三角形全等与轴对称教案.docx

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三角形全等与轴对称教案

两类特殊三角形

知识点一等腰三角形的性质

（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴

（2）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

例1填写下表

文字语言

图形语言

符号语言

在△ABC中，因为AB=AC

所以

在△ABC中，AB=AC

若，那么AD⊥BC，BD=CD

若，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC

若，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD

知识点二等腰三角形的判定

1、两边相等的三角形是等腰三角形

2、若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等（等角对等边）

例2在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，试判断△ABC是什么三角形？

知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例3如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，那么CD=，理由是

全等三角形

两个完全重合的三角形叫做全等三角形记作：

△ABC≌△DEF

性质：

三角形全等的判定

1.三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

表示方法：

如图所示，在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF（SSS）。

2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。

表示方法：

如图所示，在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠E,∠C=∠F,BC=EF,∴△ABC≌△DEF（ASA）。

3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。

表示方法：

如图所示，在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DF，∴△ABC≌△DEF（AAS）。

4.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

表示方法：

如图所示，在△ABC和△DEF中，∵BC=EF,AC=DF,∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（SAS）。

5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

表示方法：

如图所示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵∠A=∠D=90°，AB＝DE，BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）

※注意：

①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：

有一组对应边相等。

②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，

如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。

③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。

例1．如图，已知BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，BE与CF相交于点D，且BD=CD．求证：

AE=AF．

例2．如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．求证：

BD=CD．

例3、如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D、E引直线交AC于点F，请判定AF与FC的数量关系，并证明之．

例4.已知在ABC中，AD是角平分线，CF⊥AD交AB于F，垂足为M，CE∥AD交BA的延长线于E，求证：

AC=AE=AF。

°

全等三角形辅助线：

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。

如果找到了一组对应边，再找第二组条件，若又找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”.上述结论可归纳为：

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的证明问题，只要通过辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．

例1、如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：

BE＋CF＞EF。

例2、如图，AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD。

练习：

已知如图，AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，

求证EF＝2AD。

例3、已知如图在△ABC中，AB＞AC，∠BAD＝∠CAD，P为AD上任一点。

求证：

AB－AC＞PB－PC。

例4：

如图，已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：

AD＝BC

例5、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。

求证：

BD＝2CE

例6、已知：

如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：

∠A＝∠D。

例7、如图，AB＝DC，∠A＝∠D求证：

∠ABC＝∠DCB。

课后练习：

1、如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF，试判断AB与CD的位置关系.

2、如图，给出五个等量关系：

①AD=BC②AC=BD③CE=DE④∠D=∠C⑤∠DAB=∠CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

3、已知：

如图，AB=AC，AE=AD，点D、E分别在AB、AC上．求证：

∠B=∠C．

4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：

AO=BO．

5、已知：

如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等，垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．

6、已知ABC和ADE是等边三角形，B、C、D共线，求证：

CE=AC+CD。

7、已知：

如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE=EF．求证：

AE=CE．

8、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

9、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：

CD=2CE。

10、如图，在

中，

，AD，CE分别为

的平分线，求证：

AC=AE+CD

11、在△

中，

平分

，

是

中点，连结

，求证：

12、如图，已知在

中，

，

，

．求证：