解析几何教程+(廖华奎王宝富)+课后习题.doc

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第一章向量代数

习题1.1

1.试证向量加法的结合律，即对任意向量成立

证明：

作向量（如下图），

则

故

2.设两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是

证明：

必要性，设的终点与始点相连而成一个三角形，

则

充分性，作向量，由于

所以点与重合，即三向量的终点与始点相连构成一个三角形。

3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：

设三角形三边的中点分别是（如下图），并且记

，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是

所以，故由上题结论得三角形的三中线可以构成一个三角形。

4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：

如下图，梯形两腰中点分别为，记向量，

则而向量与共线且同向，所以存在实数使得现在由于是的中点，所以

且

故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

5.试证命题1.1.2。

证明：

必要性，设共面，如果其中有两个是共线的，比如是，则线性相关，从而线性相关。

现在设两两不共线，则向量可以在两个向量上的进行分解，即作以为对角线，邻边平行于的平行四边形，则存在实数使得，因而线性相关。

充分性，设线性相关，则存在不全为零的数，使得。

不妨设，则向量可以表示为向量的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量平行于由向量决定的平面，故共面。

6.设是不共线的三点，它们决定一平面，则点在上的充要条件是存在唯一的数组使得

其中，是任意一点。

在内的充要条件是（*）与同时成立。

证明：

必要性，作如下示意图，连接并延长交直线于。

则由三点共线，存在唯一的数组使得，并且。

由三点共线，存在唯一的数组使得，并且。

于是，设由，的唯一性知道的唯一性，则且。

充分性，由已知条件有

得到，因而向量共面，即在决定的平面上。

如果在内，则在线段内，在线段内，于是，则。

如果（*）成立且，则有，这说明点在角内。

同样可得到，这说明点在角内。

故在内。

7.在中，点分别在边与上，且与交于，试证

证明：

作如下示意图，

由三点共线，存在使得，由三点共线，存在使得，由于有因而。

由于向量不共线，所以，解此方程组得。

由此得，

。

同理得到。

故得

8.用向量法证明的三条中线交于一点，并且对任意一点有

证明：

设分别是边的中点，则交于一点，连接

。

由三点共线，存在使，由三点共线，存在使，于是得，解得。

从而有，然而，故，即三点共线，的三条中线交于一点。

任取一点，由，得到，于是

9.用向量法证明四面体的对棱中点连线交于一点，且对任意一点有

证明：

设四面体的棱的中点分别是，棱的中点分别是，如下图。

则对棱中点连线为。

则容易知道，，因此四边形是平行四边形，相交且交点是各线段的中点。

同理也相交于各线段的中点，故交于一点。

由以上结论知道，对任意一点，由是的中点，有

，

即

10.设是正边形的顶点，是它的中心，试证

证明：

设，将正边形绕着中心旋转。

一方面向量绕点旋转了角度而得到一个新的向量；另一方面，正边形绕着中心旋转后与原正边形重合，因而向量没有变化。

方向不同的向量要相等只能是零向量，故

证法2：

由于是正边形的顶点，是它的中心，所以，其中。

由三角不等式得到，故有。

所以，由于，所以

11.试证：

三点共线的充要条件是存在不全为零的实数使得

且

其中，是任意取定的一点。

证明：

必要性，如果三点中至少有两点重合，比如重合，则，所以结论成立。

如果互不重合，由例1.1.1知道三点共线的充要条件是存在数使得，令，则不全为零，有，。

充分性，设且，则

，，由于不全为零，以及点的任意性，可知不全为零，否则也为零。

所以不妨设，则，因而三点共线。

习题1.2

1.给定直角坐标系，设，求分别关于平面，轴与原点的对称点的坐标。

解：

在直角坐标系下，点关于平面，轴与原点的对称点的坐标分别是，，。

2.设平行四边形的对角线交于点，设在仿射标架下，求点的坐标以及向量的坐标。

解：

作如下示意图，

因为是中点，所以

=

故在仿射标架下，点的坐标分别为

所以向量在仿射标架下的坐标为

3.设，求下列向量的坐标：

（1）；

（2）。

解：

（1）

（2）

4.判断下列各组的三个向量是否共面？

能否将表示成的线性组合？

若能表示，则写出表示式。

（1）

（2）

（3）

解：

（1）设即则有该方程组只有零解所以三向量不共面。

（2）设即则有该方程组等价于由此得到只要不为零，就不为零，所以三向量共面。

取，则所以即可表示成的线性组合。

（3）设即则有该方程组等价于方程组有非零解（2，1，0），所以三向量共面。

由于只能为零，故不能表示成的线性组合。

5.在中，设是边的三等分点，试用和表出与。

6.设在一平面上取一个仿射标架，上三点共线当且仅当

证明：

三点共线当且仅当，即展开得

展开行列式得故命题成立。

7.在中，设分别是直线上的点，并且

证明共线当且仅当

证明：

作如下示意图，

由于分别是直线上的定比分点，所以。

建仿射标架，由于；；

。

所以在仿射标架下的坐标分别为

。

根据上题的结论，共线当且仅当展开行列式即得到

9.试证命题1.2.1。

证明：

取定标架，设向量

（1）

（2）

（3）。

习题1.3

1.设，求。

解：

由，得

，

所以

2.已知，求。

解：

3.已知与垂直，与垂直，求。

解：

因为与垂直，与垂直，所以

得到于是故

4.证明：

对任意向量都有

当与不共线时，说明此等式的几何意义。

证明：

当与不共线时，此等式的几何意义是以与为邻边的平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。

5.下列等式是否正确？

说明理由（习惯上把记为）。

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

解：

（1）错误，因为左边表示向量，右边是数。

（2）正确，因为。

（3）错误，因为左边向量与共线，而右边向量与共线。

（4）错误，因为。

（5）错误，因为左边向量与共线，而右边向量与共线。

（6）错误，因为与垂直。

6.证明：

三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。

证明：

设三角形的两条边的垂直平分线交于一点，为边的中点，以为始点，为终点的向量记为。

则，

由于是的垂直平分线，

所以由此得到说明是的垂直平分线，即三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。

7.证明：

设不共面，如果向量满足

则。

证明：

因为不共面，所以可设。

则

故。

8.用几何方法证明：

若都是实数，则有

等号成立的充分必要条件是且分别同号。

证明：

设在直角坐标系下，向量则由三角不等式得

，并且等号成立的条件是向量同向，将坐标代入就有

等号成立的充分必要条件是且分别同号。

习题1.4

1.设表示向量在与向量垂直的平面上的投影，则有。

证明：

由于表示向量在与向量垂直的平面上的投影（如下图），则由构

成的平行四边形的面积与构成的矩形的面积相等，的方向相同，因而，。

2.证明：

。

证明：

，

故。

3.证明：

若，,则与共线。

证明：

，故与共线。

4.证明：

并说明其几何意义。

证明：

以为邻边的平行四边形的对角线构成的平行四边形的面积等于为邻边的平行四边形的面积的2倍。

5.在直角坐标系中，已知，求与都垂直，且满足如下条件之一的向量：

（1）为单位向量；

（2），其中。

解：

因为向量与都垂直，所以可设，而

。

（1）因为为单位向量，所以，即故。

（2）由，，得于是。

6.用向量法证明：

（1）三角形的正弦定理；

（2）三角形面积的海伦（Heron）公式，式中，为三角形的面积，其中为三角形三边的长。

证明：

（1）设角对应边表示的向量为，由向量外积的模的几何意义知道，于是，

故。

（2）

。

7.证明Jacobi恒等式。

证明：

由双重外积公式

。

8.设，求满足方程的点的轨迹。

解：

由外积的定义及外积模的几何意义，点的轨迹在与垂直的平面上，且与过点平行于的直线的距离为的直线，而且保持右手系。

习题1.5

1.证明：

。

证明：

如果共面，则。

如果不共面，则，符合相同的右手或左手规则，因而有相同的符号，故。

2.证明：

不共面当且仅当不共面。

证明：

因为

，

所以。

故不共面当且仅当不共面。

3.在右手直角坐标系中，一个四面体的顶点为，，求它的体积。

解：

因为

所以四面体的体积

4.证明Lagrange恒等式

。

证明：

。

5.证明：

。

证明：

因为，所以

。

6.证明：

。

证明：

左边

=右边。

7.证明：

对任意四个向量有。

证明：

因为

，同理

所以。

8.证明：

若与不共线，则与不共线。

证明：

因为与不共线，所以

由于

，因而与不共线。

9.已知都是非零实数，向量的混合积，如果向量满足

，

求此向量。

解：

由条件得到，而且，因此可设，现在两边分别与作内积，则有，

，故。

10.设不共面，证明：

任一向量可以表示成

。

证明：

因为不共面，所以任一向量可以表示成。

两边分别与向量作内积，得到

因而

。

11.设不共面，设向量满足，那么有

。

证明：

因为不共面，所以不共面，从而可设

，两边分别与作内积，则有

，于是

。

第二章直线与平面

习题2.1

1.求通过两点和的直线方程。

解：

直线的方向向量为，所以直线的方程为

2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。

（1）过点；

（2）过点和轴；

（3）过点和，平行于轴；

（4）过点，平行于平面。

解：

（1）平面的方位向量为，所以平面的参数方程

平面的普通方程为

即

（2）平面的方位向量为，所以平面的参数方程

因为过轴，所以也可选经过的点为，那么参数方程也可以写为

平面的普通方程为

即

（3）平面的方位向量为，所以平面的参数方程

平面的普通方程为

即

（4）平面的方位向量平行于平面，方位向量满足，因此可以选为。

所以平面的参数方程

平面的普通方程为

即

3.在直角坐标系中，求通过点并与平面

和

均垂直的平面方程。

解：

平面的法向量分别是，所求平面与均垂直，所以它的法向量与均垂直，因此

平面的方程为即

4.在直角坐标系中，求经过点，垂直于平面的平面方程。

解：

设平面的法向量为，则它与垂直，它又与平面的法向量，故所以所求平面的方程为

即

5.在直角坐标系中，设平面的方程为，其中。

设此平面与三坐标轴分别交于，求三角形的面积和四面体的体积。

解：

由于，所以平面的三个截距分别为。

因此四面体的体积为

三角形的面积

而

所以

6.设平面与连接两点和的线段相交于点，且，证明

。

证明：

因为，所以由定比分点的坐标公式得到点的坐标

将它们代入平面方程中得

整理即得

。

习题2.2

1.求经过点，并且通过两平面与的交线的平面方程。

解：

经过交线的平面束方程为，其中不全为零。

所求平面经过点，将它代入上式得到，可以取，因此平面的方程为

2.判断下列各对平面的相关位置。

（1）与；

（2）与；

（3）与。

解：

（1）平面的法向量分别是，它们不共线，所以两平面相交