完整版导数复习导数大题练习含详解答案.docx

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完整版导数复习导数大题练习含详解答案

__2—x

1、已知函数f（x）=（2x—kx+k）•e

（i）当k为何值时，f（x）无极值；（n）试确定实数k的值，使f（x）的极小值为0

2、已知函数f（x）axInx（aR）.

（i）若a2，求曲线yf（x）在x1处切线的斜率；（n）求f（x）的单调区间；

（川）设g（x）x22x2，若对任意％（0,），均存在X20,1,使得f（xjg（X2），求a的取值范

围•

x1

3、设函数fxxae。

（I）求函数fX单调区间；

（II）若fx0对x

R恒成立，求a的取值范围；

（III）对任意n的个正整数

印旦,an记A

n

an

q

生1eAi

1,2,n

（2）求证：

A

（1）求证：

A

na&an

4、已知函数

f（x）

a3

X

a12

xxb，其中a,b

R.

3

2

（I）若曲线

y

f（x）在点

P（2,f

（2））处的切线方程为y

5x4，求函数f（x）的解析式;

（n）当a

0时,

讨论函数

f（x）的单调性.

2x

5、已知函数f（x）（ax2x1）e（aR,e为自然对数的底数）.

（I）当时，求函数f（x）的极值；

（n）若函数f（x）在［-1,1］上单调递减，求a的取值范围.

2x

6、已知函数f（x）（x3x3）e，设t2,f

（2）m,f（t）n.

（i）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2,t上为单调函数;

（n）试判断m,n的大小并说明理由；

（川）求证：

对于任意的t

2,总存在X。

（2,t），满足

f'（X。

）

exo

2

1）,并确定这样的X。

的个数.

7、已知函数f（x）Inxax2（a2）x.

（i）若f（x）在X1处取得极值，求a的值;

（n）求函数yf（x）在［a2,a］上的最大值.

./212

8、已知函数f（x）（axx）lnxaxx.（aR）.

2

（I）当a0时，求曲线yf（x）在（e,f（e））处的切线方程（e2.718...）；

（II）求函数f（x）的单调区间•

a

9、已知函数f（x）

（1）ex（x0），其中e为自然对数的底数.

x

（I）当a2时，求曲线yf（x）在（1,f

（1））处的切线与坐标轴围成的面积；

（n）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值.

10、已知函数f（x）ax33（a2）x26x3.

2

（1）当a1时，求函数f（x）的极小值；

（2）试讨论曲线yf（x）与x轴的公共点的个数。

11、已知函数fxex,gxax1（a是不为零的常数且aR）。

（1）讨论函数Fxfxgx的单调性；

（2）当a1时，方程fxgxt在区间1,1上有两个解，求实数t的取值范围；

（3）是否存在正整数N，使得当nN且nN时，不等式

111

f1ffLfn2011恒成立，若存在，找出一个满足条件的N，并证明；

23n

若不存在，说明理由。

12、设函数f（x）ax（a1）ln（x1）（a1）.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）当a0时，设f（x）的最小值为g（a）,若g（a）t恒成立，求实数t的取值范围。

13、设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c,其中a>0,b,c€R.

（1）若f（^）=0,求函数f（x）的单调增区间；

3

（2）求证：

当0wx<1时，|f（x）|

（1）}.（注：

max{a,b}表示a,b中的最大值）

14、已知函数f（x）pinxp1x21

（I）讨论函数f（x）的单调性；

（n）当p1时，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围；

111*

（川）证明：

ln（n1）1（nN）.

23n

15、已知f（x）是二次函数，f（x）是它的导函数，且对任意的xR,f（x）f（x1）x2恒成立.

（I）求f（x）的解析表达式；

（n）设t0,曲线C:

yf（x）在点P（t,f（t））处的切线为I,I与坐标轴围成的三角形面积为S（t）.求

S（t）的最小值.

1

16、设函数f（x）xalnx与g（x）x-x的图象分别交直线x1于点A,B,且曲线yf（x）在点A处的切a

线与曲线yg（x）在点B处的切线平行。

（1）

求函数f（x）,g（x）的表达式;

（2）

1时，求函数h（x）f（x）g（x）的最小值;

（3）

1时，不等式f（x）

2

11

mg（x）在x［一，］上恒成立，求实数m的取值范围。

42

函数与导数解答题

1、解:

（I）

'x

f（x）（4xk）e

（2x2

kxk）

（1）ex

=[2x2

（4k）x2k]ex2（x

x

2）e

k4时，f（x）（x2）2e%

0,f（x）在R上单调递减,

所以，f（x）无极值

（II）当k4时，令f（x）

2（x

2）e%0，得x1k,x22

2

k

（1）k<4时，2，有

2

即k=0.

kkc

令f（-）0，得2（-）2k

22

k

（2）k>4时，2，有

2

令f

（2）0,得k=8所以，由

（2）知,

k=0或8时，f（x）有极小值0

2、解：

（I）由已知f（x）

f

（1）2

13.

l（x

x

0），

故曲线y

f（x）在x

1处切线的斜率为3.

（n）f'（x）

1axa

xx

J（x0）.

①当a

0时，由于x0，故ax

0,f'（x）0

所以,

f（x）的单调递增区间为（0,

）.

②当a

0时，由f'（x）0,得x

在区间

（0,

1

（-,）上f（x）0,

a

所以，函数

f（x）的单调递增区间为

（0,

11

—），单调递减区间为（—，）.

aa

（川）由已知，转化为f（X）max

g（X）max.

g（X）max2

由（n）知，当a0时，f（x）在（0,）上单调递增，值域为R，故不符合题意

当a0时，f（x）在（0,丄）上单调递增,

a

1

故f（x）的极大值即为最大值，f（—）

a

所以21ln（a）,

1

解得a312分

e

3、解：

（I）f（x）1aex1

1

在（一，）上单调递减，

a

1

1ln（）1ln（a）,11分

a

当a0时，f（x）0,f（x）在R上是增函数2分

当a0时，令f（x）0得x1Ina3分

若x1Ina则f（x）0,从而f（x）在区间（,1Ina）上是增函数

若x1Ina则f（x）0,从而f（x）在区间（1Ina,）上是减函数

1Ina）上是增函

综上可知：

当a0时，f（x）在区间（，）上是增函数。

当a0时，在区间（数，f（x）在区间（1Ina,）上是减函数4分

把以上n个式子相乘得印％*~ane^Ln1Anaa2Lan

（II）由（I）可知：

当a0时，f（x）0不恒成立5分

又当a0时，f（x）在点x1Ina处取最大值,

且f

（1Ina）

1

Ina

Inaae

1

Ina

6分

令

Ina0得

a

1

故若

f（x）0对x

R恒成立，

则

a的取值范围是

1,

••…7分

（III

）证明：

（1）

由（II）知

:

当

a1时恒有

f（x）

x

ex10成立

即x

x1e

a，

虫1

eA

....9分

A

a11

a21

an

（2）

由

（1）知

1：

a1J1

e;

a2

1

亠A

e;;

旦n

e

1

A，A，，A

An故A；a^Lan12

2

4、解：

（I）f（x）ax（a1）x1,1分

由切点P（2,f

（2））在直线y5x

4上可知2

b6，解得b

4.-

——5分

所以函数f（x）的解析式为f（x）

3小2

x2xx

4.6

分

2

（n）f（x）ax（a1）x1

1

a（x-）（x

a

1）,

---7

分

1

当0a1时，1，函数f（x）在区间（

f1

1）及（一，

）上为增函数；

由导数的几何意义得f

（2）5，于是a3.

3

分

aa

1

在区间（1,）上为减函数；9

a

1

当a1时，一1，函数f（x）在区间（,）上为增函数；10分

a

11

当a1时，1，函数f（x）在区间（，）及（1,）上为增函数；

aa

1

在区间（一，1）上为减函数.12分

a

命题意图：

本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。

f（x）（2x

x

2）e

（x22x1）ex（x

1）（x3）ex

•2分

当x变化时，

f（x），

f（x）的变化情况如下表：

所以，当a

1时，函数f（x）的极小值为f

（1）

0，极大值为

f（3）

4e3.

...5分

（II）f（x）

（2ax

2）ex（ax22x1）e

xx2

e[ax

2ax

2x

3]

5、解：

（I）当a1时，f（x）

（x2

2x

1）e

x

令g（x）ax22（a1）x3

1

1,1］上单调递

若a0，则g（x）2x3，在（1,）内，g（x）0,即f（x）0,函数f（x）在区间［

减7分

2若a0，则g（x）ax22（a1）x3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x-一~11

a

当且仅当g

（1）0,即0a1时，在（1,）内g（x）0,f（x）0,

函数f（x）在区间［1,1］上单调递减9分

3若a0，则g（x）ax22（a1）x3，其图象是开口向下的抛物线，

g

（1）05

当且仅当，即a0时，在（1,1）内g（x）0,f（x）0,

g

（1）03

函数f（x）在区间［1,1］上单调递减.

11分

5

综上所述，函数f（x）在区间［1,1］上单调递减时，a的取值范围是5a1•…12分

3

6、解：

（I）因为f（x）（x23x3）ex（2x3）exx（x1）ex1分

由f（x）0x1或x0;由f（x）00x1,

所以f（x）在（,0）,（1,）上递增，在（0,1）上递减3分

要使f（x）在2,t上为单调函数，则2t0------

（n）因为f（x）在（,0）,（1,）上递增，在（0,1）上递减,

•••f（x）在x1处有极小值e5分

13

e2

2,

f（

又f

（2）

f（x）在

从而当t2时,

2）

上的最小值为f

（2）

f（t），即mn8

（川）证：

•••

令g（x）x2

f（X0）

e冷

3（t

3（t

X。

2口

x0，又•••冷

e

f（X。

）2

2

-（t1）1

1）2,

1）2,从而问题转化为证明方程g（x）x2

|（t1）2=0在（

2,t）上有解，并讨论解的

个数9

vg

（2）6j（t

3

1）2

g（t）t（t

1）

分

3（t2）（t4）,

3

21

-（t1）2-（t2）（t1）,

33

1时,g

（2）g（t）0,

10

①当t4或2t

所以g（x）0在（2,t）上有解，且只有一解

11

②当1t4时，g（

所以g（x）

③当t

当t

1时,

4时,

所以g（x）

0在（g（x）g（x）

0在（

2）0且g（t）0,但由于g（0）2（t

3

2,t）上有解,且有两解12

xx0x0或x1,故g（x）0在（

xx60x2或x3,

2,4）上也有且只有一解13

1）2

0,

分

2,t）上有且只有

解;

综上所述,对于任意的t

2,总存在X。

（2,t）,满足

f（X。

）

ex0

2

2（t

1）2,

且当t4或2t

4时,有两个

（说明：

第（3）题也可以令

（X）

x2

x,x（2,t）,然后分情况证明

1）在其值域内）

7、解：

（I）：

f（x）lnx

2ax

（a

2）x，•函数的定义域为（0,

）

.1分

1

•-f（x）2ax

X

（a

2）

2

12ax（a2）x（2x

1）（ax1）

.3分

X

X

当1t

分

1时,有唯一的X0适合题意;

X0适合题意.14

f（x）在x1处取得极值,

即f

（1）（21）（a1）0,•a1.5分

当a

1时,

在（

•x

1是函数y

..2

-a

a,

•0

•/x€

（0,

）,•

①当0

a

-时,

2

fmax（x）

f（a）

1）内f（x）0,在（1,）内f（x）0，

f（x）的极小值点.•••a1•6分

11

ax10,•f（x）在（0,丄）上单调递增；在（丄

22

f（x）在［a2,a］单调递增,

Ina

a3a2

2a；10分

）上单调递减,

a

②当

2

a

1

2,即

1

2

f（x）在（a2,1）单调递增，在（1

a）单调递减,

二fmax（X）

f

（1）

In2

——1ln2；11分

24

③当2a2

1时,

2

f（x）在［a,a］单调递减,

••fmax（x）

f（a2）

2lna

3^2八

a2a.12分

综上所述，当

函数

yf（x）在［a2,a］上的最大值是lnaa3a22a

2a

f（x）在［a,a］上的最大值是1ln2；

4

—时，函数yf（x）在［a2,a］上的最大值是2lnaa5a32a2.13分2

8、解：

（I）当

a0时，f（x）xxlnx，f'（x）

Inx，

所以f（e）0,f'（e）1,

所以曲线yf（x）在（e,f（e））处的切线方程为

yxe.

（II）函数f（x）的定义域为（0,）

1

f'（x）（axx）（2ax1）lnxax1（2ax1）lnx,

x

a0时，2ax10,在（0,1）上f'（x）0,在（1,）上f'（x）0

①当

所以

f（x）在（0,1）上单调递增，在（1,）上递减;

②当

所以

111

0a时，在（0,1）和（一，）上f'（x）0，在（1,）上f'（x）0

22a2a

11

f（x）在（0,1）和（丄，）上单调递增，在（1,丄）上递减；

2a2a

10分

③当

1

a时，在

2

（0,）上f'（x）0且仅有f'

（1）0,

所以

f（X）在（0,

）上单调递增;

12分

④当

1

a—时，在

2

11

（0,）和（1,）上f'（X）0,在（一，1）上f'（x）0

2a2a

所以

2a

f（x）在（0,亠）和（1,）上单调递增，在（*,1）上递减2

xaxax八

2e,3分

x

X22x2X

f（x）2e,f

（1）

9、解：

（I）f（X）

当a2时,

14分

所以曲线y

e,f

（1）e,

f（x）在（1,f

（1））处的切线方程为

ex

2e，

y轴的交点坐标分别为（2,0）,

1

所以，所求面积为一22e2e.7分

2

切线与X轴、

（0,

2e），6分

（n）因为函数

f（x）存在一个极大值点和一个极小值点,

所以，方程

2

xax

a0在（0,）内存在两个不等实根,

则

a0.

4a0,

9分所以a4.10分

设x1,x2为函数f（x）则x-ix2a,x-|X2

的极大值点和极小值点,

因为，f（Xjf（X2）

a,11分

e5,所以,

即MX?

a（X1X2）

x1x2

2

-eX1X2e5,

X1a>c

e1

X1

2

aa

X2ax,

e

X2

2aa5ee,

e5

a

解得，a5，此时f（x）有两个极值点，所以a5.14分

12分

（I、函数的宦艾域九（-1,.

心胡”）■占

2x（1+2）

S0»得jt》Q；fty^x）<0»S-1r0”**2分

<■f3的遥增区间是（哄血），遥减区间是（-1,0）分

（II）丁由于⑶得^0,jf-2（舍去）

1+1

由（I）知屮伽）在（1-tq±®减，在［0“-（］上3M®・e

又了〔1_［）=丄斗4『①一1）三k—且亍一2>丄斗工

冬ce-

.'.当r€［i-i«-g时，/■（”）的最大值为F—2.

6

10、

故当m>0'-2时，不等式才35恒戏立.

（川）方程f（x）X2Xa,Xa12ln（1x）0.

记g（x）xa12ln（1x）,

g/（x）1各

1x

为使方程f（x）x2

xa在区间［0,2］上恰好有两个相异的实根,

由g/（x）0,得x>1或x<-1（舍去）.由g/（x）0,得1x1.

10分

•••g（x）在［0,1］上递减,在［1,2］上递增.

0,

0,

0.

g（0）

只须g（x）=0在[0,1]

和（1,2］上各有一个实数根，于是有；；）

g

（2）

•实数a的取值范围是

2

2ln2

a32ln3

•-12分

11、

解：

（1）因为F

x

ax

1ex,

所以

F'xaexax

x

1e

aexx1

1

4Z\

?

a

1分

当a

0时，F'x

0

x

1丄,

a

所以

Fx在区间（

J

1.上是减函数，

a

在区间

（11

a

）上是增函数；•…

…3分

当a

0时，F'x

0

x

1

1-,a

所以

Fx在区间（

J

1】）上是增函数，

a

在区间

（1-,

a

）上是减函数；•…

…5分

11分

•••22ln232ln3

（2）当a1时，由

（1）知道Fx在区间

0上是增函数，在区间0,上是减函数，所以当x0时

又F12,F1

e

0，方程fxgxt在区间1,1上有两个解,

实数t的取值范围是

[2,1）；

e

（3）

存在N

^4022,,、

2.由

（2）

知道当a1时，F1

n

所以

24022时,

11分

…12分

1

24022

1

24022

1

24022

4022

2011

2011

14分

12、（I）解：

f（x）

当a0时，f（x）

1

x1

1

1

ax

11（x

x1

1），

所以函数f（x）的减区间为

1,），无增区间;

a（x

当a0时，f（x）

0，由f（x）0得x

所以函数

f（x）的减区间为

—,由f（x）0得

a

11

1,—），增区间为（一，

aa

a（x丄）所以f（x）a

x1

所以函数

f（x）的减区间为

1,），无增区间;

综上，当

1a0时，函数

f（x）的减区间为（1,

），无增区间,

1

当a0时，函数f（x）的减区间为（1,—），增区间为

a

（n）解:

由（

（I）得，

g（a）

1

f㈠

1

（a

1）ln

1

（-

1），

7分

a

a

因为a

0,

所以g（a）

t

g（a）

t

0

1

（1

1

—）1n（1

丄）-

0,

a

a

a

a

aa

令h（x）

x

（1x）ln（1

x）

tx（x

0）,

则1

h（x）

0恒

'亘成立，

由于h（

x）

ln（1x）

t,

当t0时，h（x）0,故函数h（x）在（0,）上是减函数，

所以h（x）h（0）0成立；10分

当t0时，若h（x）0得0xe'1,

故函数h（x）在（0,e七1）上是增函数，

即对0xe'1,h（x）h（0）0,与题意不符；

综上，t0为所求.12分

13、解：

（1）由f（!

）=0,得a=b.1分

故f（x）=ax—2ax2+ax+c.

由f（x）=a（3x2—4x+1）=0,得x1=l,X2=1.2分

3

列表：

由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-a,〕）及（1,+8）.4分

3

22

⑵f（x）=