
200
0.55
，
故P（A）的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于
4的频率为
3030
200
0.3
，
故P（B）的估计值为0.3.
（Ⅲ）由题所求分布列为：
保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
频率0.300.250.150.150.100.05
调查200名续保人的平均保费为
0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.101.1925a，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
考点：
样本的频率、平均值的计算.
【结束】
（19）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
69
4
.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）证AC//EF.再证AC//HD.（Ⅱ）证明ODOH.再证OD平面ABC.最后呢五棱
锥D'ABCEF体积.
试题解析：
（I）由已知得，ACBD,ADCD.
又由AECF得AECF
ADCD
，故AC//EF.
由此得EFHD,EFHD，所以AC//HD..
（II）由EF//AC得1.
OHAE
DOAD4
由AB5,AC6得
224.
DOBOABAO
所以OH1,DHDH3.
于是
22（22）21292,
ODOHDH故ODOH.
由（I）知ACHD，又ACBD,BDHDH，
所以AC平面BHD,于是ACOD.
又由ODOH,ACOHO，所以，OD平面ABC.
又由
EFDH
ACDO
得
EF
9
2
.
五边形ABCFE的面积16819369.
S
2224
所以五棱锥D'ABCEF体积
V
169232
22.
342
考点：
空间中的线面关系判断，几何体的体积.
【结束】
（20）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）2xy20.；（Ⅱ）,2..
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先求定义域，再求f（x），f
（1），f
（1），由直线方程得点斜式可求曲线yf（x）在（1,f
（1））
处的切线方程为2xy20.（Ⅱ）构造新函数（）ln
（1）
ax
gxx
x1
，对实数a分类讨论，用导数法求
解.
试题解析：
（I）f（x）的定义域为（0,）.当a4时，
1
f（x）（x1）lnx4（x1）,f（x）lnx3
x
，f
（1）2,f
（1）0.曲线yf（x）在（1,f
（1））处的
切线方程为2xy20.
（II）当x（1,）时，f（x）0等价于
a（x1）
lnx0.
x1
令
g（x）lnx
a（x1）
x1
，则
2
12ax2（1a）x1
g（x）,g
（1）0
22
x（x1）x（x1）
，
（i）当a2，x（1,）时，
22
（1）12210
xaxxx，故g（x）0,g（x）在x（1,）上单
调递增，因此g（x）0；
（ii）当a2时，令g（x）0得
22
x1a1（a1）1,x2a1（a1）1，
由x21和x1x21得x11，故当x（1,x2）时，g（x）0，g（x）在x（1,x2）单调递减，因此g（x）0.
综上，a的取值范围是,2.
考点：
导数的几何意义，函数的单调性.
【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）
144
49
；（Ⅱ）
32,2.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积；（Ⅱ）设
Mx1,y1，，
将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示|AM|，同理用k表示|AN|，
再由2AMAN求k.
试题解析：
（Ⅰ）设M（x1,y1），则由题意知y10.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为
，
4
又A（2,0），因此直线AM的方程为yx2.
将xy2代入
22
xy
43
1
得
2
7y12y0，
解得y0或
1212
y，所以y1.
77
因此AMN的面积
11212144
S2.
AMN
27749
（2）将直线AM的方程yk（x2）（k0）代入
22
xy
43
1
得
2222
（34k）x16kx16k120.
由
2
16k12
x
（2）
12
34k
得
2
2（34k）
x
12
34k
，故
2
121k
2
|AM|1k|x2|
12
34k
.
1
y（x2）
k
，故同理可得
|AN|
12k1k
2
43k
2
由题设，直线AN的方程为
.
由2|AM||AN|得
2k
22
34k43k
，即
32
4k6k3k80.
设
32
ftttt，则k是f（t）的零点，
（）4638
22
f'（t）12t12t33（2t1）0，
所以f（t）在（0,）单调递增，又f（3）153260,f
（2）60，
因此f（t）在（0,）有唯一的零点，且零点k在（3,2）内，所以3k2.
考点：
椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
1
2
.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）证DGFCBF,再证B,C,G,F四点共圆；（Ⅱ）证明RtBCGRtBFG,四边形
BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍.
试题解析：
（I）因为DFEC,所以DEFCDF,
DFDEDG
则有GDFDEFFCB,,
CFCDCB
所以DGFCBF,由此可得DGFCBF,
由此
0
CGFCBF180,所以B,C,G,F四点共圆.
（II）由B,C,G,F四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB，
由G为RtDFC斜边CD的中点，知GFGC,故RtBCGRtBFG,
因此四边形BCGF的面积S是GCB面积
S的2倍，即
GCB
111
S2S21.
GCB
222
考点：
三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）
212cos110；（Ⅱ）15
3
.
【解析】
试题分析：
（I）利用
2x2y2，xcos可得C的极坐标方程；（II）先将直线l的参数方程化为普
通方程，再利用弦长公式可得l的斜率．
试题解析：
（I）由xcos,ysin可得C的极坐标方程
212cos110.
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（R）
由A,B所对应的极径分别为
1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
212cos110.
于是
1212cos,1211,
22
|AB|||（）4144cos44,
121212
由|AB|10得
2315
cos,tan
83
，
所以l的斜率为
15
3
或
15
3
.
考点：
圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【结束】
（24）（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
【答案】（Ⅰ）M{x|1x1}；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：
（I）先去掉绝对值，再分
1
x，
2
11
x和
22
1
x三种情况解不等式，即可得；（II）
2
采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b时，ab1ab．
1
2x,x,
2
试题解析：
（I）
11
f（x）1,x,
22
1
2x,x.
2
当
1
x时，由f（x）2得2x2,解得x1；
2
当
11
x时，f（x）2；
22
当
1
x时，由f（x）2得2x2,解得x1.
2
所以f（x）2的解集M{x|1x1}.
（II）由（I）知，当a,bM时，1a1,1b1，从而
22222222
（ab）（1ab）abab1（a1）（1b）0，
因此|ab||1ab|.
考点：
绝对值不等式，不等式的证明.
【结束】
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