高考文科数学全国2卷试题与答案Word版.docx

1、高考文科数学全国2卷试题与答案Word版2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：一、 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。2（1）已知集合 A 1，2，3， B x | x 9 ，则 A B（A ） 2， 1，0，1，2，3 （B） 2， 1，0，1，2 （C）1 ，2，3 （D）1 ，2（2）设复数 z 满足 z i 3 i ，则 z =（A ） 1 2i （B）1 2i （C）3 2i （D）3 2i(3) 函数 y =Asin( x ) 的部分图像如图所示，则（A ） y 2sin(2 x ) （B） y 2s

2、in(2 x )6 3（C） y 2sin(2 x+ ) （D） y 2sin(2 x+ )6 3(4) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A ）12 （B）323（C） （D）(5) 设 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，曲线 y=2=4x 的焦点，曲线 y=kx（k0）与 C 交于点 P，PF x 轴，则 k=（A ） 12（B）1 （C） 32（D）222- 2x- 8y+13=0 的圆心到直线 ax+ y- 1=0 的距离为 1，则 a= (6) 圆 x +y（A ）-43（B）-34（C） 3 （D） 2(7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三

3、视图，则该几何体的表面积为（A ）20（B）24（C）28（D）32(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（A ）710（B）58（C）38（D）310(9) 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法， 右图是实现该算法的程序框图 执行该程序框图， 若输入的 a 为 2，2，5，则输出的 s=（A ）7 （B）12 （C）17 （D）34lgx 的定义域和值域相同的是 (10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10（A ）y= x（B）y=lg x（C）y=2x（D） y 1x(

4、11) 函数f (x) cos2 x 6cos( x) 的最大值为2（A ）4（B）5 （C）6 （ D） 7(12) 已知函数 f(x )（xR）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与 y= f( x) 图像的交点为（ x1,y1），(x2,y2)， ，m（xm,ym），则xi=i 1(A)0 (B) m (C) 2m (D) 4m二填空题：共4 小题，每小题 5 分.(13) 已知向量 a=(m,4)， b=(3,-2) ，且 a b，则 m=_.x y 1 0x y 3 0，则 z= x-2y 的最小值为 _ (14) 若 x，y 满足约束条件x 3 0（15）

5、ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若cos4 5A ，cos C ，a=1，则 b=_. 5 13（16）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 _.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）(本小题满分 12 分)等差数列 an 中， a3 a 4 4, a5 a 7 6（I ）求 an 的通项公式；(II)设bn =an，求数列

6、 bn 的前 10 项和，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.9=0,2.6=2（18）(本小题满分 12 分)某险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” 。求 P(A) 的估计值；(II) 记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160”.求 P(B)的估计值；（III ）求续保人本年度的平均保费估计值 .（19）（本小题满分 12 分）如图，

7、菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别在 AD ，CD 上，AE =CF，EF 交 BD 于点 H，将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置 .（I ）证明： AC HD ；(II) 若5AB 5, AC 6, AE ,OD 2 2 , 求五棱锥 D ABCEF 体4积.（20）（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ( x 1)ln x a(x 1).（I ）当 a 4时，求曲线 y f (x) 在 1, f (1) 处的切线方程；(II) 若当 x 1, 时， f ( x)0 ，求 a的取值范围 .（21）（本小题满分 12 分）2 2x y已知

8、A 是椭圆 E：4 3的左顶点，斜率为 k k0 的直线交 E 于 A，M 两点，点N 在 E 上，MA NA.1（I ）当 AM AN 时，求 AMN 的面积(II) 当 2 AM AN 时，证明： 3 k 2 .请考生在第 2224 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 .（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，在正方形 ABCD 中，E，G 分别在边 DA，DC 上（不与端点重合） ，且 DE= DG ，过 D 点作 DFCE，垂足为 F.（）证明： B，C，G，F 四点共圆；（）若 AB=1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积 .（23

9、）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为2 2(x + 6) + y = 25 .（）以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（）直线 l 的参数方程是?x = t cos,?（t 为参数）， l 与 C 交于 A，B 两点， AB = 10 ,求 l 的斜率 .?y = t sin ,?（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数1 1f (x) = x- + x + ，M 为不等式 f (x) 2 的解集 .2 2（）求 M；（）证明：当 a，b? M 时， a + b 1 +

10、 ab .2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案第卷一. 选择题（1）【答案】 D （2）【答案】 C (3) 【答案】 A (4) 【答案】 A(5) 【答案】 D (6) 【答案】 A (7) 【答案】 C (8) 【答案】 B(9) 【答案】 C (10) 【答案】 D (11)【答案】 B (12) 【答案】 B二填空题(13)【答案】 6 (14)【答案】 5 （15）【答案】2113（16）【答案】 1 和 3三、解答题（17）(本小题满分 12 分)【答案】（）2n 3a ；（） 24.n5【解析】试题分析： () 根据等差数列的性质求 a1 ，d ，从而求得 an

11、 ；（）根据已知条件求 bn ，再求数列 bn 的前 10 项和.试题解析： () 设数列2a 的公差为 d，由题意有 2a1 5d 4, a1 5d 3，解得 a1 1,d ，n5所以 an 的通项公式为2n 3a .n5（）由 () 知2n 3b ，n5当 n=1,2,3 时，2n 31 2,b 1；n5当 n=4,5 时， 2 2 3 3, 2nb ；n5当 n=6,7,8 时，2n 33 4,b 3；n5当 n=9,10 时，2n 34 5,b 4 ，n5所以数列b 的前 10 项和为 1 3 2 2 3 3 4 2 24.n考点：等茶数列的性质，数列的求和 .【结束】（18）(本小题

12、满分 12 分)【答案】（）由60 50200求 P(A) 的估计值；（）由30 30200求 P(B) 的估计值；（ 错误！未找到引用源。 ）根据平均值得计算公式求解 .【解析】试题分析：试题解析： () 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内险次数小于 2 的频率为60 502000.55，故 P(A) 的估计值为 0.55.（）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4. 由是给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于4 的频率为30 302000.3，故 P(B) 的估计值为 0.3.( ) 由题所求分布列为：保费 0.85a a 1.25a

13、1.5a 1.75a 2a频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05调查 200 名续保人的平均保费为0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.30 2a 0.10 1.1925a ，因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.考点：样本的频率、平均值的计算 .【结束】（19）（本小题满分 12 分）【答案】（）详见解析； （）694.【解析】试题分析： （）证 AC/ / EF.再证 AC / /HD .（）证明 OD OH .再证 OD 平面 ABC.最后呢五棱锥 D ABCEF 体积.试题解析：（I）由已知

14、得， AC BD , AD CD.又由 AE CF 得 AE CFAD CD，故 AC / /EF .由此得 EF HD , EF HD ，所以 AC / /HD . .（II ）由 EF / /AC 得 1 .OH AEDO AD 4由 AB 5, AC 6得2 2 4.DO BO AB AO所以 OH 1,D H DH 3.于是2 2 (2 2)2 12 9 2 ,OD OH D H 故OD OH .由（ I）知 AC HD ，又 AC BD, BD HD H ，所以 AC 平面 BHD ,于是 AC OD .又由 OD OH, AC OH O ，所以， OD 平面 ABC.又由EF DH

15、AC DO得EF92.五边形 ABCFE 的面积 1 6 8 1 9 3 69 .S2 2 2 4所以五棱锥 D ABCEF 体积V1 69 23 2 2 2 .3 4 2考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积 .【结束】（20）（本小题满分 12 分）【答案】（） 2x y 2 0.；（） ,2 . .【解析】试题分析：（） 先求定义域， 再求 f (x)，f (1)，f (1)，由直线方程得点斜式可求曲线 y f ( x) 在(1, f (1)处的切线方程为 2x y 2 0.（）构造新函数 ( ) ln ( 1)a xg x xx 1，对实数 a分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）

16、 f (x)的定义域为 (0, ) .当 a 4时，1f ( x) (x 1)ln x 4( x 1), f (x) ln x 3x， f (1) 2, f (1) 0.曲线 y f (x) 在 (1, f (1)处的切线方程为 2x y 2 0.（II ）当 x (1, ) 时， f (x) 0 等价于a(x 1)ln x 0.x 1令g( x) ln xa(x 1)x 1，则21 2a x 2(1 a)x 1g (x) ,g (1) 02 2x (x 1) x(x 1)，（i ）当 a 2， x (1, ) 时，2 2(1 ) 1 2 2 1 0x a x x x ，故 g (x) 0,

17、g(x)在 x (1, ) 上单调递增，因此 g( x) 0 ；（ii ）当 a 2时，令 g (x) 0 得2 2x1 a 1 (a 1) 1, x2 a 1 (a 1) 1 ，由 x2 1和 x1x2 1得 x1 1，故当 x (1,x2) 时， g (x) 0， g( x) 在 x (1,x2 ) 单调递减，因此 g (x) 0.综上， a的取值范围是 ,2 .考点：导数的几何意义，函数的单调性 .【结束】（21）（本小题满分 12 分）【答案】（）14449；（）3 2, 2 .【解析】试题分析：（） 先求直线 AM 的方程， 再求点 M 的纵坐标， 最后求 AMN 的面积；（） 设M

18、 x1, y1 ，将直线 AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去 y ，用 k 表示 x1 ，从而表示 | AM |，同理用 k 表示 | AN |，再由 2 AM AN 求 k .试题解析：（）设 M (x1, y1) ，则由题意知 y1 0 .由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为，4又 A( 2,0) ，因此直线 AM 的方程为 y x 2 .将 x y 2代入2 2x y4 31得27y 12 y 0 ，解得 y 0或 12 12y ，所以 y1 . 7 7因此 AMN 的面积1 12 12 144S 2 .AMN2 7 7 49（2）将直线 AM 的方程 y k(x 2)(

19、k 0) 代入2 2x y4 31得2 2 2 2(3 4k )x 16k x 16k 12 0 .由216k 12x ( 2)1 23 4k得22(3 4k )x1 23 4k，故212 1 k2| AM | 1 k | x 2|1 23 4k.1y (x 2)k，故同理可得| AN |12k 1 k24 3k2由题设，直线 AN的方程为.由 2 | AM | | AN |得2 k2 23 4k 4 3k，即3 24k 6k 3k 8 0 .设3 2f t t t t ，则 k 是 f (t) 的零点，( ) 4 6 3 82 2f (t ) 12t 12t 3 3(2 t 1) 0 ，所以

20、 f (t) 在 (0, )单调递增，又 f ( 3) 15 3 26 0, f (2) 6 0，因此 f (t) 在 (0, )有唯一的零点，且零点 k 在( 3,2) 内，所以 3 k 2 .考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 .【结束】请考生在 22、23、24 题中任选一题作答 , 如果多做 , 则按所做的第一题计分 , 做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分） 选修 4-1 ：几何证明选讲【答案】（）详见解析； （）12.【解析】试题分析： （）证 DGF CBF , 再证 B,C,G,F 四点共圆； （）证明 Rt BCG Rt BFG , 四边形BCGF 的面积 S

21、是 GCB 面积 S GCB 的 2 倍.试题解析：（I）因为 DF EC ,所以 DEF CDF , DF DE DG则有 GDF DEF FCB, , CF CD CB所以 DGF CBF , 由此可得 DGF CBF ,由此0CGF CBF 180 ,所以 B,C,G,F 四点共圆 .（II ）由 B,C,G, F 四点共圆， CG CB 知 FG FB ，连结 GB ，由 G 为 Rt DFC 斜边 CD 的中点，知 GF GC ,故 Rt BCG Rt BFG ,因此四边形 BCGF 的面积 S 是 GCB 面积S 的 2 倍，即GCB1 1 1S 2S 2 1 .GCB2 2 2考

22、点：三角形相似、全等，四点共圆【结束】（23）（本小题满分 10 分） 选修 44：坐标系与参数方程【答案】（）2 12 cos 11 0 ；（） 153.【解析】试题分析：（I）利用2 x2 y2 ， x cos 可得 C 的极坐标方程； （II ）先将直线 l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得 l 的斜率试题解析：（I）由 x cos , y sin 可得 C 的极坐标方程2 12 cos 11 0.（II ）在（ I）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R)由 A,B 所对应的极径分别为1, 2 ,将l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得2 12 cos 11

23、0.于是1 2 12cos , 1 2 11,2 2| AB | | | ( ) 4 144cos 44,1 2 1 2 1 2由 | AB | 10 得 2 3 15cos , tan8 3，所以 l 的斜率为153或153.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式 .【结束】（24）（本小题满分 10 分） 选修 45：不等式选讲【答案】（） M x | 1 x 1 ；（）详见解析 .【解析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分 1x ， 21 1x 和2 21x 三种情况解不等式，即可得 ；（II ）2采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 a，b 时， a b 1 ab 12x, x , 2试题解析：（I）1 1f (x) 1, x ,2 212x, x .2当1x 时，由 f ( x) 2 得 2x 2,解得 x 1；2当1 1x 时， f (x) 2 ；2 2当1x 时，由 f (x) 2 得 2x 2, 解得 x 1.2所以 f (x) 2 的解集 M x | 1 x 1 .（II ）由（ I）知，当 a,b M 时， 1 a 1, 1 b 1，从而2 2 2 2 2 2 2 2(a b) (1 ab) a b a b 1 (a 1)(1 b ) 0 ，因此 |a b | |1 ab |.考点：绝对值不等式，不等式的证明 .【结束】