二次函数综合题专项讲解经典.docx
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二次函数综合题专项讲解经典
初中二次函数综合题专项讲解
引言：
二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。
解压轴题有三个步骤：
认真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
二次函数一般会出现在选择题（或填空题）、解答题的倒数几个题目中。
选择题和填空题时易时难。
解答题较难，一般有2—3小题。
第1小题通常是求解析式：
这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。
第2—3小
题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：
当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、一中13—14学年度上期半期考试二次函数习题
2
12．如图，直线ykxc与抛物线yax2bxc的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x1，且OAOD.直线ykxc与x轴交于点C（点C在点B的右侧）.则下列命题中正确命题的个数是（）.
①abc0;②3ab0;③1k0;
④kab;⑤ack0
A．1B．2C．3D．4
16．如右图是二次函数yax2bxc的部分图象，由图象可知ax2bxc0时x的取值围是．
12
18．已知抛物线yx22x的图象如左图所示，点N为抛物线
2
的顶点，直线ON上有两个动点P和Q,且满足PQ22,在直线
M的坐标为
ON下方的抛物线上存在点M,使PQM为等腰直角三角形，则点
1
25．如图，在平面直角坐标系中，直线yx2与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B
2
2
两点的抛物线为yx2bxc，点E为第二象限抛物线上一动点，连接AE,BE.
1）求抛物线的解析式；
2）当ABE面积最大时，求点E的坐标，并求出此时ABE的面积；
3）当EABOAB时，求点E的坐标.
二、二次函数基础
2
（一）概念：
一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
（注意：
和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数。
）
2
1.如果函数y（k3）xk3k2kx1是二次函数,则k的值是
2a4a5
2.函数y（a5）x2x1,当a时,它是一次函数;当
a时,它是二次函数.
（二）二次函数的解析式
（1）一般式:
（已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.）y=ax+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b2/4a）；
（2）顶点式:
（已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.）
y=a（x-h）2+k（a≠0,a、h、k为常数），顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；
（3）交点式:
（已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式）y=a（x-x1）（x-x2）[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；已知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。
分别根据下列条件，求此二次函数解析式。
（1）已知A（-1,0），B（3,0），C（0,3/2）.
（2）已知顶点D（1,2）、C（0,3/2）.
1.若函数ya（x3）过点（２，９），则当X＝４时函数值Y＝
2.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y=-2x2相同，这个函数解析式为
对称图象的解析式为
，关于顶点旋转
180度的图象的解析式为
三）二次函数的图象及其性质：
（1）二次函数图像画法：
画草图关键点：
①开口方向；②顶点；③对称轴；
○4与y轴交点。
○5与x轴交点；
（2）顶点坐标为
（-b/2a，4ac-b2/4a），对称轴：
x
b
2a
与y轴交点坐标（0，c）
y随x增大而增大。
y随x增大而减小。
①配方ya（xh）2k，确定顶点（h,k）；
②对x轴左加右减；对
y轴上加下减。
1.二次函数y=（x-1）（x+2）的顶点为,对称轴为_
22
2.抛物线y（m1）x（m3m4）x以Y轴为对称轴则。
M＝
2
3.二次函数yaxa5的图象顶点在Y轴负半轴上。
且函数值有最小值，则a的取值围是
2
4.（08）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线yx21上，下列说法中正确的是（）
A．若y1y2，则x1x2B．若x1x2，则y1y2
C．若0x1x2，则y1y2D．若x1x20，则y1y2
5.抛物线y（3x1）2当x时，Y随X的增大而增大
1
6.抛物线y=（k2-2）x2+m-4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y=2x+2上，求函数解析式。
2
7.若A（13,y1）,B（5,y2）,C（1,y3）为二次函数yx4x5的图象上的三点，则y1，
414243
y2，y3的大小关系是（）
A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y1y3y2
8.已知二次函数图象与x轴交点（2,0）（-1,0）与y轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
9.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函
2数关系式是y（x1）2则原二次函数的解析式为
（四）直线与抛物线的交点（抛物线与一元二次方程的关系）
（1）抛物线与y轴的交点：
轴与抛物线得交点为（0,）.
（2）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
1
有两个交点抛物线与轴相交；这两点间的距离
2有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
3没有交点抛物线与轴相离.
当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．
（3）直线与抛物线的交点：
一次函数的图像与二次函数
的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有
一个交点；③方程组无解时与没有交点.
4）两点之间的距离：
X轴上两点为A（x1,0）、B（x2,0）|AB||x2x1|
Y轴上两点为C（0,y1）、D（0,y2）|CD||y2y1|
已知A（x1,y1）、B（x2,y2）AB|=（x2x1）（y2y1）
Ｂ．a1Ｃ．a≥1Ｄ．a≤
3.不论x为何值,函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A.a>0,△>0B.a>0,△<0
x轴有两个交点；②
C.a<0,△<0D.a<0,△<0
4.已知二次函数y=x2+mx+m-5，求证①不论m取何值时，抛物线总与当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短。
（五）二次函数与方程不等式：
1.
抛物线与x轴有两个交点A（2，0）
的解是;ax2+bx+c<0
y=ax2+bx+c中，a<0，0），则ax2+bx+c>0
2.
y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，?
（）右图是二次函数
观察图像写出y2≥y1时，x的取值围
（六）二次函数的应用最值问题：
例题：
1.（2007年市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价
不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
（4分）
三、选择题专项练习
根据图像判断a,b,c的符号（抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点）1）a开口方向
a>0抛物线开口向上；a<0抛物线开口向下；（|a|越大，则抛物线的开口越小）
2）b对称轴（与a左同右异）
a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左；
a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右。
3）c与y轴的交点
①b2－4ac>0②a>0③b>0④c>0⑤9a+3b+c<0，则其中结论正确的个数是
⑤c4b0．你认为其中正确信息的个数有
A．2个B．3个
C．4个D．5个
11.二次函数yax2bxc的图象如左下图所示，下列结论：
的实数）其中正确的结论有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
四、二次函数综合题主要类型
（一）与三角形.
1.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△PAC=4S△BOC．求点P的坐标；（三角形面积）
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
2.（2013?
）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线L，L与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴L上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（三角形周长）
（3）如图
（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，三角形ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
若不存在，请说明理由．
②S是否存在最大值？
若存在，求出最大值及此时点E的坐标；
3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在
（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？
若存在，求出点
D的坐标，若不存在，请说明理由；（三角形周长）
（3）若点E是
（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求三角形ACE的
最大面积及E点的坐标．（三角形面积）
4.（2013?
地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求三角形ABC的面积；（三角形面积）
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？
若不存在，请说明
5.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE//AC，交BC于E，连接CP，求三角形PCE面积的最大值．（三角形面积）
3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且三角形OMD为等腰三角形，求M
6.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（三角形面积）
（3）设抛物线的顶点为D，DE与x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得三角形ADM是直角三角形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（三角形形状）
7.（2013?
）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在
（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，三角形ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
）与四边形
1.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的
四边形为平行四边形？
若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A
与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：
是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？
若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在
（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为L，点P的横坐标为x，求L与x的函数关系式，并求出L的最大值．
线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
4.（省实验区）23．如图，对称轴为直线x7的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）
2
1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的
平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为形？
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5.（省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线l1的顶点为C（3，4），抛物线
l2与l1关于x轴对称，顶点为C
1）求抛物线l2的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D（0，4），l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形？
3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30o的直角三角形？
若存，
（三）与圆.
1．（2010）如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线L.
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长．
（4）最值：
当a>0时，有最大值；当a<0时，有最小值
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