完整版导数复习导数大题练习含详解答案.docx

1、完整版导数复习导数大题练习含详解答案_ 2 x1、 已知函数 f(x)=(2x kx + k) e(i)当k为何值时，f (x)无极值；(n)试确定实数k的值，使f (x)的极小值为02、 已知函数 f(x) ax In x (a R).(i)若a 2，求曲线y f(x)在x 1处切线的斜率； (n)求f(x)的单调区间；(川)设g(x) x2 2x 2，若对任意 (0,)，均存在X2 0,1 ,使得f(xj g(X2)，求a的取值范围x 13、 设函数f x x ae 。(I)求函数f X单调区间；(II )若 f x 0对xR恒成立，求a的取值范围；(III )对任意n的个正整数印旦 ,a

2、n记Ananq生1 eA i1,2, n (2)求证：A(1)求证：An a& an4、已知函数f(x)a 3Xa 1 2x x b，其中 a,bR.32(I)若曲线yf (x)在点P(2, f (2)处的切线方程为y5x 4，求函数f(x)的解析式;(n)当 a0时,讨论函数f (x)的单调性.2 x5、已知函数f(x) (ax 2x 1) e (a R, e为自然对数的底数).(I)当时，求函数f (x)的极值；(n )若函数f (x)在-1,1上单调递减，求a的取值范围.2 x6、已知函数 f (x) (x 3x 3) e，设 t 2, f( 2) m, f (t) n.(i)试确定t的

3、取值范围，使得函数f(x)在 2,t上为单调函数;(n)试判断m,n的大小并说明理由；(川)求证：对于任意的 t2,总存在X。(2,t)，满足f(X。)exo21),并确定这样的X。的个数.7、已知函数 f (x) In x ax2 (a 2)x.(i)若f (x)在X 1处取得极值，求a的值;(n)求函数y f(x)在a2,a上的最大值./ 2 1 28、已知函数 f(x) (ax x)ln x ax x. (a R).2(I )当a 0时，求曲线y f (x)在(e, f(e)处的切线方程(e 2.718.)；(II )求函数f (x)的单调区间a9、 已知函数f(x) (1 )ex(x

4、0)，其中e为自然对数的底数.x(I)当a 2时，求曲线y f (x)在(1,f (1)处的切线与坐标轴围成的面积；(n)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为 e5，求a的值.10、 已知函数 f (x) ax3 3(a 2)x2 6x 3.2(1 )当a 1时，求函数f (x)的极小值；(2)试讨论曲线y f (x)与x轴的公共点的个数。11、 已知函数f x ex, g x ax 1 (a是不为零的常数且 a R )。(1)讨论函数F x f x g x的单调性；(2)当a 1时，方程f x g x t在区间 1,1上有两个解，求实数t的取值范围；(3 )是

5、否存在正整数 N ，使得当 nN 且 nN 时，不等式1 1 1f 1 f f L f n 2011恒成立，若存在，找出一个满足条件的 N，并证明；2 3 n若不存在，说明理由。12、 设函数 f (x) ax (a 1)ln( x 1)(a 1).(1 )求f (x)的单调区间；(2)当a 0时，设f(x)的最小值为g(a),若g(a) t恒成立，求实数t的取值范围。13、 设函数 f (x)= ax3-( a+b)x2+bx+c,其中 a0, b, c R.(1)若f () =0,求函数f(x)的单调增区间；3(2)求证：当 0w x 1 时，| f (x) | max f (0), f

6、(1).(注：maxa, b表示 a, b 中的最大值)14、 已知函数 f (x) pin x p 1 x2 1(I)讨论函数 f (x)的单调性；(n)当p 1时，f (x) kx恒成立，求实数k的取值范围；1 1 1 *(川)证明：ln(n 1) 1 (nN ).2 3 n15、 已知f (x)是二次函数，f (x)是它的导函数，且对任意的 x R , f (x) f (x 1) x2恒成立.(I )求f (x)的解析表达式；(n )设t 0,曲线C : y f (x)在点P(t , f (t)处的切线为I , I与坐标轴围成的三角形面积为 S(t).求S(t)的最小值.116、设函数f

7、(x) x al nx与g(x) x - x的图象分别交直线 x 1于点A, B,且曲线y f (x)在点A处的切 a线与曲线y g(x)在点B处的切线平行。(1)求函数f(x),g(x)的表达式;(2)1时，求函数h(x) f (x) g(x)的最小值;(3)1时，不等式f (x)21 1m g(x)在x 一，上恒成立，求实数 m的取值范围。4 2函数与导数解答题1、解:(I) xf (x) (4x k)e(2x2kx k)( 1)e x=2x2(4 k)x 2ke x 2(xx2)ek 4时，f (x) (x 2)2e %0, f (x)在R上单调递减,所以，f(x)无极值(II )当 k

8、 4时，令 f (x)2( x2)e % 0，得 x1 k, x2 22k(1)k4 时， 2，有2令f (2) 0,得k=8所以，由(2)知,k=0或8时，f (x)有极小值02、解：(I )由已知f (x)f (1) 21 3.l(xx0)，故曲线yf (x)在 x1处切线的斜率为3.(n) f(x)1 ax ax xJ(x 0).当a0时，由于x 0，故ax0 , f(x) 0所以,f(x)的单调递增区间为(0,).当a0 时，由 f (x) 0 ,得 x在区间(0,1(-,)上 f (x) 0 ,a所以，函数f (x)的单调递增区间为(0,1 1)，单调递减区间为(，).a a(川)由

9、已知，转化为 f(X)maxg(X)max .g(X)max 2由(n)知，当a 0时，f(x)在(0,)上单调递增，值域为 R，故不符合题意当a 0时，f (x)在(0,丄)上单调递增,a1故f(x)的极大值即为最大值， f()a所以 2 1 ln( a),1解得a 3 1 2分e3、解：(I) f (x) 1 aex1 1在(一，)上单调递减，a11 ln( ) 1 ln( a) , 1 1 分a当a 0时，f (x) 0 , f (x)在R上是增函数 2分当a 0时，令f (x) 0得x 1 In a 3分若x 1 In a则f (x) 0 ,从而f (x)在区间(,1 In a)上是增

10、函数若x 1 In a则f (x) 0,从而f (x)在区间(1 In a, )上是减函数,1 In a)上是增函综上可知：当a 0时，f (x)在区间(，)上是增函数。当a 0时，在区间( 数，f (x)在区间(1 In a, )上是减函数 4分把以上n个式子相乘得印* an eL n 1 An aa2L an(II )由(I )可知：当a 0时，f(x) 0不恒成立 5分又当a 0时，f (x)在点x 1 In a处取最大值,且f(1 In a)1In aIn a ae1In a 6分令In a 0 得a1故若f (x) 0 对 xR恒成立，则a的取值范围是1,7分(III)证明：(1)由

11、(II )知:当a 1时恒有f(x)xex1 0成立即xx 1 ea，虫1eA .9 分Aa1 1a2 1an(2)由(1)知1：a1 J1e ;a21亠Ae ; ;旦ne1A ， A ， ， AAn 故 A ； aL an 1224、解：(I) f (x) ax (a 1)x 1 , 1 分由切点P(2, f (2)在直线y 5x4上可知2b 6，解得b4.-5 分所以函数f (x)的解析式为f(x)3 小 2x 2x x4 . 6分2(n) f (x) ax (a 1)x 11a(x -)(xa1), -7分1当0 a 1时， 1，函数f (x)在区间(f 1,1)及(一，)上为增函数；由

12、导数的几何意义得 f (2) 5，于是a 3 .3分a a1在区间(1, )上为减函数； 9a1当a 1时，一1，函数f(x)在区间( , )上为增函数； 10 分a1 1当a 1时， 1，函数f(x)在区间(，)及(1, )上为增函数；a a1在区间(一，1)上为减函数. 12 分a命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。f (x) (2xx2) e(x2 2x 1) e x (x1)(x 3) e x 2分当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：所以，当a1时，函数f(x)的极小值为f (1)0，极大值为f(3)4e 3.5 分

13、(II ) f (x)(2ax2) e x (ax2 2x 1) ex x 2e ax2ax2x35、解：(I )当 a 1 时，f (x)(x22x1) ex令 g(x) ax2 2(a 1)x 311,1上单调递若a 0，则g(x) 2x 3，在(1,)内，g(x) 0,即f (x) 0 ,函数f (x)在区间减 7分2若a 0，则g(x) ax2 2(a 1)x 3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为 x -一1 1a当且仅当 g(1) 0 ,即 0 a 1 时，在(1,)内 g(x) 0 , f (x) 0 ,函数f (x)在区间1,1上单调递减 9分3若a 0，则g(x) ax2 2

14、(a 1)x 3，其图象是开口向下的抛物线，g( 1) 0 5当且仅当 ，即 a 0时，在(1,1)内g(x) 0 , f (x) 0 ,g(1) 0 3函数f (x)在区间1,1上单调递减.11分5综上所述，函数 f(x)在区间1,1上单调递减时，a的取值范围是 5 a 112分36、解：(I)因为 f (x) (x2 3x 3) ex (2x 3) ex x(x 1) ex 1 分由 f (x) 0 x 1 或x 0 ;由 f (x) 0 0 x 1,所以f (x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减 3 分要使f (x)在 2,t上为单调函数，则2 t 0-(n)因为f(x)在

15、(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减, f (x)在x 1处有极小值e 5 分13e22,f(又 f( 2)f (x)在从而当t 2时,2)上的最小值为 f( 2) f (t)，即 m n 8(川)证：令 g(x) x2f (X0)e冷3(t3(tX。2 口x0，又 冷ef(X。) 22-(t 1) 11)2,1)2,从而问题转化为证明方程 g(x) x2|(t 1)2=0在(2,t)上有解，并讨论解的个数 9v g( 2) 6 j(t31)2g(t) t(t1)分3(t 2)(t 4),32 1-(t 1)2 -(t 2)(t 1),3 31 时,g( 2) g(t) 0,10当t

16、4或2 t所以g(x) 0在(2,t)上有解，且只有一解11当1 t 4时，g(所以g(x)当t当t1时,4时,所以g(x)0在( g(x) g(x)0在(2) 0且 g(t) 0,但由于 g(0) 2(t32,t)上有解,且有两解 12x x 0 x 0或x 1 ,故 g(x) 0在(x x 6 0 x 2 或 x 3,2,4)上也有且只有一解 131)20,分2,t)上有且只有解;综上所述,对于任意的t2,总存在X。 ( 2,t),满足f(X。)ex022(t1)2,且当t 4或 2 t4时,有两个(说明：第(3)题也可以令(X)x2x, x ( 2,t),然后分情况证明1)在其值域内)7

17、、解：(I)： f(x) lnx2 ax(a2)x，函数的定义域为(0,).1分1- f (x) 2axX(a2)21 2ax (a 2)x (2x1)( ax 1).3分XX当1 t分1时,有唯一的X0适合题意;X0适合题意. 14f (x)在x 1处取得极值,即 f (1) (2 1)(a 1) 0 , a 1 . 5 分当a1时,在( x1是函数y. 2-aa , 0/ x(0,),当0a-时,2fmax(x)f (a),1)内 f (x) 0,在(1,)内 f (x) 0，f (x)的极小值点. a 1 6分1 1ax 1 0 , f(x)在(0,丄)上单调递增；在(丄2 2f (x)

18、在a2, a单调递增,In aa3 a22a ； 10 分)上单调递减,a当2a12 ,即12f(x)在(a2,1)单调递增，在(1,a)单调递减,二 fmax(X)f(1)In 21 ln 2 ； 11 分2 4当2a21时,2f (x)在a , a单调递减, f max( x)f(a2)2ln a32 八a 2a . 12 分综上所述，当函数y f (x)在a2, a上的最大值是ln a a3 a2 2a2 af (x)在a ,a上的最大值是 1 ln 2 ；4时，函数y f (x)在a2,a上的最大值是2lna a5 a3 2a2. 13分 28、解：(I )当a 0 时，f (x) x

19、 xln x， f (x)In x，所以 f(e) 0 , f (e) 1 ,所以曲线y f (x)在(e, f (e)处的切线方程为y x e.(II )函数f (x)的定义域为(0,)1f (x) (ax x) (2ax 1)ln x ax 1 (2ax 1)ln x, xa 0 时，2ax 1 0,在(0,1)上 f (x) 0,在(1,)上 f(x) 0当所以f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上递减;当所以1 1 10 a 时，在(0,1)和(一，)上 f (x) 0，在(1,)上 f (x) 02 2a 2a1 1f (x)在(0,1)和(丄，)上单调递增，在(1,丄)上递

20、减； 2a 2a10分当1a 时，在2(0,)上 f(x) 0 且仅有 f (1) 0 ,所以f(X)在(0,)上单调递增;12分当1a 时，在21 1(0,)和(1,)上 f (X) 0,在(一，1)上 f (x) 02a 2a所以2af (x)在(0,亠)和(1,)上单调递增，在(*,1)上递减 2x ax a x 八2 e , 3 分xX2 2x 2 Xf (x) 2 e , f (1)9、解：(I) f(X)当a 2时,14分所以曲线ye, f(1) e,f (x)在(1,f(1)处的切线方程为ex2e，y轴的交点坐标分别为(2,0),1所以，所求面积为一2 2e 2e.7分2切线与X

21、轴、(0,2e)，6 分(n)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,所以，方程2x axa 0在(0,)内存在两个不等实根,则a 0.4a 0,9分所以a 4 .10分设x1,x2为函数f (x) 则 x-i x2 a, x-|X2的极大值点和极小值点,因为，f(Xjf(X2)a , 11 分e5,所以,即 MX? a(X1 X2)x1x22-eX1 X2 e5,X1 a ce1X12a aX2 a x,eX22 a a 5 e e ,e5a解得，a 5，此时f (x)有两个极值点， 所以a 5 .14分,12分（I、函数的宦艾域九（-1, .心胡”）占2x(1+2)S 0 得 jt

22、Q； ft yx) 0 S -1 r 0 ”* * 2 分丄斗工冬 c e-.当 ri-i-g 时，/（”）的最大值为F2.610、故当m0-2时，不等式才3 5恒戏立. (川)方程 f(x) X2 X a, X a 1 2ln(1 x) 0.记 g(x) x a 1 2ln(1 x),g/(x) 1 各1 x为使方程f（x） x2x a在区间0,2上恰好有两个相异的实根,由 g/(x) 0,得 x1 或 x-1 (舍去).由 g/(x) 0,得 1 x 1.10分 g（x）在0,1上递减,在1,2上递增.0,0,0.g（0）只须 g(x)=0 在0,1和（1,2上各有一个实数根，于是有；）g

23、（2）实数a的取值范围是22ln 2a 3 2l n3- 12 分11、解：（1）因为Fxax1 ex,所以F x aex axx1 eaex x 11 4 Z?a 1 分当a0 时，F x0x1丄,a所以F x在区间（J1 .上是减函数，a在区间(1 1a）上是增函数；3 分当a0时，F x0x11 -, a所以F x在区间（J1】）上是增函数，a在区间(1 -,a）上是减函数；5 分11分 2 2ln 2 3 2ln3（2）当a 1时，由（1）知道F x在区间,0上是增函数，在区间 0, 上是减函数，所以当 x 0时又 F 1 2, F 1e0，方程f x g x t在区间 1,1上有两个

24、解,实数t的取值范围是2,1)；e(3)存在N4022 ,、2 .由(2)知道当a 1时，F 1n所以2 4022 时,11分12分12402212402212402240222011201114分12、(I)解：f (x)当 a 0时，f (x)1x 11 1ax11(xx 11)，所以函数f(x)的减区间为1,)，无增区间;a(x当 a 0时，f (x)0，由 f (x) 0得 x所以函数f (x)的减区间为,由 f (x) 0得a1 11,)，增区间为(一，a aa(x 丄) 所以f (x) ax 1所以函数f (x)的减区间为1,)，无增区间;综上，当1 a 0时，函数f(x)的减区间

25、为(1,)，无增区间,1当a 0时，函数f (x)的减区间为(1,)，增区间为a(n)解:由(I)得，g(a)1f1(a1)ln1(-1)，7 分aa因为a0,所以g (a)tg(a)t01(11)1 n(1丄)-0,aaaaa a令 h(x)x(1 x)l n(1x)tx(x0),则1h(x)0 恒亘成立，由于h(x)ln(1 x)t ,当t 0时，h (x) 0,故函数h(x)在(0,)上是减函数，所以h(x) h(0) 0成立； 10分当 t 0 时，若 h(x) 0 得 0 x e 1 ,故函数h(x)在(0,e七1)上是增函数，即对0 x e 1 , h(x) h(0) 0 ,与题意不符；综上，t 0为所求. 12分13、解：(1)由 f (!) =0,得 a=b. 1 分故 f (x)= ax 2ax2+ax+c.由 f(x)=a(3x2 4x+1)=0 ,得 x1 = l, X2=1. 2 分3列表：由表可得，函数f (x)的单调增区间是(-a,)及(1 , +8) . 4分32 2 f (x)=