运筹学基础及应用(第五版)-(第10章)排队论.ppt

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2022/10/10,1,运筹学OPERATIONSRESEARCH,2022/10/10,2,1排队服务系统的基本概念排队论是研究排队系统（又称随机服务系统）的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。

有形排队现象：

进餐馆就餐，到图书馆借书，车站等车，去医院看病，售票处售票，到工具房领物品等现象。

第十章排队论,2022/10/10,3,无形排队现象：

如几个旅客同时打电话订车票；如果有一人正在通话，其他人只得在各自的电话机前等待，他们分散在不同的地方，形成一个无形的队列在等待通电话。

排队的不一定是人，也可以是物。

如生产线上的原材料，半成品等待加工；因故障而停止运行的机器设备在等待修理；码头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞机因跑道不空而在空中盘旋等。

2022/10/10,4,当然，进行服务的也不一定是人，可以是跑道，自动售货机，公共汽车等。

顾客要求服务的对象。

服务员提供服务的服务者（也称服务机构）。

顾客、服务员的含义是广义的。

2022/10/10,5,随机性顾客到达情况与顾客接受服务的时间是随机的。

一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客相继到达时间间隔和服务时间这两个量中至少有一个是随机的，因此，排队论又称随机服务理论。

随机服务理论研究如何合理的设置服务系统，更好的为顾客服务，减少排队时间，同时又要使得费用尽可能节省。

2022/10/10,6,排队系统类型1：

服务台,顾客到达,服务完成后离开,单服务台排队系统,2022/10/10,7,排队系统类型2：

服务台2,顾客到达,服务完成后离开,S个服务台，一个队列的排队系统,服务台s,服务台1,2022/10/10,8,排队系统类型3：

服务台2,顾客到达,服务完成后离开,S个服务台，S个队列的排队系统,服务台s,服务台1,服务完成后离开,服务完成后离开,2022/10/10,9,排队系统类型4：

服务台1,顾客到达,离开,多服务台串联排队系统,服务台s,2022/10/10,10,排队系统的描述实际中的排队系统各不相同，但概括起来都由三个基本部分组成：

1、输入过程;2、排队及排队规则;3、服务机构,2022/10/10,11,河流上游流入水库的水量可认为是无限的；车间内停机待修的机器显然是有限的。

到达方式：

是单个到达还是成批到达。

库存问题中，若把进来的货看成顾客，则为成批到达的例子。

1、输入过程顾客总体（顾客源）数：

可能是有限，也可能是无限。

2022/10/10,12,顾客（单个或成批）相继到达的时间间隔分布：

这是刻划输入过程的最重要内容。

令T0=0，Tn表示第n顾客到达的时刻，则有T0T1T2.Tn记Xn=TnTn-1n=1,2,则Xn是第n顾客与第n-1顾客到达的时间间隔。

一般假定Xn是独立同分布，并记分布函数为A（t）。

2022/10/10,13,Xn的分布A（t）常见的有：

定长分布（D）：

顾客相继到达的时间间隔为确定的。

如产品通过传送带进入包装箱就是定常分布。

最简单流（或称Poisson）（M）：

顾客相继到达的时间间隔Xn为独立的，同为负指数分布，其密度函数为：

f（t）=,e-tt0,0t0,2022/10/10,14,2、排队及排队规则排队有限排队排队系统中顾客数是有限的。

（损失制排队系统，混合制排队系统）无限排队顾客数是无限，队列可以排到无限长（等待制排队系统）。

2022/10/10,15,有限排队还可以分成：

损失制排队系统：

排队空间为零的系统，即不允许排队。

（顾客到达时，服务台占满，顾客自动离开，不再回来）（电话系统）混合制排队系统：

是等待制与损失制结合，即允许排队，但不允许队列无限长。

2022/10/10,16,混合制排队系统：

1.队长有限,即系统等待空间是有限的。

例：

最多只能容纳K个顾客在系统中，当新顾客到达时，若系统中的顾客数（又称为队长）小于K，则可进入系统排队或接受服务；否则，便离开系统，并不再回来。

如水库的库容是有限的，旅馆的床位是有限的。

2022/10/10,17,2.等待时间有限。

即顾客在系统中等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离开，不再回来。

如:

易损失的电子元件的库存问题，超过一定存储时间的元器件被自动认为失效。

混合制排队系统：

3.逗留时间（等待时间与服务时间之和）有限。

例：

用高射炮射击飞机，当敌机飞越射击有效区域的时间为t时，若这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。

2022/10/10,18,说明：

损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形.如:

记s为系统中服务台个数，则当k=s时，混合制即为损失制；当k=时，即成为等待制。

2022/10/10,19,排队规则当顾客到达时，若所有服务台都被占有且又允许排队，则该顾客将进入队列等待。

服务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有：

先来先服务（FCFS）,2022/10/10,20,后来先服务（LCFS）。

在许多库存系统中就会出现这种情况。

如：

钢板存入仓库后，需要时总是从最上面取出；又如在情报系统中，后来到达的信息往往更重要，首先要加以分析和利用。

具有优先权的服务（PS）。

服务台根据顾客的优先权的不同进行服务。

如：

病危的病人应优先治疗；重要的信息应优先处理；出价高的顾客应优先考虑。

2022/10/10,21,3、服务机制包括：

服务员的数量及其连接方式（串联还是并联）顾客是单个还是成批接受服务；服务时间的分布记某服务台的服务时间为V，其分布函数为B（t）,密度函数为b（t）,则常见的分布有：

定长分布（D）,负指数分布（M）,K阶爱尔朗分布（Ek）,2022/10/10,22,定长分布（D）：

每个顾客接受的服务时间是一个确定的常数。

负指数分布（M）：

每个顾客接受的服务时间相互独立，具有相同的负指数分布：

f（t）=,e-tt0,0t0,其中0为一常数。

2022/10/10,23,K阶爱尔朗分布（Ek）：

当k=1时即为负指数分布；k30,近似于正态分布;当k时，方差0即为完全非随机的。

2022/10/10,24,排队系统的符号表示：

“Kendall”记号：

X/Y/Z/W其中：

X表示顾客相继到达的时间间隔分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台个数；W表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数。

2022/10/10,25,例1M/M/1/M表示顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布；M表示服务时间为负指数分布；单个服务台；系统容量为无限（等待制）的排队模型。

例2M/M/S/K顾客到达的时间间隔服从负指数分布；服务时间为负指数分布；S个服务台；系统容量为K的排队模型。

当K=S时为损失制排队模型；当K=时为等待制排队模型。

2022/10/10,26,排队系统的主要数量指标：

系统状态：

也称为队长，指排队系统中的顾客数（排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和）。

排队长：

系统中正在排队等待服务的顾客数。

2022/10/10,27,N（t）：

时刻t（t0）的系统状态；pn（t）：

时刻t系统处于状态n的概率；S：

排队系统中并行的服务台数；n：

当系统处于状态n时，新来的顾客的平均到达率（单位时间内到达的平均顾客数）；n：

当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内可以服务完的平均顾客数）；,2022/10/10,28,当n为常数时记为；（单位时间内到达的顾客数）当每个服务台的平均服务率为常数时，记每个服务台的服务率为，则当ns时，有n=s（单位时间内可以服务完的平均顾客数）因此，顾客相继到达的平均时间间隔为E（T1）=1/，平均服务时间为E（T2）=1/，令=/s，则为系统的服务强度。

2022/10/10,29,平稳状态：

pn（t）称为系统在时刻t的瞬间分布，一般不容易求得，同时，由于排队系统运行一段时间后，其状态和分布都呈现出与初始状态或分布无关的性质，称具有这种性质的状态或分布为平稳状态或平稳分布。

排队论一般更注意研究系统在平稳状态下的性质。

2022/10/10,30,排队系统在平稳状态时一些基本指标：

Pn:

系统中恰有n个顾客的概率；Ls：

系统中顾客数的平均值，又称为平均队长；Lq：

系统中正在排队的顾客数的平均值，又称为平均排队长；T：

顾客在系统中的逗留时间；,Ws=E（T）：

顾客在系统中的平均逗留时间；Tq：

顾客在系统中的排队等待时间；Wq=E（Tq）：

顾客在系统中的平均排队等待时间。

2022/10/10,31,Little公式,其中是单位时间内到达的平均顾客数；是单位时间内可以服务完的平均顾客数。

系统中平均顾客数=单位时间内到达的平均顾客数平均逗留时间,又,如果求得Pn,则即可得到。

另外1-P0是系统的忙期概率。

2022/10/10,32,排队论研究的基本问题：

通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及数字特征，了解系统运行的基本特征。

统计推断问题：

建立适当的排队模型是排队论研究的第一步，建立模型过程中，系统是否达到平稳状态的检验；顾客相继到达时间间隔相互独立性的检验，服务时间的分布及有关参数的确定等。

2022/10/10,33,排队研究的基本问题：

系统优化问题：

又称为系统控制问题或系统运营问题，其基本目的是使系统处于最优的或最合理的状态。

包括：

最优设计问题和最优运营问题。

2022/10/10,34,2输入与服务时间的分布,一、最简单流1、定义;在时长为t的时间段内，有k个顾客到达的概率服从poisson分布：

t时段内平均到达顾客数；,单位时段内平均到达顾客数,2022/10/10,35,2、最简单流的性质

（1）平稳性：

在一定时间间隔内，有k个顾客到达的概率只与时长有关，与起始时刻无关；

（2）无后效性：

a,a+t时段内有k个顾客到达的概率与a时刻之前的客流无关；（3）普通性：

在足够小的时段内有2个或个以上顾客到来的概率为零。

说明：

1、最简单流的性质可以简化有关计算；2、假设所研究的问题都是最简单流，或近似最简单流,2022/10/10,36,二、最简单流的有关计算1、单位时间内到达的顾客数2、内没有顾客到达的概率3、恰有一个顾客到达的概率4、若顾客到达poisson分布，则相继到达间隔时间负指数分布,2022/10/10,37,三、服务时间设服务时间负指数分布1、单位时间内服务完毕，离去的顾客数2、内没有顾客离去的概率3、恰有一个顾客离去的概率4、若干负指数分布的最小值也是负指数分说明：

服务机构中有s个并联服务台，各台负指数分布，则整个服务时间负指数分布。

2022/10/10,38,第38页,生灭过程,2022/10/10,39,第39页,2、t时刻有n-1个顾客，时刻系统中有n个顾客的概率为,1、t时刻有n个顾客，时刻系统中仍有n个顾客的概率为,时刻系统中有n个顾客的概率,3、t时刻有n+1个顾客，时刻系统中有n个顾客的概率为,4、t时刻为n,n-1,n+1个顾客之外的情况，时刻系统中有n个顾客的概率为,2022/10/10,40,第40页,于是,特别的，n=0时,2022/10/10,41,第41页,移项求极限，得差分微分方程,时,平稳状态,2022/10/10,42,4最简单的排队模型一、M/M/1/模型：

顾客相继到达时间服从参数为的负指数分布；服务时间服从参数为的负指数分布；服务台数为1；系统的空间为无限，允许永远排队。

2022/10/10,43,1、队长的分布记Pn=pN=n,n=0,1,2.为系统达到平衡状态后队长的概率分布，则n=；n=，=/1，有Pn=（1-）n,n=0,1,2.,2022/10/10,44,2、几个数量指标平均队长：

L=nPn=n（1-）n=/（1-）=/（-）平均排队长：

Lq=（n-1）Pn=2/（1-）=2/（-）,2022/10/10,45,平均逗留时间：

W=E（T）=1/（-）（little公式）平均等待时间：

Wq=/（-）,2022/10/10,46,例3：

考虑一个铁路列车编组站。

设待编列车到达时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达2列；服务台是编组站，编