全等三角形证明轴对称合成版.docx

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全等三角形证明轴对称合成版

全等三角形证明（上）

一、知识提要

1.由的三条线段所组成的图形叫做三角形．三角形有三条，三个和三个．三角形可用符号“”表示．

2.三角形有关定理：

①三角形两边之和，两边之差；

②三角形内角和为；

③直角三角形两锐角；

④三角形具有性．

3.三角形的角平分线、高和中线都是；

三角形的三条角平分线，叫；

三角形的三条中线，叫；

三角形的三条高所在直线，叫．

4.的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“”表示．

全等三角形的相等，相等．

三角形全等的判定定理有：

．

二、精讲精练

1.在下列长度的三条线段中,能组成三角形的是（）

A．3cm、5cm、8cmB．8cm、8cm、18cm

C．0.1cm、0.1cm、0.1cmD．3cm、4cm、8cm

2.下面说法错误的是（）

A．三角形的三条角平分线交于一点

B．三角形的三条中线交于一点

C．三角形的三条高交于一点

D．三角形的三条高所在的直线交于一点

3.已知三角形三个内角的度数之比为1:

3:

5，求这三个内角的度数分别为．

4.如图2，已知△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，，

，对应角∠B=∠DEF，，．

5.如图3，已知△ABC≌△DEC，其中AB=DE，∠ECB=30°，那么∠ACD=_________．

6.如图4，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC=.

7.如图5，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，

∠AEC=120°，则∠DAC=.

8.如图7，已知AB=CD，AD=BC，则≌；

≌．

9.如图11，在△ABC与△DEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上∠=∠，或∥，就可证明△ABC≌△DEF．

10.如图12，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有△ADF≌，且DF=．

11.如图，AO平分∠EAD和∠EOD．求证：

①△AOE≌△AOD；②EB=DC．

12.如图8，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=4cm，则点D到AB的距离为．

三、测试提高

【板块一】三角形的相关概念及定理

1.下列命题中，错误的是（）

A．三角形两边之和大于第三边

B．三角形的外角和等于360°

C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分

D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

【板块四】全等三角形的判定

2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）

A．△ABD≌△ACD

B．△BDE≌△CDE

C．△ABE≌△ACE

D．以上都不对

3.如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点

O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O

自由旋转，就做成了一个测量工件，则

A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定

△OAB≌△OA′B′的理由是（）

A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边

4.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）

A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去

5.如图，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE.则下列说法正确的是（）

①AB=AC；②AE=BE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠BEA

A．①②③④B．①③C．②④D．①②③

四、课后作业

1.以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（）

A．7cm，8cm，15cmB．15cm，20cm，5cm

C．6cm，7cm，5cmD．7cm，6cm，14cm

2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　　）

A．锐角三角形　B．直角三角形

C．钝角三角形　　D．不能确定

3.有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（）cm的木棒．

A．10B．40C．90D．100

4.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点（）

A．高  B．角平分线 C．中线 D．垂直平分线

5.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是．

6.△ABC中，∠A=2∠B，∠C比∠A＋∠B还大12度，则这个三角形是三角形．

7.杜师傅在做完门框后，常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是．

8.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，则∠A=，∠B=，∠C=，这个三角形按角分类时，属于三角形.

9.在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是（）

A．BC=B′C′B．∠A=∠A′

C．AC=A′C′D．∠C=∠C′

10.下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）

A．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF 

B．AB=DE，BC=EF， ∠A=∠D

C．∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F

D．AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长

11.

如图1，已知△OCA≌△OBD，C和B、D和A是对应顶点，这两个三角形中相等的角是_______，________，_________，相等的边是__________，__________，．

图1图2图3

12.如图2，已知△ABC≌△ADE，∠B与∠D是对应角，那么AC与________是对应边，∠BAC与________是对应角．

13.如图3，D在BC边上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

△ADE≌△ADF，∠B=50°，∠C=70°，

那么∠DAF=_______，∠ADE=_______．

14.

已知如图，AC和BD相交于O，且被点O互相平分，你能得到AB∥CD，且AB=CD吗？

请说明理由．

15.

如图，AB=DF，AC=DE，BE=FC，问：

△ABC与△DFE全等吗？

AB与DF平行吗？

请说明你的理由．

全等三角形证明（中）

一、知识提要

1.直角三角形全等的判定定理：

．

2.全等三角形的证明训练及本章全面复习．

二、精讲精练

1.如图1，AC=AD，∠C、∠D是直角，将上述条件标注在图中，则≌；BCBD．

2.如图2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AE=AF，则图中≌．

3.如图3，AD⊥BE于C，AB＝DE，AC＝DC，则BC与CE的关系是________．

4.如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝AE，且∠CDA＝55°，则∠BDE＝．

5.如图6，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长为.

6.

如图11，已知∠B=∠D=90°，若要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，

这个条件可以是，理由是；

这个条件也可以是，理由是；

这个条件也可以是，理由是；

这个条件还可以是，理由是．

7.如图8，已知AB=BE，BC=BD，∠1=∠2，

那么图中≌，AC=，∠ABC=．

8.如图10，已知AB=CD，AC=BD，则≌；

≌．

9.如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．

求证：

（1）AF=CE；

（2）AB//CD．

10.如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延长线于F．求证：

BF=CE．

三、测试提高

【板块一】直角三角形全等的判定

1.给出下列结论：

①两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

③斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

④一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等；

⑤两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．

上述结论正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是（）

A．AASB．SASC．HLD．SSS

【板块二】全等三角形判定方法的复习

3.

如图1，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：

①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4.如图2，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是（）

①△APC≌△BPD②△ADO≌△BCO

③△AOP≌△BOP④△OCP≌△ODP

A．①②③④B．①②③

C．②③④D．①③④

5.如图3，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（）

A．AD=AEB．AB=AC

C．BE=CDD．∠AEB=∠ADC

四、课后作业

1.以下说法：

①两个等边三角形全等；

②有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；

③一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

④有一条直角边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；其中正确的是（）

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④

2.如图1，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD=PE，判定△APD与△APE全等的理由应该是（）

A．SAS　　　B．AASC．SSS　D．HL

3.如图2，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DC=DB，

∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=________.

4.如图3，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：

，使△AEH≌△CEB.

5.如图，已知AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D，要想得出AB=AD的结论，你认为需要补充什么条件？

请说明你的理由.

6.已知：

如图，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，

求证：

△EAD≌△CAB．

7.已知，如图，D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE，FC∥AB,求证：

AD=CF．

8.阅读下题及证明过程：

已知：

如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠AEB=∠AEC，求证：

∠BAE=∠CAE．

证明：

在△AEB和△AEC中，

∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，

∴△AEB≌△AEC……第一步

∴∠BAE=∠CAE……第二步

问上面证明过程是否正确？

若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．

三角形全等证明（下）

一、知识提要

1.三角形全等性质定理：

、；

2.三角形全等判定定理：

、、、．

二、精讲精练

1.已知：

△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm，则∠C′=_______，A′B′=______.

2.下列命题中：

（1）形状相同的两个三角形是全等形；

（2）在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；

（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有.

3.下列判断正确的是（）

A有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B．有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等

C有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D有两角和一角的对边对应相等的两个三角形全等

4.已知如下左图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的是．

（1）AD平分∠EDF；

（2）△EBD≌△FCD；

（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．

5.

如图1，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥CD，则图中全等三角形有，.

6.

如图2，点C为线段AB上一点，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：

①ACE≌△DCB；②CM＝CN；③△AMC≌△DNC.其中，正确结论的个数是个．

7.如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD交于点F，且AF平分∠CAD．求证：

FB=FC．

8.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

（1）求证：

BG=CF.

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.

三、测试提高

【板块二】全等三角形的判定

1.根据下列条件，能唯一画出△ABC的是（）

A．AB=3，BC=4，AC=8B．AB=4，BC=3，∠A=30°

C．∠C=60°，∠B=45°，AB=4D．∠C=90°，AB=6

2.下列结论正确的是（）

A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等

B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等

C．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等

D．两个等边三角形全等

3.如图1，∠1＝∠2，∠A＝∠D，AC、BD交于E点，下列不正确的是（）

A．∠ABE＝∠DCEB．EA＝ED

C．△ABE不全等于△DCED．△EBC是等腰三角形

【板块三】综合练习

4.如图2，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有（）

A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADC

C．△AEF≌△DFCD．△ABC≌△ADE

5.如图3，△ABD和△ACE都是等边三角形，则

△ADC≌△ABE的根据是（）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

四、课后作业

11.下列命题中正确的是（）

①全等三角形对应边相等；

②三个角对应相等的两个三角形全等；

③三边对应相等的两三角形全等；

④有两边对应相等的两三角形全等．

A．4个B．3个C．2个D．1个

12.对下列各组条件，不能判定△ABC≌△A′B′C′的一组是（）

A．∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′

B．∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′

C．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′

D．AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′

13.如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形_对．

14.如图2，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF=cm．

15.如图3，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于________．

16.如图，E、F是四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF，AB=CD，BA∥DC.试说明

（1）△ABE≌△CDF；

（2）BE∥DF．

17.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：

EB=FC．

全等三角形的性质

例1.由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案____全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片全等图形（填“是”或“不是”）

例2.下列说法正确的个数为（）

（1）用一张底片冲出来的10张一寸照片是全等形

（2）我国国旗上的四颗小五角星是全等形

（3）所有的正六边形都是全等形

（4）面积相等的两个正方形是全等形

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3.下列命题中：

⑴形状相同的两个三角形是全等三角形；

⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；

⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等；其中真命题的个数有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

例4.已知：

△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm，则∠C′=____，

A′B′=_____.

例5.△ABD≌△BAC，若AD=BC，则∠BAD的对应角是________.

例6.如图，△ABE≌△ACD，AB=8cm，AD=5cm，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_____，∠C=_____．

例7.如图,的度数为（）

A．20°

B．30°

C．35°

D．40°

例8.已知△ABC≌△DEF，EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则FE边上的高为            cm．

例9.如图，已知：

△AOC≌△BOD，你能说出AC∥BD的理由吗？

例10.在△ABC中，AC>BC>AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，______<______<_______（填边）

测试：

1.若△AOC≌△BOD，对应边是___________________，对应角是_______________；

2.若△ABD≌△ACD，对应边是___________________，对应角是_______________；

3.若△ABC≌△CDA，对应边是___________________，对应角是_______________.

4.如图，△ABC≌△CDA，那么AB∥CD吗？

试说明理由.

5.如图，△ABC≌△ADE.

（1）指出图中的对应边与对应角；

（2）求证：

∠BAD=∠CAE.

.美丽图案形成之轴对称

例题1：

如图所示，下列图形是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（）

例题2：

如图在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形

例题3：

下列图形中对称轴个数最多的是（）

A直角梯形B正方形

C等边三角形D圆

例题4：

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．求证AD垂直平分EF．

将军饮马问题

如图所示OM是一片草地，ON是一条河流，小八戒家住在P点，八戒让小八戒每天看完众享视频后去放牛，要求：

让牛先到草地去吃草，再到河里去喝水，小八戒比较懒，想一想怎样走最省时？

折纸问题

将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后这折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．

将纸片展开，得到的图形是

习题：

1．国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（）

A．加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭B．加拿大、瑞典、澳大利亚

C．加拿大、瑞典、瑞士D．乌拉圭、瑞典、瑞士

加拿大哥斯达黎加澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士

2．△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE为AB的中垂线，则∠CBE=度；若△ABC的周长为16cm，BC=4cm，则△BCE的周长为

3．已知EF是线段AB的中垂线，则下列说法中，正确的是（）

A．到线段AB距离相等的点在EF上

B．到EF距离相等的点在AB上

C．EF与AB的公共点在EF的垂直平分线上

D．到点A和点B距离相等的点在EF上

4．点P是∠DAE平分线上的一个动点，AB=2，∠DAE=60°，C是AB的中点，当点P在角平分线上自由运动时，则PC+PB的最小值是　　　.

5．如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）

角平分线的性质及等腰三角形

例1.已知，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证点P到三边AB、AC、BC的距离相等.

例2.直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）

A．一处B．二处C．三处D．四处

例3.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于点E，F是OC上另一点，连接DF、EF，求证DF=EF.

例4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD与△ACD的高，求证AD垂直EF.

例5.已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）

A.30°B.36°C.45°D.54°

例6.如图，AO=OC，且DO垂直AC并交AB于点D，若AB=7cm，BC=5cm，则△BDC的周长是多少？

例7.已知点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证BD=CE.

例8如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD与△ACD的高，求证AD垂直平分EF.

例9.已知：

如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：

BD＝DE．

测试：

1.下图是一个三角形测平架，已知AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，使其自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤上.试问AD和BC的关系，并说明理由.

2.如图：

在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点．求证：

BD⊥AC．

3.已知AB⊥BC，AD⊥DC，且BC=DC，求证：

∠ABD＝∠ADB．

4.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF，求证：

AB=AC．

.