高等代数北大版课件8.5初等因子.ppt

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2矩阵的标准形,3不变因子,1矩阵,4矩阵相似的条件,6若当（Jordan）标准形的理论推导,5矩阵相似的条件,小结与习题,第八章矩阵,8.5初等因子,一、初等因子的定义,二、初等因子与不变因子的关系,8.5初等因子,三、初等因子的求法,8.5初等因子,一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）,把矩阵的每个次数大于零的不变因子,称为A的初等因子.,分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些,一、初等因子的定义,8.5初等因子,9个,则A的初等因子有7个，它们是,例1、若12级复矩阵A的不变因子是:

8.5初等因子,设n级矩阵A的不变因子为已知：

将分解成互不相同的一次因式,二、初等因子与不变因子的关系,的方幂的乘积:

分析:

8.5初等因子,则其中对应于的那些方幂:

就是A的全部初等因子.,注意到不变因子满足,从而有,因此有,8.5初等因子,即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，,方次最高的必出现在的分解式中，次高的必,出现在的分解式中.,如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂,的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是,唯一确定的.,8.5初等因子,设级矩阵的全部初等因子为已知.,在全部初等因子中，将同一个一次因式,的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初,等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数,的1，使其凑成n个，设所得排列为,8.5初等因子,于是令,则,就是A的不变因子.,8.5初等因子,例1、已知3级矩阵A的初等因子为：

求A的不变因子.,解：

作排列,得A的不变因子为：

8.5初等因子,结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，,则它们就有相同的初等因子；,反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有,结论2、两个同级数字矩阵相似,相同的不变因子.,它们有相同的初等因子.,8.5初等因子,1、（引理1）若多项式都与,互素，则,三、初等因子的求法,证：

令,显然，,8.5初等因子,由于,故,因而,另一方面，由于,可令,其中,又,由,又得,8.5初等因子,同理可得,即,故,8.5初等因子,如果多项式都与互素，,2、（引理2）设,则与等价.,8.5初等因子,证：

首先，,从而二阶行列式因子相同.,其次，由引理1，有,从而的一阶行列式因子相同.,所以，与等价.,8.5初等因子,3、（定理9）设将特征矩阵进行,初等变换化成对角形,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因,式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同,的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.,8.5初等因子,证：

设经过初等变换化成对角形,其中皆为首1多项式，,将分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:

8.5初等因子,下证，对于每个相同的一次因式的方幂,在的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角,矩阵与等价.,此时就是的,且所有不为1的就是A的全部,初等因子.,标准形，,8.5初等因子,为了方便起见，先对的方幂进行讨论.,于是,且每一个都与互素.,如果相邻的一对指数,则在中将与对调位置，,而其余因式保持不动，,令,由引理2,8.5初等因子,与,等价.,8.5初等因子,等价.,然后对重复上述讨论.,从而与对角矩阵,8.5初等因子,如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含,的方幂是按逆升幂次排列为止.,再依次对作同样处理.,最后便得到与等价的对角阵,都是按升幂排列的，,的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂,即为的标准形.,8.5初等因子,例2、求矩阵A的初等因子,解：

对作初等变换,8.5初等因子,A的初等因子为: