华约自主招生数学试题及答案解析完整版.docx

华约自主招生数学试题及答案解析完整版.docx

《华约自主招生数学试题及答案解析完整版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华约自主招生数学试题及答案解析完整版.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

华约自主招生数学试题及答案解析完整版

2010年“华约”自主招生试题解析

一、选择题

1．设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（）

（A）（B）（C）（D）

2．设向量，满足，则的最小值为（）

（A）2（B）（C）1（D）

3。

缺

4。

缺

5．在中，三边长，满足，则的值为（）

（A）（B）（C）（D）

6．如图，的两条高线交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为（）

（A）（B）（C）（D）

7．设．过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是（）

（A）1（B）（C）（D）

8．设双曲线，椭圆．若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为（）

（A）（B）2（C）（D）4

9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（）

（A）6（B）7（C）8（D）9

10．设定点是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的180°旋转．设表示变换的复合，先作，再作。

则可以表示为（）

（A）（B）（C）（D）

二、解答题

11．

在中，已知，外接圆半径．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求面积的最大值．

12．

设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线．设到直线，直线的距离分别为，已知．

（Ⅰ）判断是锐角三角形直角三角形钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；

（Ⅱ）若的面积为240，求点的坐标及直线的方程．

13．

（Ⅰ）正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值；

（Ⅱ）一般地，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值．

14．

假定亲本总体中三种基因型式：

的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．

（Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；

（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？

并说明理由．

15．

设函数，且存在函数，满足．

（Ⅰ）证明：

存在函数满足；

（Ⅱ）设证明：

．

2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案

一、选择题

ADCABDBD

二、解答题

11．解：

（Ⅰ）由得

所以

即

因为为内角

所，

，

（Ⅱ）

又由余弦定理得，

即

又，

所以

有，

当且仅当即为等边三角形时，

的面积取得最大值

12．解：

（Ⅰ）设

则

由可知的斜率

因此可以设直线方程为

把代入，整理得

所以

因为都不平行于轴，

所以直线斜率之和为

可知直线的倾角互补，而平行于轴，

所以平分

作为垂足

则可得

由已知，

可得，所以

所以为直角三角形

（Ⅱ）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为

把分别代入，得

所以

由已知可知，

所以解得，

所以或

当取时，求得，又斜率，

所以直线方程为,

即

同理，当取时，直线方程为

13．解：

（Ⅰ）设正四棱锥的底面正方形的边长为，高为．则正四棱锥的体积

正四棱锥的表面积

从而

令设

则

令解得

当时，当时，

当时取得最小值

正四棱锥的表面积的最小值为4.

（Ⅱ）一般地，设正棱锥的底面正边形的中心到各边的距离为，高为，则正边形的体积

正棱锥的表面积

由（Ⅰ）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。

由于正棱锥的表面积与底面机之比为

可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的4倍。

解：

（Ⅰ）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为，，的概率如下表：

父本、母本的基因型式

相应情况

出现的概率

子一代基因

为的概率

子一代基因

为的概率

子一代基因

为的概率

父母

父母

父母

父母

父母

父母

父母

父母

父母

子一代的基因型式为的概率为

.

由对称性知子一代的基因型式为的概率为

.

子一代的基因型式为的概率为

若记，，则，，，子一代三种基因型式：

，，的比例为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知子二代的基因型式为，，的比例为，其中

，.

由，可得，.

故子二代三种基因型式，，的比例为，与子一代基因型式的比例相同.

15解法一：

（Ⅰ）令，代入化简得

由于等式对所有成立，可知

解得

令，代入，化简得

所以存在

使得

（Ⅱ）令

注意到，由（Ⅰ）知，

化为

可知

从而

统一写为

从而有

解法二：

（Ⅰ）同解法一，可求出

取

则

所以

（Ⅱ）由，

得

（1）

把

（1）式两边都加上2得：

（2）

把

（1）式两边都减去2得：

（3）

若存在，使，由（3）可知

与矛盾

所以不存在，使

（2）式除以（3）式得

因为

所以

所以

所以

所以

解法三：

（Ⅰ）由解法一得，

由

（1）

易看出

（1）式中即得

所以存在，即

（Ⅱ）用数学归纳法

（1）当时，显然成立

（2）易得，

（※）

假设当时，命题成立

即

则当时，

当时，

当时，

只需证

即证

即证

即证

即证

即，而此式是假设成立的

所以

（2）成立

由

（1），

（2）可知，原命题成立

2011年“华约”自主招生试题解析

一、选择题

1.设复数z满足|z|<1且则|z|＝（）

解：

由得，已经转化为一个实数的方程.解得|z|＝2（舍去），.

2.在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为.则异面直线DM与AN所成角的余弦为（）

[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起.

解法一：

如图1，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为.如图建立坐标系，则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0，），则，.设所成的角为θ，则.

解法二：

如图2，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为.平移DM与AN在一起.即M移到N，D移到CD的中点Q.于是QN＝DM＝AN.而PA＝PB＝AB＝2，所以QN＝AN＝，而AQ＝，容易算出等腰ΔAQN的顶角.

解法三：

也可以平移AN与DM在一起.即A移到M，N移到PN的中点Q.以下略.

3.已知，过点（－1,1）的直线l与该函数图象相切，且（－1,1）不是切点，则直线l的斜率为（）

解：

显然（－1,1）在的图象上.设切点为，

，所以.另一方面，

.所以x0＝1,所以.选C.

4.若的最小值和最大值分别为（）

[分析]首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：

①降次：

把三角函数的平方去掉；②去角：

原来含两个角，去掉一个.

解：

，可见答案是B

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱.我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：

ΔOO1O2边O1O2上一点C，OO1、OO2延长线上分别一点A、B，使得O1A＝O1C，O2B＝O2C.

解法一：

连接，C在上，则，

，，故

，

，.

解法二：

对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，

，，

.

6.已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面（）

A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个

[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系.于是原题简化为：

已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线.答案是4个.

7.已知向量则的最小值为（）

解：

由得

由于，

可以用换元法的思想，看成关于x，y+z，y－z三个变量，变形，代入

，答案B

8.AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为（）

解法一：

焦点F（1，0），C（－1，0），AB方程y＝x–1，与抛物线方程y2＝4x联立，解得，于是

，，答案A

解法二：

如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：

在直角梯形ABCD中，∠BAD＝45°，EF∥DA，EF＝2，AF＝AD，BF＝BC，求∠AEB.

.类似的，有

，

，答案A

解：

，，

，于是.

将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值.

10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）

A.存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形

B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形

C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形

D.任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形

解：

我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF（不妨设在AC的另一边）的（其中的边EF有可能与AC重合）的∠D一定是钝角.事实上，∠D≥∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC＝180°－∠B，所以∠D为钝角.这样就排除了B，C.

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形.

假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻（指有公共边AC）ΔACD，则∠D＝180°－∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是D.

二、解答题

解：

（I），整理得

（II）由已知，与（I）比较知.又，，，而，

，代入得，

，，

12.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处.

（I）若b＝3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；

（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？

为什么？

解：

不妨设水杯高为1.

（I）这时，水杯质量：

水的质量＝2：

3.水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为

（II）当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上.设装x克水.这时，水杯质量：

水的质量＝a：

x.水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是，解得

13.已知函数.令.

（I）求数列的通项公式；

（II）证明.

解由

（I