高中数学复习专题讲座第8讲奇偶性与单调性.docx
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高中数学复习专题讲座第8讲奇偶性与单调性
2011高中数学复习专题讲座（第8讲）奇偶性与单调性
（2）
题目处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法
（1）
高考要求
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样特别是两性质的应用更加突出本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识
（1）判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一
复合函数的奇偶性、单调性问题的解决关键在于既把握复合过程，又掌握基本函数
（2）加强逆向思维、数形统一正反结合解决基本应用题目
（3）运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力
（4）应用问题在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题
典型题例示范讲解
例1已知奇函数f（x）是定义在（－3，3）上的减函数，且满足不等式f（x－3）+f（x2－3）<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤5},求函数g（x）=－3x2+3x－4（x∈B）的最大值
命题意图本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力
知识依托主要依据函数的性质去解决问题
错解分析题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域技巧与方法借助奇偶性脱去“f”号，转化为x的不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值0x63x33得解由23x336x且x≠0,故0 又∵f（x）是奇函数，∴f（x－3）<－f（x2－3）=f（3－x2）,又f（x）在（－3，3）上是减函数，
∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2 12
）2－
134
知g（x）在B上为减函数，
∴g（x）max=g
（1）=－
例2已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+∞）上是增函数，是
否存在实数m,使f（cos2θ－3）+f（4m－2mcosθ）>f（0）对所有θ∈［0,
2
］都成
立？
若存在，求出符合条件的所有实数m
命题意图本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力
知识依托主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题
错解分析考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法
技巧与方法主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题解∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，∴f（x）是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f（cos2θ－3）>f（2mcosθ－4m）,
即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0设t=cosθ,则问题等价地转化为函数
g（t）=t－mt+2m－2=（t－
2
m2
）－
2
m4
2
+2m－2在［0，1］上的值恒为正，
又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正
∴当
m2
<0,即m<0时，g（0）=2m－2>0m>1与m<0不符；
m2
当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g（m）=－
m4
2
+2m－2>0
4－22 当
m2
>1,即m>2时，g
（1）=m－1>0m>1∴m>2
综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－
另法（仅限当m能够解出的情况）cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈
［0,
2
］恒成立，
2
等价于m>（2－cos2θ）/（2－cosθ）对于θ∈［0,
］恒成立
∵当θ∈［0,
2
］时，（2－cos2θ）/（2－cosθ）≤4－22，
∴m>4－
例3已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f
（2）=0,解不等式f［log2（x2+5x+4）］≥0
解∵f
（2）=0,∴原不等式可化为f［log2（x2+5x+4）］≥f
（2）又∵f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）在（－∞,0）上为减函数且f（－2）=f
（2）=0∴不等式可化为log2（x2+5x+4）≥2①或log2（x2+5x+4）≤－2②由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0③
由②得0＜x2+5x+4≤
5
214
得
5
2≤x＜－4或－1＜x≤④
由③④得原不等式的解集为{x|x≤－5或
5
2
≤x≤－4或－1＜x≤
5
2
或x≥0}
1设f（x）是（－∞,+∞）上的奇函数，f（x+2）=－f（x）,当0≤x≤1时，f（x）=x,则f（75）等于（）
A05－05C15D－152已知定义域为（－1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a－3）+f（9－a2）<0,则a的取值范围是（）
A（22，3）
（3，）C（22，4）
D（－2，3）
3若f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（－3）=0,则xf（x）<0的解集为
4如果函数f（x）在R上为奇函数，在（－1，0）上是增函数，且f（x+2）=
－f（x）,试比较f（
13
）,f（
23
）,f
（1）的大小关系
5已知f（x）是偶函数而且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（－∞,0）
上的增减性并加以证明
6已知f（x）=
a2112
x
x
（a∈R）是R上的奇函数，
（1）求a的值；
－
（2）求f（x）的反函数f1（x）;
（3）对任意给定的k∈R+,解不等式f1（x－
7定义在（－∞,4］上的减函数f（x）满足f（m－sinx）≤f（2m－
74
+cos2x）对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围
8已知函数y=f（x）=
ax
2
1
bxc
（a,b,c∈R,a>0,b>0）是奇函数，当x>0时，
f（x）有最小值2，其中b∈N且f
（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由
参考答案:
1f（7.5）=f（5.5+2）=－f（5.5）=－f（3.5+2）=f（3.5）=f（1.5+2）
=－f（1.5）=－f（－0.5+2）=f（－0.5）=－f（0.5）=－0.5
答案B
2∵f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数又是减函数，且f（a－3）+f（9－a2）＜0∴f（a－3）＜f（a2－
1a31
∴1a291∴a∈（22
a3a9
2
答案A
3由题意可知xf（x）＜0
x0
x0或
f（x）0f（x）0
x0x0x0x0
或或
f（x）f（3）f（x）f（3）x3x3
∴x∈（－3,0）∪（0,3）
答案（－3，0）∪（0，3）
4∵f（x）为R上的奇函数
∴f（
13
）=－f（－
13
）,f（
23
）=－f（－
23
）,f
（1）=－f（－1）,
13
又f（x）在（－1，0）上是增函数且－∴f（－
>－
23
23
>－1
13
）>f（－
13
23
）>f（－1）,∴f（
23
13
）＜f（）＜f
（1）
答案f（
）＜f（）＜f
（1）
5解函数f（x）在（－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f（x）是偶函数，所以f（－x1）=f（x1）,f（－x2）=f（x2）,由假设可知－x1>－x2>0,又已知f（x）在（0，+∞）上是减函数，于是有f（－x1）＜f（－x2）,即f（x1）＜f（x2）,由此可知，函数f（x）在（－∞,0）上是增函数
6解
（1）a=1
（2）f（x）=
2121
x
x
（x∈R）f
1xk
－-1
（x）=log2
1x1x
（－1＜x＜1）
（3）由log2
1x1x
>log2log2（1－x）＜log2k,
∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1};当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1}
msinx4
m4sinx72
即cosx4，72
4msinxsinx1
4
72
msinxcosx4
对x∈R恒成立,
m331
m或m
22
∴m∈［
32
,3］∪{
12
}
8解
（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）=－f（x）,即
ax
2
1
bxc
ax
2
1
bxc
bxcbxc
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f（x）=
ax
2
1
bx
ab
x
1bx
≥2
ab
2
，
当且仅当x=
52
1a
时等号成立，于是2
52
ab
2
=2,∴a=b2,
12
由f
（1）＜得
a1b
＜即
b1b2
＜
52
,∴2b2－5b+2＜0,解得
＜b＜2，
又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f（x）=x
（2）设存在一点（x0,y0）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－
x210
y0x0
x0,－y0）也在y=f（x）图象上，则
2
（2x0）1
y0
2x0
消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1
∴y=f（x）图象上存在两点（1+2,22）,（1－2,－22）关于（1，0）对称
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