江苏省南京师范大学附属中学届高三考前模拟考试二.docx

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江苏省南京师范大学附属中学届高三考前模拟考试二

2017高考数学模拟卷二

南师大

一、填空题

1．已知集合

，

，则

▲．

2.设复数

满足

（

是虚数单位），则复数

的模为▲．

3.射击运动员打靶，射

发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为▲.

4．右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为▲．

5．在平面直角坐标系

中，抛物线

上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为▲．

6．从集合

中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为

▲．

7．已知实数x，y满足

则当2x－y取得最小值时，x2＋y2的值为▲．

8.已知函数

和函数

的图像相交于

三点，则

的面积为

▲.

9．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线C：

y＝ex上一点，直线l：

x＋2y＋c＝0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为▲．

10.如图，在

中，

.

若

，则

▲．

11．已知f（x）是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x（x－1）．则关于m的不等式

f（1－m）＋f（1－m2）＜0的解集为▲．

12．在平面直角坐标系

中，设点

为圆

：

上的任意一点，点

（2

，

）

（

），则线段

长度的最小值为▲．

13.公比为q（q≠1）的等比数列a1，a2，a3，a4，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）

成等差数列，则所有满足条件的q的取值的代数和为▲．

14.设常数

，函数

，则

在区间

上的取值范围为

▲．

二、解答题

15.已知角

的终边上有一点

，

（1）求

的值；

（2）求

的值.

16.如图，在四棱柱

中，已知平面

平面

且

.

（1）求证：

（2）若

为棱

的中点，求证：

平面

.

17．已知椭圆E：

的右准线的方程为

，左、右两个焦点分别为

.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过

两点分别作两条平行直线

和

交椭圆E于

两点（

均在x轴上方），且

等于椭圆E的短轴的长，求直线

的方程.

18.如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中

为

，半径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成。

其中D在线段OB上，且CD∥AO，设

.

（1）用

表示CD的长度，并写出

的取值范围.

（2）当

为何值时，观光道路最长？

19.已知函数

.

（1）试讨论

的单调性；

（2）证明：

对于正数

，存在正数

，使得当

时，有

；

（3）设

（1）中的

的最大值为

，求

的最大值.

20.设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且a1a5＝64，S5－S3＝48．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设有正整数m，l（5＜m＜l），使得

成等差数列，求m,l的值；

（3）设

，对于给定的k，求三个数5ak，am，al经适当排序后能构成等差数列的充要条件.

理科附加

22.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛另一个人当裁判，设每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中甲胜乙的概率为

，甲胜丙，乙胜丙的概率都是

，各局的比赛相互独立，第一局甲当裁判.

（1）求第三局甲当裁判的概率；

（2）记前四次中乙当裁判的次数为

，求

的分布列和数学期望.

23.已知函数

，x∈（0,1）.

（1）求f（x）的最小值；

（2）若a+b+c=1，a，b，c∈（0,1）.

求证：

.

2017高考数学模拟卷二参考答案

南师大《数学之友》

一、填空题

1．

.

2．

.

3.

.

4．

.

5．4.

6．

.

7．5.

8.

.

9．－4－ln2.

10.

.

11．[0，1）.

12．

.

13.0.

解：

若删去a1或a4，则等比数列中有连续三项成等差，可以推得公比为1，舍去；若删去的a2，则得2a3＝a1＋a4，即2q2＝1＋q3，因为q≠1，得q2－q－1＝0，得

；若删去的a3，则得2a2＝a1＋a4，即2q＝1＋q3，因为q≠1，得q2＋q－1＝0，得

，所以

．

14.

.

解：

时，

，

令

，

则

，

时，

，

，

因为

，

，所以

，

故

时，

.

二、解答题

15.已知角

的终边上有一点

，

（1）求

的值；

（2）求

的值.

解：

根据题意

，

（1）

；

（2）

.

16.如图，在四棱柱

中，已知平面

平面

且

.

（3）求证：

（4）若

为棱

的中点，求证：

平面

.

证明：

⑴在四边形

中，因为

，

，所以

，

又平面

平面

，且平面

平面

，

平面

，所以

平面

，

又因为

平面

，所以

．

⑵在三角形

中，因为

，且

为

中点，所以

，

又因为在四边形

中，

，

，

所以

，

，所以

，所以

，

因为

平面

，

平面

，所以

平面

．

17．已知椭圆E：

的右准线的方程为

，左、右两个焦点分别为

.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过

两点分别作两条平行直线

和

交椭圆E于

两点（

均在x轴上方），且

等于椭圆E的短轴的长，求直线

的方程

解：

（1）由题设，

，

，得

，

，

故椭圆方程为

.

（2）连结BO并延长交椭圆E于D，则易证

，

所以

，因为

，

所以

，所以

三点共线.

当

轴时，不合题意.

当CD不与x轴垂直时，设

，代入椭圆方程并化简得

，设

，

则

，所以

.

又

，

所以

，得

，

所以直线

的方程为

.

18.如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中

为

，半径OA为1km，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成。

其中D在线段OB上，且CD∥AO，设

，

（3）用

表示CD的长度，并写出

的取值范围。

（4）当

为何值时，观光道路最长？

解：

（1）在△COD中，

，

，

由正弦定理知，

，则

，

经过点B作BE∥CD交弧BC于E，则点C在A、E之间，所以

（2）由

（1）得

，弧AC长为

，

观光道路长

，

求导得

，

令

，所以

，

当

；当

，所以当

时，观光道路最长.

19.已知函数

.

（1）试讨论

的单调性；

（2）证明：

对于正数

，存在正数

，使得当

时，有

；

（3）设

（1）中的

的最大值为

，求

的最大值.

证明：

（1）由于

，且

，

故

在

上单调递减，在

上单调递增.

（2）因为

.

当

时，取

.此时，当

时，有

成立.

当

时，由于

，

故存在

使得

.

此时，当

时，有

成立.

综上，对于正数

，存在正数

，使得当

时，有

.

（3）由

（2）知

在

上的最小值为

.

当

时，

，则

是方程

满足

的实根，

即

满足

的实根，

所以

.

又

在

上单调递增，故

.

当

时，

，由于

，

故

.此时，

.

综上所述，

的最大值为

.

20.设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且a1a5＝64，S5－S3＝48．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设有正整数m，l（5＜m＜l），使得

成等差数列，求m,l的值；

（3）设

，对于给定的k，求三个数5ak，am，al经适当排序后能构成等差数列的充要条件.

解：

（1）因为数列｛an｝是各项均为正数的等比数列，所以设数列｛an｝的公比为q，且q＞0．

又a1a5＝a

＝64，且a3＞0，所以a3＝8．

又因为S5－S3＝48，所以a4＋a5＝8q2＋8q＝48，解得q＝2，所以an＝2n．

（2）因为

成等差数列，所以

，即

.

所以，

.

故

，

中有且只有一个等于1.

因为正整数m，l满足5＜m＜l，所以

，得

.

（3）设5ak，am，al经适当排序后能构成等差数列．

①若2·5ak＝am＋al，则10·2k＝2m＋2l，当且仅当10＝2m－k＋2l－k，当且仅当5＝2m－k－1＋2l－k－1．

因为正整数k，m，l满足k＜m＜l，当且仅当l－k－1＞m－k－1≥0，且l－k－1≥1，

所以2l－k－1＞2m－k－1≥1，2l－k－1≥2．当且仅当

即

②若2am＝5ak＋al，则2·2m＝5·2k＋2l，所以2m＋1－k－2l－k＝5（*）．

因为m＋1－k≥2，l－k≥2，

所以2m＋1－k与2l－k都为偶数，而5是奇数，所以，等式（*）不成立，

从而等式2am＝5ak＋al不成立．

③若2al＝5ak＋am，则同②可知，该等式也不成立．

综合①②③，得m＝k＋1，l＝k＋3．

设m＝k＋1，l＝k＋3，则5ak，am，al为5ak，ak＋1，ak＋3，即5ak，2ak，8ak．

调整顺序后易知2ak，5ak，8ak成等差数列．

综上所述，5ak，am，al经适当排序后能构成等差数列的充要条件为

理科附加

22.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛另一个人当裁判，设每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中甲胜乙的概率为

，甲胜丙，乙胜丙的概率都是

，各局的比赛相互独立，第一局甲当裁判.

（3）求第三局甲当裁判的概率；

（4）记前四次中乙当裁判的次数为

，求

的分布列和数学期望.

解答：

（1）第二局中可能乙当裁判，其概率为

，也可能丙当裁判，其概率为

，所以第三局甲当裁判的概率为

.

答：

第三局甲当裁判的概率为

.

（2）

的可能取值为

.

.

所以

的分布列为：

0

1

2

的数学期望：

.

23.已知函数

，x∈（0,1）.

（1）求f（x）的最小值；

（2）若a+b+c=1，a，b，c∈（0,1）.

求证：

.

解：

（1）

，

令

.

当

时，

；当

时，

.

所以，

.

（2）由a+b+c=1，a，b，c∈（0,1），得

，

.

由

（1），当x∈（0,1），

，

所以，

，

，

.（*）

因为a∈（0,1），由

（1），

，

所以，

.（**）

由（*）（**），

，

所以，

.